数学/数论著名定理
< 数学著名定理
数论是纯粹数学的一个分支，它处理整数和一般数字的性质，以及从其研究中产生的各种问题。
请参见《数论》一书，以获取详细的介绍。
在初等数论中，整数是在不使用其他数学领域的技巧的情况下进行研究的。这里属于可除性问题、使用欧几里得算法计算最大公约数、整数分解为素数、完美数的研究以及同余式。该领域的一些重要发现是费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和二次互反律。诸如莫比乌斯函数、欧拉φ函数、整数序列、阶乘和斐波那契数等乘法函数的性质也属于这一领域。
数论中的许多问题可以用初等数论术语来表达，但它们可能需要非常深入的思考和初等数论范围之外的新方法来解决。
| 主题名称 | 子主题 |
| 可除性 | 基本结果、除法算法、最大公约数、欧几里得算法、最小公倍数、素数、算术基本定理、二项式定理 |
| 同余式 | 基本结果、费马小定理、欧拉定理、威尔逊定理、同余式的解、中国剩余定理 |
| 二次互反 | 基本结果、高斯引理、二次互反律 |
| 数论函数 | 最大整数函数、德·波利尼亚克公式、算术函数、莫比乌斯反演公式 |
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代数数论是数论的一个分支，其中数的概念扩展到代数数，它是具有有理系数的多项式的根。代数数域是任何有理数的有限（因此是代数）域扩展。这些域包含类似于整数的元素，即所谓的代数整数。在这种情况下，整数的熟悉特征（例如唯一分解）可能不成立。所用机制的优点——伽罗瓦理论、群上同调、类域论、群表示和 L 函数——在于它允许人们为这新类别的数字部分恢复这种秩序。
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解析数论是数论的一个分支，它使用数学分析的方法来证明数论中的定理。它的主要证明包括狄利克雷关于算术级数定理的证明，该定理表明算术级数 a + nb（其中 a 和 b 互素）中存在无穷多个素数。基于黎曼ζ函数对素数定理的证明是另一个重要的证明。
该主题的概述与 1930 年代该主题的鼎盛时期相似。乘法数论处理素数的分布，应用狄利克雷级数作为生成函数。
参见 离散数学/解析数论。