数学/数论/素数的著名定理

此页面将包含与素数相关的证明。由于定义非常相似，与不可约数相关的证明也将出现在此页面上。

素数的定义

素数 p>1 是其唯一正约数为 1 和 p 的数。

基本结果

定理： $p$ 是素数，且 $p|ab$ 意味着 $p|a$ 或 $p|b$。

证明：假设 $p$ 是素数，且 $p|ab$，且 $p\nmid a$。我们必须证明 $p|b$。

考虑 $\gcd(p,a)$。因为 $p$ 是素数，它可以等于 $1$ 或 $p$。由于 $p\nmid a$，我们知道 $\gcd(p,a)=1$。

根据最大公约数恒等式，存在一些$x,y\in \mathbb {Z}$，使得$\gcd(p,a)=1=px+ay$。

当我们将该式乘以$b$时，得到$b=pbx+aby$。

因为$p|p$且$p|ab$，我们知道$p|(pbx+aby)$，并且$p|b$，如预期的那样。