数学/几何/圆锥体的著名定理

体积

• 断言：底面积为b，高为h的圆锥体的体积为${1 \over 3}bh$.

证明：设${\vec {\alpha }}(t)$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的简单平面回路。 设${\vec {v}}$ 为顶点，位于 ${\vec {\alpha }}$ 的平面之外。

设圆锥体由以下参数化表示：

${\vec {\sigma }}(\lambda ,t)=(1-\lambda ){\vec {v}}+\lambda \,{\vec {\alpha }}(t)$

其中 $\lambda ,t\in [0,1]$.

对于固定的 $\lambda =\lambda _{0}$，曲线 ${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)=(1-\lambda _{0}){\vec {v}}+\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 是平面的。为什么呢？因为如果 ${\vec {\alpha }}(t)$ 是平面的，那么由于 $\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 只是 ${\vec {\alpha }}(t)$ 的放大，它也是平面的，并且 $(1-\lambda _{0}){\vec {v}}+\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 只是 $\lambda _{0}\,{\vec {\alpha }}(t)$ 的平移，所以它是平面的。

此外，${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)$ 的形状与 $\alpha (t)$ 的形状相似，并且 ${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)$ 所包围的面积是 $\lambda _{0}^{2}$ 倍的 ${\vec {\alpha }}(t)$ 所包围的面积，即为 b。

如果顶点到底面平面的垂直距离为 h，那么两个切片 $\lambda =\lambda _{0}$ 和 $\lambda =\lambda _{1}$ 之间的距离，相差 $d\lambda =\lambda _{1}-\lambda _{0}$ 将会是 $h\,d\lambda$。因此，切片的微分体积为

$dV=(\lambda ^{2}b)(h\,d\lambda )$

现在积分体积

$V=\int _{0}^{1}dV=\int _{0}^{1}bh\lambda ^{2}\,d\lambda =bh\left[{1 \over 3}\lambda ^{3}\right]_{0}^{1}={1 \over 3}bh,$

质心

• 断言： 圆锥体的质心位于从底面质心到顶点的距离的四分之一处。

证明： 令 $M=\rho V$ 为圆锥体的总质量，其中 ρ 为均匀密度，V 为体积（如上所述）。

由曲线 ${\vec {\sigma }}(\lambda _{0},t)$ 封闭的固定 $\lambda =\lambda _{0}$ 的微分切片具有微分质量

$dM=\rho \,dV=\rho bh\lambda ^{2}\,d\lambda$.

假设圆锥体的底面质心为 ${\vec {c}}_{B}$。 那么在 $\lambda =\lambda _{0}$ 的切片的质心为

${\vec {c}}_{S}(\lambda _{0})=(1-\lambda _{0}){\vec {v}}+\lambda _{0}{\vec {c}}_{B}$.

因此，圆锥体的质心应为

${\vec {c}}_{cone}={1 \over M}\int _{0}^{1}{\vec {c}}_{S}(\lambda )\,dM$

$\qquad ={1 \over M}\int _{0}^{1}[(1-\lambda ){\vec {v}}+\lambda {\vec {c}}_{B}]\rho bh\lambda ^{2}\,d\lambda$

$\qquad ={\rho bh \over M}\int _{0}^{1}[{\vec {v}}\lambda ^{2}+({\vec {c}}_{B}-{\vec {v}})\lambda ^{3}]\,d\lambda$

$\qquad ={\rho bh \over M}\left[{\vec {v}}\int _{0}^{1}\lambda ^{2}\,d\lambda +({\vec {c}}_{B}-{\vec {v}})\int _{0}^{1}\lambda ^{3}\,d\lambda \right]$

$\qquad ={\rho bh \over {1 \over 3}\rho bh}\left[{1 \over 3}{\vec {v}}+{1 \over 4}({\vec {c}}_{B}-{\vec {v}})\right]$

$\qquad =3\left({{\vec {v}} \over 12}+{{\vec {c}}_{B} \over 4}\right)$

∴ ${\vec {c}}_{cone}={{\vec {v}} \over 4}+{3 \over 4}{\vec {c}}_{B}$,

也就是说，${\vec {c}}_{cone}$ 位于从 ${\vec {c}}_{B}$ 到 ${\vec {v}}$ 距离的四分之一处。

维度比较

需要注意的是，从某种意义上说，圆锥是三角形的高维版本，而对于三角形，面积为

${1 \over 2}bh$

重心位于从底面质心到顶点的距离的三分之一处。

四面体是一种特殊的圆锥，它也是三角形的更严格的推广。

表面积

• 断言: 直圆锥的表面积等于 $\pi rs+\pi r^{2}$，其中 $r$ 是圆锥的底面半径，$s$ 是母线长，等于 ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$。

证明: $\pi r^{2}$ 代表圆锥的底面面积，这是一个半径为 $r$ 的圆。公式的其余部分可以从以下推导出来。

从圆锥的顶点切出 $n$ 个切片，这些切片均匀地分布在圆锥的底面上。当 $n$ 很大时，这些切片会产生许多三角形，每个三角形的底边长度为 $dC$，高为 $s$，即圆锥的母线长。

三角形的数量乘以 $dC$ 会得到 $C=2\pi r$，即圆的周长。将每个三角形的面积相对于它的底边 $dC$ 进行积分，即可得到圆锥的侧面积 A。

$A=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}sdC$

$A=\left[{\frac {1}{2}}sC\right]_{0}^{2\pi r}$

$A=\pi rs\!$

$A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

因此，圆锥的总表面积等于 $\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$