金融数学 FM/贷款

学习目标

考生将理解有关贷款的关键概念以及如何进行相关计算。

学习成果

考生将能够

• 定义并识别以下术语的定义：本金、利息、贷款期限、未偿还余额、最后一次付款（尾款、气球付款）、摊销。
• 计算

• 给定以下四个中的任何四个，计算缺失的项：贷款期限、利率、还款金额、还款周期、本金。
• 在任何时间点的未偿还余额。
• 给定还款中的利息和本金偿还金额。
• 当涉及再融资时，进行与上述类似的计算。

引言

本章将讨论两种偿还贷款的方法，即摊销法和偿债基金法。特别是，对于这两种方法中的每一种，我们将讨论如何确定在任何时间点的未偿还贷款余额，以及借款人每次还款中利息和本金偿还的金额。

摊销法

定义。 (摊销法)

• 对于摊销法，借款人通过一系列定期付款偿还贷款人。
• 每次还款首先用于支付在每次还款之前立即的未偿还余额所产生的利息，
• 在从每次还款中扣除利息金额后，每次还款中剩余的金额作为本金偿还用于减少贷款余额（即借款人欠款的金额）。
• 还款用于将贷款余额精确地降至零。

等额摊销

在本小节中，借款人进行的还款系列是等额的，并且还款构成我们讨论中的即期年金 。为了说明这一点，请考虑以下图表。

借款人的视角

   L     R     R  ...  R  ...     R
   ↑     ↓     ↓       ↓          ↓
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

贷款人的视角

   L     R     R  ...  R  ...     R
   ↓     ↑     ↑       ↑          ↑  
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

其中

• ↑ 表示金额被接收，↓ 表示金额被支付；
• $L$ 是借款金额（即贷款金额）；
• $n$ 是还款次数；
• $R$ 是借款人支付的等额还款（从贷款人的角度来看是回报）。

• 令$B_{k}$ 为第 $k$ 次还款后（即第 $k$ 次还款之后）的未偿还余额（$B_{0}=L$，即初始余额）。
• 令$i$ 为每次还款期间的有效利率。

命题。 (确定未偿还余额的递归方法（等额还款）) $B_{k+1}=(1+i)B_{k}-R$.

证明。

• 首先，$B_{k}$ 将从时间 $k$ 到 $k+1$ 累积到 $B_{k}(1+i)$。
• 在 $B_{k}$ 上应付的利息是 $iB_{k}$。
• 因此，在时间 $t=k+1$ 支付 $R$ 后，未偿还余额的减少量为 $R-iB_{k}$。
• 因此，时间 $k+1$ 的未偿还余额为 $B_{k}-(R-iB_{k})=B_{k}(1+i)-R$。

$\Box$

命题。 （贷款金额与还款额之间的基本关系）$L=Ra_{{\overline {n}}|i}$。

证明。

• 使用上述递归方法，$B_{1}=B_{0}(1+i)-R=L(1+i)-R$；
• $B_{2}=B_{1}(1+i)-R=L(1+i)^{2}-R(1+i)-R$;
• $B_{3}=L(1+i)^{3}-R(1+i)^{2}-R(1+i)-R$;
• ...
• $B_{n}=L(1+i)^{n}-R(1+i)^{n-1}-R(1+i)^{n-2}-\dotsb -R$.
• 由于$B_{n}=0$ 适用于摊销法（根据定义，贷款余额在最后会降至零），因此我们有

$${\begin{aligned}&&L(1+i)^{n}-R(1+i)^{n-1}-R(1+i)^{n-2}-\dotsb -R&=0\\&\Rightarrow &L(1+i)^{n}&=R(1+i)^{n-1}+R(1+i)^{n-2}+\dotsb +R\\&\Rightarrow &L(1+i)^{n}v^{n}&=R(1+i)^{n-1}v^{n}+R(1+i)^{n-2}v^{n}+\dotsb +Rv^{n}\\&\Rightarrow &L&=Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{n}{\overset {\text{ def }}{=}}Ra_{{\overline {n}}|i}.\\\end{aligned}}$$

$\Box$

备注。

• 由于这种关系，我们可以通过按$-R$ PMT $n$ N $100i$ I/Y CPT PV 来计算 $L$.

• 特别是，$-R$ 是输入的，因为付款是现金流出（这里我们使用借款人的视角）。

命题。（确定未偿余额的预期方法（等额付款））$B_{k}=Ra_{{\overline {n-k}}|i}$.

证明。

• 从 $L$ 和 $R$ 之间基本关系的证明中，我们有

$${\begin{aligned}B_{k}&=L(1+i)^{k}-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R\\&=(1+i)^{k}(Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{n})-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R\\&={\cancel {R(1+i)^{k-1}+R(1+i)^{k-2}+\dotsb +R(1+i)^{k-(k-1)}+R(1+i)^{k-k}}}+R(1+i)^{k-(k+1)}\dotsb +R(1+i)^{k-n}{\cancel {-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R}}\\&=R(1+i)^{-1}+R(1+i)^{-2}+\dotsb +R(1+i)^{-(n-k)}\\&=Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{n-k}\\&=Ra_{{\overline {n-k}}|i}.\end{aligned}}$$.

$\Box$

命题。 （确定未偿余额（等额还款）的回顾法） $$B_{k}=L(1+i)^{k}-Rs_{{\overline {k}}|i}.$$

证明。

• 从 $L$ 和 $R$ 之间基本关系的证明中，我们有

$${\begin{aligned}B_{k}&=L(1+i)^{k}-R(1+i)^{k-1}-R(1+i)^{k-2}-\dotsb -R\\&=L(1+i)^{k}-(1+i)^{k}(Rv+Rv^{2}+\dotsb +Rv^{k})\\&=L(1+i)^{k}-Rs_{{\overline {k}}|i}.\end{aligned}}$$

$\Box$

• 确定未偿余额（以及不同还款中支付的本金和利息）的另一种方法是使用 BA II Plus。
• 步骤

1. 输入 $-R$ 到 PMT 中（如果 $R$ 未知，则应先确定它）。
2. 输入 $L$ 到 PV

• 我们也可以在提供足够信息的情况下计算 PMT 或 PV。

1. 按 2ND PV
2. 按起始付款期号（对于第 $k$ 次付款，按 $k$）并按 ENTER ↓。
3. 按结束付款期号（对于第 $k$ 次付款，按 $k$）并按 ENTER ↓（对于选择正好一次付款，请按与起始付款期号相同的数字 ）。
4. 然后，将显示选定付款后立即的未偿还余额（将显示 BAL=...）。
5. 按 ↓，将显示选定付款中支付的贷款（或“本金”）（将显示 PRN=...）。
6. 按 ↓，将显示选定付款中支付的利息（将显示 INT=...）。

示例。

• 假设一笔 2000 的贷款由 15 年期的 $R$ 等额分期偿还，分期付款在期末支付。
• 年利率为 10%，$R={\frac {2000}{a_{{\overline {15}}|0.1}}}\approx 262.95$.

练习。

计算年利率为 10%，每半年支付一次的 $R$。

	192.68
	262.95
	266.71
	804.23
	964.35

示例。

• 假设一笔 $L$ 的贷款由 20 个月的 $0.1L$ 等额分期偿还，分期付款在期末支付。
• 计算年有效利率 $i$。

解决方案:

• 每月有效利率 $j$ 由 $L=0.1La_{{\overline {20}}|j}\Rightarrow a_{{\overline {20}}|j}=10\Rightarrow j\approx 7.75\%$（使用 BA II Plus）计算得出。
• 因此，年有效利率 $i=(1+j)^{12}-1\approx 145.04\%$。

练习。

如果还有 30 次这样的月度分期付款，计算 $i$。

	190.93%
	217.56%
	274.23%
	290.93%
	317.56%

示例。

• 一笔 1000 的贷款由 12 年期的等额分期偿还，分期付款在期末支付。
• 年利率为 8%。
• 然后，通过按 1000 PV 12 N 8 I/Y CPT PMT 2ND PV 5 ENTER ↓ 5 ENTER ↓，可以计算出第 5 年末的未偿还余额为 690.86，并将显示未偿还余额。

练习。

计算第 8 年末的未偿还余额。

	42.38
	90.31
	341.97
	439.50
	529.81

练习。

一笔贷款由 10 年期的等额分期偿还，分期付款在每年末支付。前 3 年，每年末支付 1000。余下 7 年，每年末支付 2000。

1 选择贷款金额的正确表达式。

	$1000a_{{\overline {10}}|}+1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	$1000a_{{\overline {3}}|}+1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	$1000a_{{\overline {10}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	$3000a_{{\overline {10}}|}$
	$2000a_{{\overline {10}}|}-1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$

2 选择第 3 年未偿余额的正确表达式。

	$1000s_{{\overline {3}}|}$
	$1000s_{{\overline {3}}|}+2000a_{{\overline {7}}|}$
	$2000a_{{\overline {7}}|}$
	$1000a_{{\overline {3}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}$
	以上均不正确

3 选择第 7 年未偿余额的正确表达式。

	$\left(1000a_{{\overline {3}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}\right)(1+i)^{7}-1000\left(s_{{\overline {7}}|}+s_{{\overline {4}}|}\right)$
	$\left(1000a_{{\overline {3}}|}+2000v^{3}a_{{\overline {7}}|}\right)(1+i)^{7}-1000\left(s_{{\overline {7}}|}+s_{{\overline {3}}|}\right)$
	$\left(1000a_{{\overline {10}}|}+1000v^{3}a_{{\overline {7}}|}\right)(1+i)^{7}-1000\left(s_{{\overline {7}}|}+s_{{\overline {3}}|}\right)$
	$1000a_{{\overline {3}}|}$
	以上均不正确

现在，我们考虑借款人每次偿还的利息和本金金额。

命题. （将分期付款拆分为本金和利息偿还（等额付款））设 $P_{k}$ 是第 $k$ 次分期付款中偿还的本金（即借款人支付的第 $k$ 次付款），$I_{k}$ 是第 $k$ 次分期付款中支付的利息金额。（这个符号在 第 1 章 的上下文中具有不同的含义。）假设借款人支付的分期付款是等额的，并且每个分期付款都等于 $R$。那么，$$P_{k}=Rv^{n-k+1},\quad I_{k}=R-P_{k}.$$

证明。

• 首先，根据定义，$R=P_{k}+I_{k}$，因为分期付款首先要扣除到期的利息（$I_{k}$），剩下的金额（$R-I_{k}$）用于偿还本金。因此，$I_{k}=R-P_{k}$。
• 现在剩下要证明的是 $P_{k}$ 的公式。根据定义，$I_{k}=iB_{k-1}$，因为利息是根据未偿还余额（在第 $k$ 次分期付款之前）计算的。

$$P_{k}=R-I_{k}=R-iB_{k-1}=R-i\underbrace {Ra_{{\overline {n-k+1}}|}} _{\text{prospective}}=R\left({\cancel {1}}-{\cancel {i}}\left({\frac {{\cancel {1}}-v^{n-k+1}}{\cancel {i}}}\right)\right)=Rv^{n-k+1}$$

$\Box$

备注。

• 我们可以使用 BA II Plus 来确定 $P_{k}$ 和 $I_{k}$，这在之前已经讨论过了。

在拆分每一期还款后，我们可以制作一个 摊销表，以表格形式展示每一期还款的拆分。以下是一个 摊销表 的例子

对一笔总额为 $a_{{\overline {n}}|}$ 的贷款，在 $n$ 期内，按利率 $i$ 的摊销表

期数	还款	已付利息	已还本金	未偿还贷款余额
0	0	0	0	$a_{{\overline {n}}|}$（预期）
1	1	$i\underbrace {a_{{\overline {n}}|}} _{B_{0}}=\underbrace {1} _{R}-\underbrace {v^{n}} _{P_{1}}$	$\underbrace {v^{n}} _{1(v^{n-1+1})}$	$\underbrace {a_{{\overline {n}}|}} _{B_{0}}-\underbrace {v^{n}} _{P_{1}}=\underbrace {a_{{\overline {n-1}}|}} _{\text{prospective}}$
2	1	$ia_{{\overline {n-1}}|}=1-v^{n-1}$	$v^{n-1}$	$a_{{\overline {n-1}}|}-v^{n-1}=a_{{\overline {n-2}}|}$
...	...	...	...	...
$k$	1	$ia_{{\overline {n-k+1}}|}=1-v^{n-k+1}$	$v^{n-k+1}$	$a_{{\overline {n-k+1}}|}-v^{n-k+1}=a_{{\overline {n-k}}|}$
...	...	...	...	...
$n-1$	1	$ia_{{\overline {2}}|}=1-v^{2}$	$v^{2}$	$a_{{\overline {2}}|}-v^{2}=a_{{\overline {1}}|}$
$n$	1	$ia_{{\overline {1}}|}=1-v$	$v$	$a_{{\overline {1}}|}-v=0$
总计	$n$	$n-a_{{\overline {n}}|}$	$a_{{\overline {n}}|}$	不重要

(您可以使用此表验证确定未偿余额的递归方法，例如 $a_{{\overline {n}}|}(1+i)-1={\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}-1=a_{{\overline {n-1}}|}$)

可以看出，总付款 ($n$) 等于支付的利息总额 ($n-a_{{\overline {n}}|}$) 加上偿还的本金总额 ($a_{{\overline {n}}|}$)，并且每次付款都等于相应期间支付的利息加上偿还的本金（水平阅读），正如预期的那样，因为付款要么用于支付利息，要么用于偿还本金。

还可以看出，偿还的本金总额等于贷款金额（即第 0 期的未偿贷款余额）($a_{{\overline {n}}|}$)，正如预期的那样，因为整个贷款将在 $n$ 个期间的付款中偿还。

示例。

• 一笔 1000 元的贷款通过七次年金付款偿还，每次付款 $R$，并在期末支付。
• 年利率为 5%。
• 第三次付款中偿还的本金约为 135.41（按 1000 PV 7 N 5 I/Y CPT PMT 2ND PV 3 ENTER ↓ 3 ENTER ↓ ↓）；
• 第三次至第六次付款中支付的利息约为 107.65（按 ↑ ↑ 6 ENTER ↓ ↓ ↓，从上面的按键顺序继续）。

练习。

一笔贷款正在通过一系列每月期末支付偿还，持续 5 年，每次支付金额为 100 元。年利率为 10%。

1 选择第二笔付款中偿还的本金金额的正确表达式。

	$100(1.1)^{-4}$
	$100(1.1)^{-3}$
	$100(1.1)^{-59/12}$
	$100(1.1)^{-29/6}$
	以上均不正确

2 计算第三笔付款和此付款后的付款中偿还的本金金额的总和。

	63.09
	124.68
	126.68
	4629.17
	4691.76

3 选择第四年底未偿余额的正确表达式。

	$100a_{{\overline {13}}|1.1^{1/12}-1}$
	$100a_{{\overline {2}}|0.1}^{(12)}$
	$100a_{{\overline {1}}|1.1^{1/12}-1}^{(12)}$
	$100a_{{\overline {60}}|1.1^{1/12}-1}(1.1)^{4}-100s_{{\overline {48}}|1.1^{1/12}-1}$
	$100a_{{\overline {5}}|1.1}^{(12)}(1.1)^{48}-100s_{{\overline {4}}|1.1}^{(12)}$

非等额还款的摊销

在本节中，我们将考虑非等额还款的摊销。所涉及的思路和概念与等额还款的摊销非常相似。 借款人 的视角

   L    R_1   R_2 ... R_k  ...   R_n
   ↑     ↓     ↓       ↓          ↓
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

贷款人的视角

   L    R_1   R_2 ... R_k  ...   R_n
   ↓     ↑     ↑       ↑          ↑  
---|-----|-----|-------|----------|---
   0     1     2  ...  k  ...     n     

其中 $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ 是非等额付款，在等额还款的摊销中使用的其他相关符号具有相同的含义。

由于付款现在是非等额的，我们需要不同于等额还款摊销的公式来确定不同时间的贷款金额和未偿余额，以及将付款分成利息支付和本金偿还。它们列在下面。

命题。 (贷款金额与付款之间的关系 (非等额付款)) $$L=R_{1}v+R_{2}v^{2}+\cdots +R_{n}v^{n}.$$

证明。 省略，因为主要思路与等额还款版本的证明相同。

$\Box$

命题。 (确定未偿余额的预计方法 (非等额付款)) $$B_{k}=R_{k+1}v+R_{k+2}v^{2}+\cdots +R_{n}v^{n-k}.$$

证明。 省略，因为主要思路与等额还款版本的证明相同。

$\Box$

命题。 (确定未偿余额的回顾方法 (非等额付款)) $$B_{k}=L(1+i)^{k}-R_{1}(1+i)^{k-1}-R_{2}(1+i)^{k-2}-\cdots -R_{k}.$$

证明。 省略，因为主要思路与等额还款版本的证明相同。

$\Box$

命题。 (确定未偿余额的递归方法 (非等额付款)) $$B_{k}=B_{k-1}(1+i)-R_{k}.$$

证明。 省略，因为主要思路与等额还款版本的证明相同。

$\Box$

备注。 递归方法对于非等额付款比等额付款更有用。

命题。 (将分期付款分成本金和利息偿还 (非等额付款)) $$I_{k}=iB_{k-1},\quad P_{k}=R_{k}-I_{k}.$$

证明。

• $I_{k}=iB_{k-1}$: 这直接来自于 $I_{k}$ 的定义。
• $P_{k}=R_{k}-I_{k}$: 这是从 $R_{k}=P_{k}+I_{k}$ 推导出来的，根据定义，该公式是正确的。

$\Box$

练习。

贷款偿还从第 1 年的 100 开始，每年递增 100，直到支付 1000，之后不再支付。年有效利率为 5%。

1 选择一个正确的表达式来表示第 4 年末的未偿余额。

	$400a_{{\overline {5}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$
	$400a_{{\overline {6}}|}+100(Ia)_{{\overline {5}}|}$
	$500a_{{\overline {6}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$
	$400a_{{\overline {6}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$
	$500a_{{\overline {5}}|}+100(Ia)_{{\overline {6}}|}$

2 选择一个正确的表达式来表示第 7 年末的本金偿还金额。

	$700-i(700a_{{\overline {2}}|}+100(Ia)_{{\overline {2}}|})$
	$700-i(700a_{{\overline {2}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$
	$700-i(700a_{{\overline {3}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$
	$700-i(800a_{{\overline {2}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$
	$700-i(800a_{{\overline {3}}|}+100(Ia)_{{\overline {3}}|})$

按不同于利息计息频率的频率支付的款项的摊销

在这种情况下，我们可以通过计算等效利率（以与付款频率相同的频率可转换）来获得贷款金额、未偿余额以及付款中偿还的本金和支付的利息。然后，可以使用先前公式在该等效利率下直接进行计算。此方法类似于在支付频率不同于利息可转换频率的情况下计算年金的方法。

练习。

一笔贷款以每季度末支付 2000 元的等额付款方式偿还，持续 10 年。半年有效利率为 5%。计算第三次付款中支付的利息。将您的答案保留两位小数。

偿债基金法

在讨论摊销法之后，我们讨论另一种偿还贷款的方式，即偿债基金法。

定义。 （偿债基金法）对于偿债基金法，借款人将在到期日以单笔付款偿还所有本金（即贷款金额）。本金应付利息将在每个期间结束时支付，并在每个期间结束时存入偿债基金（每个时间点的存款金额相同），以便偿债基金的累计价值在到期日等于本金金额。

借款人的视角

Loan repayment:
   L     Li    Li     ...         Li    L
   ↑     ↓     ↓                  ↓     ↓
---|-----|-----|------------------|-----|---
   0     1     2      ...        n-1    n
   \    / \   /                   \    /
    \  /   \ /       ...           \  / 
     i      i                        i       rate

Sinking fund:
         D     D      ...         D     D  L
         ↓     ↓                  ↓     ↓ ↗
---|-----|-----|------------------|-----|---
   0     1     2      ...        n-1    n
   \    / \   /                   \    /
    \  /   \ /       ...           \  / 
     j      j                        j       rate

贷款人的视角：（贷款人不知道借款人如何偿还贷款，所以偿债基金没有显示）

Loan repayment:
   L     Li    Li     ...         Li    L
   ↓     ↑     ↑                  ↑     ↑ 
---|-----|-----|------------------|-----|---
   0     1     2      ...        n-1    n
   \    / \   /                   \    /
    \  /   \ /       ...           \  / 
     i      i                        i       rate

其中

• $L$ 是借款金额
• $n$ 是付款期间数
• $i$ 是借款人向贷款人支付的有效利率
• $j$ 是偿债基金的有效收益率（在实践中通常严格小于 $i$）
• $D$ 是等额偿债基金存款

令 $R$ 是借款人每个期间结束时支付的等额付款，等于 $D+$ 支付给贷款人的利息，即 $R=Li+D$。

根据偿债基金法的定义，$L=Ds_{{\overline {n}}|j}$，因为偿债基金的累计价值在到期日等于贷款金额。

利用这两个方程，我们可以得到以下定理。

命题。 （偿债基金法中借款人每次付款与贷款金额之间的关系） $$R=L\left(i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}\right).$$

证明。 因为 $L=Ds_{{\overline {n}}|j}\Rightarrow D={\frac {L}{s_{{\overline {n}}|j}}}$ $$R=Li+D=Li+{\frac {L}{s_{{\overline {n}}|j}}}=L\left(i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}\right).$$

$\Box$

回顾一下 ${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}=i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}$。我们可以观察到，与等式右侧类似的表达式出现在上面的等式中 ($i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}$)。鉴于此，我们定义 $${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}=i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}.$$（我们使用 '$i\&j$' 因为右侧同时包含 $i$ 和 $j$。）那么，如果贷款金额为 1，则借款人在每个期末支付的款项为 ${\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}$。

Naturally, we would like to know what $a_{{\overline {n}}|i\&j}$ equals. We can determine this as follows: $${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}&=i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}\\&=\left({\frac {1}{a_{{\overline {n}}|j}}}-j\right)+i\qquad {\text{because }}{\frac {1}{a_{{\overline {n}}|j}}}={\frac {1}{s_{{\overline {n}}|j}}}+j\\&={\frac {1}{a_{{\overline {n}}|j}}}+(i-j)\\&={\frac {1+(i-j)a_{{\overline {n}}|j}}{a_{{\overline {n}}|j}}}\\\Rightarrow a_{{\overline {n}}|i\&j}&={\frac {a_{{\overline {n}}|j}}{1+(i-j)a_{{\overline {n}}|j}}}.\end{aligned}}$$ (The right hand side also involve $i$ and $j$, as expected, because the reciprocal of an expression involving $i$ and $j$ should also involve $i$ and $j$) In particular, if $i=j$, $a_{{\overline {n}}|i\&j}=a_{{\overline {n}}|i}=a_{{\overline {n}}|j}$ as expected, and $$R=Li+D=L\left(i+{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}\right)={\frac {L}{a_{{\overline {n}}|i}}}.$$ Therefore, each level payment made by borrower in the sinking fund method is the same as the levelpayment in the amortization method, because $L=Ra_{{\overline {n}}|i}$ in amortization method of level payment.

使用此符号，我们可以将 $R$ 和 $L$ 之间的关系表示如下：$$R={\frac {L}{a_{{\overline {n}}|i\&j}}}={\frac {L(1+(i-j)a_{{\overline {n}}|j})}{a_{{\overline {n}}|j}}}$$

练习。

一位借款人以沉没基金法借款 1000 元，期限为十年。贷款的年有效利率为 5%，沉没基金的年有效利率为 3%。

1 选择正确表达式以表示每年期末支付的金额。

	$1000\left(3\%+{\frac {1}{s_{{\overline {10}}|5\%}}}\right)$
	${\frac {1000}{a_{{\overline {10}}|3\%\&5\%}}}$
	$1000\left(5\%+{\frac {1}{a_{{\overline {10}}|5\%\&3\%}}}\right)$
	$1000(5\%)+{\frac {1000(3\%)}{1.03^{10}-1}}$
	$1000a_{{\overline {10}}|5\%\&3\%}$

如果我们假设 沉没基金的余额可以用来减少贷款金额，那么在第$k$次还款后的贷款净额为$$L-Ds_{{\overline {k}}|j},$$ 第$k$期支付的利息净额为$$Li-j(Ds_{{\overline {k-1}}|j}),$$ 第$k$期偿还的本金为$$Ds_{{\overline {k}}|j}-Ds_{{\overline {k-1}}|j}=D(1+j)^{k-1}.$$

练习。

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