数学/代数/矩阵论著名定理

矩阵的组织

一个 m×n 矩阵 M 是一个函数 $M:A\rightarrow F$，其中 A = {1,2...m} × {1,2...n}，而 F 是正在考虑的域。

一个 m×n 矩阵（读作 m 行 n 列矩阵），通常写成

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

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基本证明

1. 所有 m×n 矩阵的集合在矩阵加法下构成一个阿贝尔群。

证明：显然，两个 m×n 矩阵的和是另一个 m×n 矩阵。如果 A 和 B 是两个相同阶的矩阵，那么根据它们的 (i,j) 元素，我们有 $(A+B)_{i,j}=(A_{i,j})+(B_{i,j})=(B_{i,j})+(A_{i,j})=(B+A)_{i,j}$，这证明了 A+B = B+A，即交换律。对于结合律，我们用类似的方法进行，这样 A + (B + C) = (A + B) + C。此外，所有元素都为零的 m×n 矩阵是加法单位元。对于每个矩阵 A，矩阵 -A 的 (i,j) 元素为 $-A_{i,j}$ 是逆元。因此，相同阶的矩阵在加法下构成一个阿贝尔群。

2. 标量乘法具有以下性质：

1. 左分配律：(α+β)A = αA+βA。

2. 右分配律：α(A+B) = αA+αB。

3. 结合律：(αβ)A=α(βA))。

4. 1A = A。

5. 0A= 0。

6. (-1)A = -A。

(0,1,-1,α & β 是标量；A & B 是相同阶的矩阵，0 是零矩阵。)

证明：从 (1) 的左边开始。我们将根据 (i,j) 元素进行运算。显然 $((\alpha +\beta )A)_{i,j}=(\alpha +\beta )\cdot A_{i,j}=(\alpha A)_{i,j}+(\beta A)_{i,j}$，因此 (1) 得证。类似地，可以证明 (2)。结合律如下：$((\alpha \beta )A)_{i,j}=(\alpha \beta )\cdot A_{i,j}=\alpha (\beta A_{i,j})$。(4)、(5) 和 (6) 直接从定义得出。

3. 矩阵乘法具有以下性质：

1. 结合律：A(BC) = (AB)C。

2. 左分配律：A(B+C) = AB+AC。

3. 右分配律：(A+B)C = AC+BC。

4. IA = A = AI。

5. α(BC) = (αB)C = B(αC)。

(α 是标量；A、B & C 是矩阵，I 是单位矩阵。A、B、C & I 的阶数分别为 m×n、n×p、p×r 和 m×m。)

证明：我们考虑 (i,j) 元素并仅证明 (1)。其余证明类似。现在 $(A(BC))_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}A_{i,k}(BC)_{k,j}=\sum _{k=1}^{n}A_{i,k}{\Big (}\sum _{l=1}^{p}B_{k,l}C_{l,j}{\Big )}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{p}A_{i,k}B_{k,l}C_{l,j}$，以及 $((AB)C)_{i,j}=\sum _{l=1}^{p}(AB)_{i,l}C_{l,j}=\sum _{l=1}^{p}{\Big (}\sum _{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,l}{\Big )}C_{l,j}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{p}A_{i,k}B_{k,l}C_{l,j}$，因此两边的 (i,j) 元素相等。

4. 设 A 和 B 为 m×n 矩阵。则：

(i) $(kA)^{T}$ = $kA^{T}$

(ii) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

(iii) $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

证明草图：如同之前的证明，考虑 (i,j) 元素。

5. 任何线性方程组要么无解，要么恰好有一个解，要么有无穷多个解。

证明：假设线性方程组 Ax = b 有两个不同的解 X 和 Y。然后令 Z = X - Y。显然 Z 不为零，并且 A(X + kZ) = AX + kAZ = b + k(AX - AY) = b + k(b - b) = b，因此对于 k 的任何取值，X + kZ 都是该方程组的解。由于 k 可以取无穷多个值，因此显然我们有无穷多个解。

6. 任何满足 $AA^{T}=A^{T}A$ 的三角矩阵 A 是对角矩阵。

证明：假设 A 是下三角矩阵。现在 $AA^{T}$ 的第 (i,i) 个元素由 $\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k})(A_{k,i}^{T})=\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k})(A_{i,k})=\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k}^{2})=\sum _{k=1}^{i}(A_{i,k}^{2})$ 给出。同样，$A^{T}A$ 的第 (i,i) 个元素由 $\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k}^{T})(A_{k,i})=\sum _{k=1}^{n}(A_{k,i})(A_{k,i})=\sum _{k=1}^{n}(A_{k,i}^{2})=\sum _{k=i}^{n}(A_{k,i}^{2})$ 给出。现在由于 $AA^{T}=A^{T}A$，所以 $\sum _{k=1}^{i}(A_{i,k}^{2})=\sum _{k=i}^{n}(A_{k,i}^{2})$，并且由于可以从两边减去 $A_{i,i}^{2}$，我们得到 $\sum _{k=1}^{i-1}(A_{i,k}^{2})=\sum _{k=i+1}^{n}(A_{k,i}^{2})$。

现在如果 i = 1，那么我们有$0=A_{2,1}^{2}+A_{3,1}^{2}\cdots A_{n,1}^{2}$，这给了我们$A_{2,1}=A_{3,1}\cdots A_{n,1}=0$。类似地，对于 i = 2，我们有$0=A_{2,1}^{2}=A_{3,2}^{2}+A_{4,2}^{2}\cdots A_{n,2}^{2}$，因此$A_{3,2}=A_{4,2}\cdots A_{n,2}=0$。现在很清楚，以这种方式，矩阵 A 中所有非对角线元素都可以证明为零。上三角矩阵的证明与此类似。