数学/几何/圆锥曲线著名定理

抛物线性质

证明对于抛物线上一点 (x,y)，焦点为 (h,k+p)，准线为 y=k-p，有

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$

以及该抛物线的顶点为 (h,k)

陈述	理由
(1) 任意实数 h	已知
(2) 任意实数 k	已知
(3) 任意实数 p，其中 p 不等于 0	已知
(4) 直线 l，其方程为 $y=k-p$	已知
(5) 焦点 F，其位置为 $(h,k+p)$	已知
(6) 抛物线，其准线为直线 l，焦点为 F	已知
(7) 抛物线上一点，位于 $(x,y)$	已知
(8) 点 (x, y) 必须与点 f 和直线 l 等距。	抛物线的定义
(9) 从 (x, y) 到 l 的距离是线段的长度，该线段垂直于 l，并且有一个端点为 $P_{1}$ 在 l 上，另一个端点为 $P_{2}$ 在 (x, y) 上。	点到直线距离的定义
(10) 因为 l 的 斜率 为 0，所以它是一条水平线。	水平线的定义
(11) 任何垂直于 l 的直线都是垂直线。	如果一条直线垂直于一条水平线，那么它就是垂直线。
(12) 包含在垂直于 l 的直线上的所有点具有相同的 x 值。	垂直线的定义
(13) 点 $P_{1}$ 的 y 值为 $k-p$.	(4) 和 (9)
(14) 点 $P_{1}$ 的 x 值为 x。	(7)，(9) 和 (12)
(15) 点 $P_{1}$ 位于 (x, k - p)。	(13) 和 (14)
(16) 点 $P_{2}$ 位于 (x, y)。	(9)
(17) $P_{1}P_{2}={\sqrt {(x-x)^{2}+(y-[k-p])^{2}}}$	距离公式
(18) $P_{1}P_{2}={\sqrt {(y-k+p)^{2}}}$	分配律
(19) $P_{1}P_{2}=(y-k+p)$	应用平方根；距离为正数
(20) $FP_{2}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-[k+p])^{2}}}$	距离公式
(21) $FP_{2}={\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}$	分配律
(22) $FP_{2}=P_{1}P_{2}$	抛物线的定义
(23) ${\sqrt {(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}}}=(y-k+p)$	代入
(24) $(x-h)^{2}+(y-k-p)^{2}=(y-k+p)^{2}$	两边平方
(25) $(x-h)^{2}+k^{2}+p^{2}+y^{2}+2kp-2ky-2py=k^{2}+p^{2}+y^{2}-2kp-2ky+2py$	分配律
(26) $(x-h)^{2}+2kp-2py=2py-2kp$	等式减法性质
(27) $(x-h)^{2}=4py-4kp$	等式加法性质；等式减法性质
(28) $(x-h)^{2}=4p(y-k)$	分配律

寻找对称轴

陈述	理由
(29) 对称轴是垂直的。	(10)；对称轴的定义；如果一条直线垂直于一条水平直线，那么它是垂直的
(30) 对称轴包含(h, k + p)。	对称轴的定义
(31) 对称轴上的所有点都有一个h的x值。	垂直线的定义；(30)
(32) 对称轴的方程是$x=h$.	(31)

寻找顶点

陈述	理由
(33) 顶点位于对称轴上。	抛物线顶点的定义
(34) 顶点的x值是h。	(33)和(32)
(35) 顶点被抛物线包含。	顶点的定义
(36) $(h-h)^{2}=4p(y-k)$	(35)；代入：(28)和(34)
(37) $0=4p(y-k)$	化简
(38) $0=y-k$	等式除法性质
(39) $k=y$	等式加法性质
(40) $y=k$	等式对称性
(41) 顶点位于 $(h,k)$.	(34) 和 (40)