此页面提供了涉及欧拉函数
和莫比乌斯函数
的恒等式的证明。
与n互质且小于等于n的整数之和
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恒等式的证明

利用以下事实

因为如果
和
则
,如果
和
则
这意味着对于
,我们可以将与n互质的k分组为对
.
情况
不会出现,因为当n为奇数时
不是整数,当n为偶数时,我们有
,因为我们假设
有

对,每对的元素之和为

因此

情况
可以通过直接代入验证,也可以包含在公式中。
涉及取整函数的欧拉函数恒等式的证明
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恒等式的证明

是用数学归纳法对
证明的。基本情况是
,我们可以看到结论成立

为了归纳步骤,我们需要证明

关键观察是

因此,这个和是

现在,事实是

是一个基本的totient恒等式。要看到它成立,设
是 n+1 的素数分解。那么

根据
的定义。这结束了证明。
另一种证明方法是将
直接代入恒等式的左侧,得到 
现在我们问项
在二重和中出现了多少次。答案是,它对于
的每个倍数
都会出现,但恰好有
个这样的倍数,这意味着该和为

如前所述。
过滤掉
的零值也可以用来证明恒等式

基本情况是
,我们有

它成立。归纳步骤要求我们证明

接下来观察

这给出了和的以下结果

分别处理两个内部项,我们得到

这两个中的第一个精确地是
,正如我们之前所见,第二个是零,这是根据莫比乌斯函数的基本性质(使用与上面相同的
因式分解,我们有
。)这完成了证明。
这个结果也可以用容斥原理来证明。将等式改写为

现在我们看到,等式的左边表示 [1,n] × [1,n] 中的格点 (a, b) 的数量,其中 a 和 b 互质。使用集合
,其中 p 是小于或等于 n 的素数,表示两个坐标都可被 p 整除的点的集合,我们有

这个公式计算了 a 和 b 不互质的点的对数。基数如下

符号是
,因此具有互质坐标的点的数量为
但这正是
,因此我们得到了结论。
欧拉函数的平均阶
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我们将使用上一节的最后一个公式来证明以下结果

利用
,我们得到上限

以及下限

即

处理最后两项并利用第n个调和数的渐近展开,我们有

以及

现在我们检查上下界中各项的阶数。 项
是
,与
作比较可知,其中
是黎曼ζ函数。 下一个最大项是下界中的对数项。
到目前为止,我们已经证明了

现在需要渐进地评估
,我们已经看到它收敛。 黎曼ζ函数的欧拉乘积为

从莫比乌斯函数的定义可以立即得到

这意味着

其中积分
用于估计
但
并且我们已经证实了这一论点。
φ(n)/n 的平均阶
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上一节的内容,加上恒等式

也为以下证明提供了依据

和之前一样,我们得到一个上限

以及下限

现在应用上一节的估计得到结果。
不等式
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首先,我们证明

当 n 是素数 p 的幂时,后一个式子成立,因为有

当 *p* 足够大时,这个值会任意接近 1(由于素数有无穷多个,所以我们可以取任意大的 *p*)。
为了看到前者,令 *n**k* 为前 *k* 个素数的乘积,记为
。令

那么

一个调和数。因此,根据著名的界限
,我们有

由于对数是无界的,取任意大的 *k* 可以确保 *r**k* 取得任意接近于零的值。
我们使用与第一部分相同的 *n* 因式分解来证明
.
注意

即

由于

当n为素数时,我们任意接近这个界限。对于下界,请注意

其中乘积是对所有素数进行的。我们已经见过这个乘积,如

因此

我们有这个结论。最接近这个界限的n值是前k个素数的乘积。
外部链接
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