金融数学 FM/债券

学习目标

考生将了解有关债券的关键概念，以及如何进行相关计算。

学习成果

考生将能够

• 定义并识别以下术语的定义：价格、账面价值、溢价摊销、折价累积、赎回价值、票面价值/面值、收益率、息票、息票率、债券期限、可赎回/不可赎回。
• 给出以下列出的项目的部分信息，计算任何剩余的项目

• 价格、账面价值、溢价摊销、折价累积。（注意，不会涵盖息票支付日期之间的债券估值）。
• 赎回价值、面值。
• 收益率。
• 息票、息票率。
• 债券期限、债券具有给定账面价值、溢价摊销或折价累积的时间点。

债券

债券。

债券是一种债务证券，发行人（通常是公司或公共机构）欠持有人债务，并有义务支付利息（息票）并在以后的日期偿还本金。债券是偿还借款本金以及在固定时间间隔内支付利息的正式合同。债券主要有两种：累积债券（零息债券）和带息票债券。累积债券是指发行人同意在以后的赎回日期支付面值，但以折扣价出售。
例如：20 年期 1000 美元面值的债券，名义年收益率为 3.5%，价格为 502.56 美元。
带息票债券更常见，发行人会定期支付款项（息票）以及最终付款。
例如：10 年期 1000 美元票面价值的债券，息票率为 8%，每半年可转换为一次，每 6 个月支付 40 美元的息票，然后在 10 年期结束时支付 1000 美元。

术语和变量命名约定

• $P$ 是债券的价格。债券的价格 P 是购买债券的贷款人（即购买者）支付给发行债券的政府或公司的金额。
• $A$ 是每单位名义的价格，即 $A:={\frac {P}{F}}$.
• $F$ 是债券的面值、面值、票面价值或名义价值，它是用于计算息票的金额，并印在债券正面。
• $C$ 是债券的赎回价值，是指在赎回日期支付给债券持有人的金额。
• $R$ 是每单位名义的赎回价值，即 $R:={\frac {C}{F}}$.

• 如果 $R=1$，该债券按面值赎回
• 如果 $R>1$，该债券按溢价赎回
• 如果 $R<1$，该债券按折价赎回

• $r$ 是息票率（或名义收益率），是指用于确定息票金额的每个息票支付周期的利率。
• $Fr$ 是息票金额
• $g$ 是修正息票利率，其定义为 $g:={\frac {Fr}{C}}$，即每单位赎回价值的息票利率，而不是每单位面值（这是 $r$ 的情况）。
• $i$ 是债券的收益率或到期收益率，即投资者获得的利率（即有效利率），假设债券持有至赎回。
• $n$ 是从计算日期到赎回日期的息票支付期间数。
• $K$ 是现值，即在收益率下计算的债券在赎回日期的赎回价值的现值，即 $K=Cv^{n}$，其中 $v:={\frac {1}{1+i}}$（$i$ 是债券的收益率）。
• $G$ 是债券的基准金额，其定义为 $Gi:=Fr$，即以收益率 $i$ 投资的金额，其产生的定期利息支付等于债券每个息票的金额。

从现在开始，除非另有说明，债券的赎回价值（$C$）等于债券的面值（面值）（$F$）。这在 SOA FM 考试中也是如此。因此，我们有 $g:={\frac {Fr}{C}}={\frac {Fr}{F}}=r$，即修正息票利率除非另有说明，否则不会'修正'。

四个计算债券价格的公式

没有税收的情况

在本小节中，我们讨论了在没有税收的情况下计算债券价格。我们将讨论在存在某些税收的情况下计算债券价格，即所得税和资本利得税。

无论我们使用以下四个公式中的哪一个，我们都会得到相同的价格，因为我们可以使用基本公式推导出所有其他三个公式。公式的选择主要取决于给定的信息，我们选择最方便使用的公式。

命题。 (基本公式) $$P=Fra_{{\overline {n}}|i}+\underbrace {Cv^{n}} _{K}.$$

说明

 P   Fr  Fr  Fr  Fr  Fr  Fr C
 ↓   ↑   ↑   ↑   ↑   ↑   ↑↗ 
-|---|---|---|---|---|---|----
 0   1   2   3   4   5   6

证明。 由 事实 可知，债券价格被设定为等于未来票息的现值加上赎回价值的现值（即所有未来支付的现值），因此债券价格是一个“公平价格”。（我们将计算债券价格的时间视为 现在。）

$\Box$

备注。

• 这是直观的，因为债券的价值（债券价格）应该取决于其票息和赎回价值，而我们考虑的是在计算债券价格时（即现在）的价值。
• 您可以观察到，与用于确定贷款未偿余额的预期方法的公式相比，该公式具有类似的形式。

• 实际上，这是可以预期的，因为债券本质上是 买方 向 卖方 的贷款，而 $P$ 可以被视为给予卖方的贷款，$Fr$ 可以被视为卖方对贷款的偿还，而 $C$ 可以被视为到期时的单笔付款。
• 您可以将此与偿债基金方法进行比较。

命题。 (溢价/折价公式) $$P=C+C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}.$$

证明。 根据基本公式，$${\begin{aligned}P&=Fra_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}\\&={\color {darkgreen}Fra_{{\overline {n}}|i}}+{\color {darkgreen}C}(1-{\color {darkgreen}ia_{{\overline {n}}|i}})\qquad {\text{by }}a_{{\overline {n}}|}={\frac {1-v^{n}}{i}}\Leftrightarrow v^{n}=1-ia_{{\overline {n}}|}\\&={\color {darkgreen}(\underbrace {Fr} _{=Cg}-Ci)a_{{\overline {n}}|i}}+C\qquad {\text{by }}g:={\frac {Fr}{C}}\Leftrightarrow Fr=Cg\\&=C+C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}\\\end{aligned}}$$

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备注。

• 该公式等价于 $P-C=C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$

• $P-C$ 是 *溢价*，如果 $P>C\Leftrightarrow P-C>0$
• $C-P=-(P-C)$ 是 *折价*，如果 $C>P\Leftrightarrow P-C<0$
• 溢价 和 折价 都是正数

• 另一种形式：（证明过程中的一个步骤）$P=C+(Fr-Ci)a_{{\overline {n}}|i}$

命题. （基准金额公式）$$P=G+(C-G)v^{n}.$$

证明. $${\begin{aligned}P&=\underbrace {Fr} _{G{\color {blue}i}}{\color {blue}a_{{\overline {n}}|i}}+Cv^{n}\\&={\color {darkgreen}G}(1{\color {darkgreen}-v^{n}})+{\color {darkgreen}Cv^{n}}\qquad {\text{by }}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-v^{n}}{i}}\Leftrightarrow {\color {blue}ia_{{\overline {n}}|i}}=1-v^{n}\\&=G+{\color {darkgreen}(C-G)v^{n}}\end{aligned}}$$

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命题. （麦肯公式）$$P=K+{\frac {g}{i}}(C-K).$$

证明. $${\begin{aligned}P&=\underbrace {Fr} _{Cg}a_{{\overline {n}}|}+\underbrace {Cv^{n}} _{K}\\&=Cg\left({\frac {1-v^{n}}{i}}\right)+K\\&={\frac {g}{i}}(C-\underbrace {Cv^{n}} _{K})+K\\&=K+{\frac {g}{i}}(C-K)\end{aligned}}$$

$\Box$

备注。

• 麦肯是 19 世纪英国的一位精算师。

在实践中，股票通常以“百分比”报价。例如，我们以 80% 的价格购买一定数量的股票，赎回价为 100%（按面值），或 105%（高于面值）。有时，债券的面值未指定。在这种情况下，我们应该以百分比（不含百分号）或等效地以每 100 面值的价格表示答案，例如，价格百分比为 110 等于价格为每 100 面值 110。

示例。 （无息债券） 一张10 年期 零息债券 ($n=0$) 的价格 ($P$)，其面值为 1000 美元 ($F=1000$)，收益率 ($i$) 为 4%，半年期 计息（到期还本）为 $$P=\underbrace {C} _{=F}(1+4\%/2)^{-2\times 10}=(1000)(1.02)^{-20}\approx 672.971333$$

示例。 （附息债券） 一张 20 年期的债券，其面值为 5000 美元，票面利率为 8%，半年期计息，在 6% 的收益率下，半年期计息（到期还本）的价格为 $$P=Fra_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=5000(8\%/2)(a_{{\overline {40}}|6\%/2})+5000(1.03)^{-40}=200\cdot {\frac {1-(1.03)^{-40}}{0.03}}+5000(1.03)^{-40}\approx 6155.738599$$ 或者，在计算器上按：2ND FV; 5000 FV; 200 PMT; 3 I/Y; 40 N; CPT PV
第一条指令清除财务计算器。第二条指令将 5000 作为未来值 (FV) 输入。第三条指令将 200 作为息票支付 (PMT) 输入。第四条指令将 3 作为利率 (I/Y) 输入。最后一条指令计算 (CMPT) 现值 (PV)。

练习。

1 选择所有正确的公式。

	$P-K=Fra_{{\overline {n}}|i}$
	$P-K=K(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$
	$A=ra_{{\overline {n}}|i}+Rv^{n}$
	$P=FR(1-(g-i)a_{{\overline {n}}|i})$
	$Fr=Cg=Gi$

2 选择所有正确的陈述。假设收益率为正，债券到期还本。

	如果 $C>G$，那么 $P>G$。
	如果 $P=C$，那么债券没有息票。
	如果 $C>P$，那么债券没有息票。
	如果债券没有息票，那么 $C>P$.
	${\frac {g}{i}}(C-K)>0$.
	给出 $P,F,r,n,i$ 中的任何四个，我们可以在 $P,A,F,C,R,r,g,n,K,G$ 中计算剩余的未知变量。

存在所得税和资本利得税的情况

当存在所得税时，计算债券价格 ($P$) 的四个公式以类似的方式略微修改。假设所得税税率为 $t_{1}$。根据定义，$Fr$ 被计入收入，而 $C$ 不 被计入收入（由于 $P$ 和 $C$ 之差导致的收益则由资本利得税征税）。因此，在所得税下，债券价格是用 $Fr$ 乘以 $1-t_{1}$ 计算的 ($t_{1}Fr$ 是每次息票支付的所得税)。此外，我们考虑税款支付的 现值 来计算 现行 债券价格。因此，在所得税下，我们有以下修改后的公式

基本公式变为$$P=Fr(1-{\color {darkgreen}t_{1}})a_{{\overline {n}}|i}+\underbrace {Cv^{n}} _{K}.$$ 保险费/折价公式变为$$P=\underbrace {Cg} _{Fr}(1-{\color {darkgreen}t_{1}})a_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=C+C(g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})-i)a_{{\overline {n}}|i}.$$

• $P-C$ 如果 $P>C\Leftrightarrow g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})>i$ 则为保险费。
• $P-C$ 如果 $P<C\Leftrightarrow g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})<i$ 则为折价 (同时 存在资本利得）。

• 这提供了一种方便的方法来检查是否存在资本利得，我们需要注意的是 $g$ 和 $i$ 的计算周期必须相同，以便进行公平有效的比较 (周期不一定是一年)。

基础金额公式变为$$P=\underbrace {Gi} _{Fr}(1-{\color {darkgreen}t_{1}})+Cv^{n}=G(1-{\color {darkgreen}t_{1}})+(C-G(1-{\color {darkgreen}t_{1}}))v^{n}.$$ Makeham 公式变为$$P=\underbrace {Cg} _{Fr}(1-{\color {darkgreen}t_{1}})a_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=K+{\frac {g(1-{\color {darkgreen}t_{1}})}{i}}(C-K)$$

另一方面，资本利得税是对股票 (或其他资产) 的赎回价值与购买价格之间的差额征收的税款，当且仅当赎回价值严格低于赎回价值时。当存在资本利得税时，假设税率为 $t_{2}$，我们需要在赎回日 减去 购买价格的 现值，即 $t_{2}(C-P)$ (债券支付的资本利得税的 现值）。

示例。 （债券应纳所得税，但不纳资本利得税）回想一下之前示例中的债券：20 年期债券，面值为 5000 美元，票面利率为 8%，半年付息一次，收益率为 6%，半年付息一次。假设现在所得税率为 20%，资本利得税率为 30%。

首先，我们确定债券是否应纳资本利得税。由于（假设债券到期时按面值赎回）$g(1-20\%)=r(0.8)=(8\%/2)(0.8)=0.032>0.03=i$ （我们将半年修正后的票面利率与半年收益率进行比较）。因此，此债券没有资本利得，因此它不应纳资本利得税。

然后，考虑到所得税，债券价格变为$$P=Fr(1-20\%)a_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}=5000(8\%/2)(0.8)(a_{{\overline {40}}|6\%/2})+5000(1.03)^{-40}\approx 5231.147720,$$ 这低于之前示例中的价格，正如预期的那样（因为它在所得税下“价值较低”）。

示例。 （债券应纳所得税和资本利得税）考虑一只 5 年期债券，赎回价值为$10000$，票面利率为$2\%$，按季度计息，收益率为$3\%$，按半年计息。假设所得税率为 30%，资本利得税率为 35%。

由于$g(1-30\%)=2\%(0.7)=0.014<(1.03)^{1/2}-1\approx 0.014889\approx i$，（将季度票面利率与季度收益率进行比较，并且我们只有季度票面利率）购买债券存在资本利得，因此应纳资本利得税。

然后，考虑到所得税和资本利得税，债券价格为$${\begin{aligned}&&P&=C+C(g(1-0.3)-i)a_{{\overline {n}}|i}{\color {darkgreen}-0.35(C-P)(1.03)^{-20}}\\&\Rightarrow &(1-0.35(1.03^{-20}))P&=10000+10000(0.02(0.7)-0.014889)\cdot {\frac {(1+0.014889)^{-20}-1}{0.014889}}-0.35(10000)(1.03)^{-20}\\&\Rightarrow &P&\approx 9810.476577\end{aligned}}$$ 如果没有资本利得税，那么债券价格为$$P=10000+10000(0.02(1-0.3)-0.014889)\cdot {\frac {1-(1+0.014889)^{-20}}{0.014889}}\approx 9847.203661$$

练习。

选择所有正确的陈述。

	当只有资本利得税时，债券的价格必须严格低于没有资本利得税时的价格。
	当只有所得税时，债券的价格必须严格低于没有所得税时的价格。
	当同时存在所得税和资本利得税时，债券的价格必须严格低于没有这些税时的价格。
	当同时存在所得税和资本利得税时，支付的债券价格的现值加上支付的税款的现值等于没有这些税时的债券价格的现值。
	当 $P=C$ 时，债券不受资本利得税的影响。

分期偿还债券

定义。 （分期偿还债券）分期偿还债券是指通过分期付款的方式偿还的债券，即在多个偿还日期进行多次偿还。

那么，对于分期偿还债券，我们有以下公式： $$F=F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{k}$$ 其中 $F_{i}$ 是在 $n_{i}$ 年后偿还的票面金额，其他带有下标 $i$ 的符号对应于该票面金额。同样，根据定义， $$C_{j}=RF_{j},\quad C=RF=R\sum _{j}F_{j}=\sum _{j}C_{j},$$ 并且 $$K_{j}=C_{j}v^{n_{j}},\quad K=Cv^{n_{j}}=\sum _{j}C_{j}v^{n_{j}}.$$ 在这种情况下，Makeham 公式非常有用，可以简化计算。以下将说明其用途。

当没有税收时， $$P_{j}=K_{j}+{\frac {g}{i}}(C_{j}-K_{j})\Leftrightarrow \sum _{j}P_{j}=\sum _{j}K_{j}+{\frac {g}{i}}\left(\sum _{j}(C_{j})-\sum _{j}(K_{j})\right)=K+{\frac {g}{i}}(C-K)=P.$$

例：（无税的系列债券）考虑一个面值为$10000$ 的 10 年期系列债券，该债券可在第 2 年、第 4 年、第 6 年、第 8 年和第 10 年末以$110\%$ （即高于票面价值）赎回，分 5 次等额偿还，年息票利率为$3\%$ 。一位既不缴纳所得税也不缴纳资本利得税的投资者以价格$P$ 购买了该系列债券，使他获得的有效半年期收益率为$10\%$ 。计算$P$ 。

解： 我们将使用 Makeham 公式。根据给定的信息，$${\begin{aligned}C&=10000(110\%)=11000\\K&=2000(1.1)(v^{2}+v^{4}+\cdots +v^{10})\qquad v{\text{ is computed at }}1.1^{2}-1=21\%\\&=2000(1.1)(1.21^{-2}+\cdots +1.21^{-10})\\&=2000(1.1)((1.21^{2})^{-1}+\cdots +(1.21^{2})^{-5})\\&=2000(1.1)(a_{{\overline {5}}|1.21^{2}-1})\\&=4035.733718\\g&={\frac {10000(0.03)}{C}}={\frac {300}{11000}}\approx 0.0272727\qquad {\text{(annual)}}\end{aligned}}$$ 因此，根据 Makeham 公式，$$P\approx 4035.733718+{\frac {0.0272727}{0.21}}(11000-4035.733718)\approx 4940.182980.$$

令$P'$ 为系列债券在存在所得税时的价格。当存在所得税时，假设税率为$t_{1}$ ，则$$P'_{j}=K_{j}+{\frac {g(1-t_{1})}{i}}(C_{j}-K_{j})\Leftrightarrow \sum _{j}P'_{j}=\sum _{j}K_{j}+{\frac {g(1-t_{1})}{i}}\left(\sum _{j}(C_{j})-\sum _{j}(K_{j})\right)=K+{\frac {g(1-t_{1})}{i}}(C-K)=P'.$$

示例：（仅在所得税下计算的系列债券）回顾前一个例子中的系列债券：面值为$10000$的10年期系列债券，可在$110\%$（溢价赎回）以5期等额分期偿还，分别在第2、4、6、8和10年末偿还，年票面利率为$3\%$。

现在，假设另一位投资者，其所得税率仅为$15\%$，以$P$的价格购买了此系列债券，以使他获得$10\%$的有效半年期收益率。计算$P$。

解答：根据前一个例子的结果，$$P\approx 4035.733718+{\frac {0.0272727(1-0.15)}{0.21}}(11000-4035.733718)\approx 4804.515591$$

设 $P''$ 为存在利息和资本利得税时的分期债券价格。如果债券以折价出售（并且有利息税），即 $g(1-t_{1})<i$，则存在资本利得。假设 时间 $n_{j}$ 的资本利得为 $$C_{j}-\left({\frac {F_{j}}{F}}\right)P'',$$ ($F_{j}/F$ 是债券的比例，按名义价值计算，赎回对应于赎回价值 $C_{j}$)，因此资本利得税的总现值（假设税率为 $t_{2}$) 可支付为 $$\sum _{j=1}^{k}\left(t_{2}\left(\underbrace {RF_{j}} _{C_{j}}-{\frac {F_{j}}{F}}P''\right)v^{n_{j}}\right)=t_{2}\left(1-{\frac {P''}{FR}}\right)\sum _{j=1}^{k}RF_{j}v^{n_{j}}=t_{2}\left(1-{\frac {P''}{C}}\right)K=t_{2}\left(C-P''\right)v^{n},$$ 这与计算单次赎回普通债券的资本利得税方式相同。

示例。（存在利息税和资本利得税的分期债券）回忆上例中的分期债券：一张面值 $10000$ 的 10 年期分期债券，以 $110\%$ （高于票面价值赎回）赎回，在第 2 年、第 4 年、第 6 年、第 8 年和第 10 年末分 5 次等额偿还，年票面利率为 $3\%$。

现在，假设另一位投资者，其应缴所得税为$15\%$，资本利得税为$20\%$，以价格$P$ 购买了此系列债券，使得他获得了$10\%$ 的有效半年期收益率。计算 $P$。

解答: 基于前例中的结果，由于$g(1-0.1)\approx 0.0245454<0.21=i$，投资者有资本利得，因此投资者应缴资本利得税。所以，$$P\approx 4035.733718+{\frac {0.0272727(1-0.15)}{0.21}}(11000-4035.733718)-(1-0.2)(11000-P)(1.21)^{-10}\Rightarrow P\approx 3456.373106.$$

练习。

选择所有正确的陈述。

	在没有税收的情况下，具有多个分期付款的零息系列债券必须具有比具有相同$F$，并在比系列债券所有赎回日期都晚的日期单次赎回的债券更低的$P$。
	假设一个期限为 10 年的系列债券，以 10 个相等的金额$k$ 的分期付款赎回，价格为$P$。那么，对于 10 个期限为 1 年，以金额$k$ 的单次分期付款在债券期限结束时赎回的 1 年期债券，逐个购买，总共持续 10 年，其价格的现值之和也为$P$。
	系列债券的多次赎回金额相同。
	系列债券的多次赎回以规则的间隔进行。
	系列债券的多次赎回的现值不同。

账面价值

从上一节中，我们可以看到债券的$P$ 通常与$C$ 不同。这意味着债券的价值在债券期限内从购买价格调整到债券的赎回价值。

这种调整的原因是存在息票支付，以及由利率变化引起的价值变化。在上一节中，我们已经确定了债券的初始值 ($P$) 和债券的最终值 ($C$)。在本节中，我们还将确定开始和结束之间的价值，该值由息票支付和利率调整，我们将这些调整后的 值称为账面价值。

定义。 （账面价值）债券在时间 $k$ 的账面价值是指该债券在时间 $k$ 的价值，经由利息支付和利率调整后的价值。

备注。

• 在这本书中，我们将主要讨论债券在付息日时的账面价值，而不会过多讨论付息日 之间 的账面价值。
• 这类似于贷款的未偿余额（它会因偿还本金和利率而进行调整）。

由于账面价值衡量的是债券的 价值，因此我们使用类似于基本公式（该公式衡量债券的价值，以确定公允价格）的公式来计算它，如下所示。

命题。 （账面价值的基本公式）在时间 $k$ 的账面价值（其中 $k$ 是一个非负整数）为 $$B_{k}=Fra_{\overline {n-k|}}+Cv^{n-k},$$ 假设未来还有 $n-k$ 次利息支付。

证明。 这是由于在时间 $k$ 的账面价值衡量的是在时间 $k$ 的调整后的价值。

$\Box$

备注。

• 此公式也类似于计算贷款未偿余额的预期方法公式。
• 从该公式可以看出，在时间 $0$ 的账面价值即为债券的购买价格（当 $k=0$ 时，该公式变为 $Fra_{{\overline {n}}|i}+Cv^{n}$，这与基本公式相同。

然后，我们可以使用该基本公式得到计算账面价值的以下递归公式。

命题。 （账面价值的递归公式）在时间 $k$ 的账面价值（其中 $k$ 是一个非负整数）由以下公式计算：$$B_{k+1}=B_{k}(1+i)-Fr.$$

证明。 首先，我们断言 $$a_{{\overline {n-k}}|}=v+va_{{\overline {n-k-1}}|},$$ 这是正确的，因为 $$a_{{\overline {n-k}}|}={\frac {1-v^{n-k}}{i}}={\frac {1-v+v-v^{n-k}}{i}}={\frac {(1{\cancel {+i}}-1)/(1+i)}{\cancel {i}}}+v\cdot {\frac {1-v^{n-k-1}}{i}}=v+va_{{\overline {n-k-1}}|}.$$ 然后，$${\begin{aligned}&&B_{k}&=Fra_{\overline {n-k}}+Cv^{n-k}\\&&&=Fr(v+va_{{\overline {n-k-1}}|})+Cv^{n-k}\\&&&=v(Fr+\underbrace {Fra_{{\overline {n-(k+1}}|}+Cv^{n-(k+1)}} _{=B_{k+1}})\\&\Leftrightarrow &B_{k}(1+i)&=Fr+B_{k+1}\\\end{aligned}}$$

$\Box$

备注。

• 由此可知 $\Delta B_{k}:=B_{k+1}-B_{k}=iB_{k}-Fr$
• (术语) 如果 $\Delta B_{k}>0\Leftrightarrow B_{k+1}>B_{k}$，那么存在 递增 或 折现积累 （回顾一下 $C-P$ 如果 $P<C$ 是折现）

• 实际上，当且仅当 $P<C$ 时，存在折现积累

• (术语) 如果 $\Delta B_{k}<0\Leftrightarrow B_{k+1}<B_{k}$，那么存在 摊销 或 溢价累积（回顾一下，如果 $P-C$ 为正数，则为溢价）。

• 实际上，当且仅当 $P>C$ 时，才会出现溢价累积。

示例。 考虑一个债券，其参数为 $P=1000,F=1500,C=908.65,r=5\%,i=3\%$。 由于 $B_{0}=P=1000,B_{1}=B_{0}(1+i)-Fr=1000(1.03)-1500(0.05)=955,B_{2}=955(1.03)-1500(0.05)=908.65=C$，我们知道 $n=2$。 此外，由于 $\Delta B_{1}<0$ 和 $\Delta B_{2}<0$，在 $1$ 时刻和 $2$ 时刻存在摊销，或者说是溢价累积。

或者，我们可以使用基本公式来确定$n$: $${\begin{aligned}&&1000&=P=B_{0}=1500(0.05)a_{{\overline {n}}|}+908.65(1.03)^{-n}\\&\Rightarrow &1000&=75(1-1.03^{-n})/0.03+908.65(1.03)^{-n}\\&\Rightarrow &1591.35(1.03)^{-n}&=1500\\&\Rightarrow &-n&={\frac {\ln(1500/1591.35)}{\ln 1.03}}\\&\Rightarrow &n&=2.\end{aligned}}$$

练习。

选择所有正确的陈述。假设利率为正数。

	$B_{n}$是$n$年期债券在第$n$年结束时的一次性赎回是$C$.
	如果有折现累积，那么$\Delta B_{k}<0$.
	如果债券没有息票，则必须有溢价累积。

债券摊销表

由于债券的性质与贷款非常相似，我们可以构建一个债券摊销表，它类似于贷款摊销表.

回想一下，在贷款摊销表中，各列对应于支付（或分期付款）、支付的利息、偿还的本金以及未偿还的余额。因此，为了构建类似的摊销表，我们需要确定债券中哪些术语对应于这些术语。

• 对于未偿还的余额，我们已经提到债券的对应术语是账面价值 ($B_{k}$)
• 对于分期付款，我们已经提到债券的对应术语是息票支付 ($Fr$)
• 对于偿还的本金，类似的术语是$\Delta B_{k}:=B_{k+1}-B_{k}$，但由于我们正在构建摊销表，因此账面价值预计会下降（溢价债券），因此$\Delta B_{k}<0$，并且我们通常不想处理负号，因此我们定义了一个替代术语，如下所示

定义。 （本金调整）本金调整 是在息票支付期结束时发生的账面价值的减少（或摊销）。也就是说，在第$k$个息票支付期结束时，本金调整，记为 $P_{k}$，是$$P_{k}=B_{k-1}-B_{k}=-\Delta B_{k-1}.$$

然后，对于支付的利息，我们可以用类似于贷款中计算利息的方式来确定（将前一个期末的未偿余额乘以利率），即用前一个期末的账面价值乘以利率，即

命题。 （支付的账面价值利息）在第$k$个期初支付的账面价值利息是$$I_{k}=iB_{k-1}.$$

证明。 由利息的定义得出。

$\Box$

然后，我们有一个类似的公式，将$P_{k}$ 和$I_{k}$ 联系起来，与贷款情况相比。

命题。 （本金调整加支付利息等于息票）第 $k$ 个息票（$k$ 是一个使得第 $k$ 个息票存在的数字）是 $$k{\text{th coupon}}=P_{k}+I_{k}.$$

证明。 由于根据账面价值的递归公式，$P_{k}=-\Delta B_{k-1}=Fr-iB_{k-1}$，并且$I_{k}=iB_{k-1}$，$$P_{k}+I_{k}=Fr{\cancel {-iB_{k-1}+iB_{k-1}}}=Fr=k{\text{th coupon}},$$ 因为每个息票的金额都相同，为$Fr$.

$\Box$

现在，我们开始构建摊销表。

为了提高摊销表的使用效率，我们希望确定不同时期账面价值、本金调整等的公式。

为此，我们从$B_{0}$ 开始。回顾账面价值的基本公式。由于它与债券价格的基本公式形式相同，因此我们有一个类似的溢价/折价公式用于账面价值，如下所示

命题。 （账面价值的溢价/折价公式）时间为$k$ 时的账面价值，其中$k$ 是一个非负整数，为$$B_{k}=C+C(g-i)a_{{\overline {n-k}}|i}$$

证明。 证明与债券价格的溢价/折价公式的证明相同，只是$n$ 被替换为 $n-k$。

$\Box$

根据定义，息票支付额为 $Cg=Fr$。

然后，使用这些，我们可以确定 $I_{k}$ 和 $P_{k}$ 如下

推论。 （确定每个息票的利息支付和本金调整）在第$k$ 个息票支付的利息，用 $I_{k}$ 表示，为$$iB_{k-1}=i\left(C+C(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\right),$$，而第$k$ 个息票的本金调整（或累积的溢价/折价金额（取决于债券是溢价债券还是折价债券））用 $P_{k}$ 表示，为$$C(g-i)v^{n-k+1}.$$

证明。 对于$I_{k}$ 的公式，根据关于$I_{k}$ 公式和账面价值的溢价/折价公式的命题，我们有 $$I_{k}=iB_{k-1}=i\left(C+C(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\right).$$

对于公式 $P_{k}$，根据 $P_{k}$ 和 $I_{k}$ 之间关系的命题，我们有 $${\begin{aligned}P_{k}&={\text{coupon}}-I_{k}=Cg-i\left(C+C(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\right)\\&=Cg-Ci-Ci(g-i)a_{{\overline {n-k+1}}|i}\\&=(g-i)\left(C-Cia_{{\overline {n-k+1}}|i}\right)\\&=(g-i)\left(C-C{\cancel {i}}\cdot {\frac {1-v^{n-k+1}}{\cancel {i}}}\right)\\&=C(g-i)\left(1-(1-v^{n-k+1})\right)\\&=C(g-i)v^{n-k+1}.\end{aligned}}$$

$\Box$

之后，我们可以构建如下摊销表

债券摊销表

$k$	利息	$I_{k}=iB_{k-1}$	$P_{k}={\text{coupon}}-I_{k}$	$B_{k}$
$0$	N/A	N/A	N/A	$C+C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$
$1$	$Cg$	$iB_{0}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {n}}|i}$	$Cg-I_{1}=C(g-i)v^{n}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {n-1}}|i}$
$2$	$Cg$	$iB_{1}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {n-1}}|i}$	$Cg-I_{2}=C(g-i)v^{n-1}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {n-2}}|i}$
$\vdots$
$m$	$Cg$	$i{B}_{}$	$Cg-I_{m}=C(g-i)v^{n-m+1}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {n-m}}|i}$
$\vdots$
$n-1$	$Cg$	$iB_{n-1}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {2}}|i}$	$Cg-I_{n-1}=C(g-i)v^{2}$	$C+C(g-i)a_{{\overline {1}}|i}$
$n$	$Cg$	$iB_{n}=i(C+C(g-i))a_{{\overline {1}}|i}$	$Cg-I_{n}=C(g-i)v$	$C+\underbrace {C(g-i)a_{{\overline {0}}|i}} _{0}$
总计	$nCg$	${\text{total coupon}}-{\text{total principal adjustment}}=nCg-C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$	$C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}$

备注。

• 我们可以看到，当债券以溢价购买（即 $P>C\Rightarrow C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}>0$），账面价值将逐渐下降，因为每个本金调整都是正的，即账面价值在一个时期到另一个时期之间会下降（摊销）
• 我们可以看到，当债券以折价购买（即 $P<C\Rightarrow C(g-i)a_{{\overline {n}}|i}<0$），账面价值将逐渐上升，因为每个本金调整都是负的，即账面价值在一个时期到另一个时期之间会增加

例如。 考虑一个期限为 5 年的债券，票面利率为 $3\%$ 半年付，面值为 $F=150$。它以溢价购买，收益率为 $10\%$，按半年复利计算。假设 $C=100$。计算第 1、2 和 3 个半年期的本金调整总和，即 $P_{1}+P_{2}+P_{3}$。因此，使用 $P_{1},P_{2},P_{3}$ 计算第 3 个半年期的账面价值。

解决方案: 有效的半年期收益率 $i=5\%$. 此外，5 年 $\Rightarrow$ 10 个半年期票息，每个半年期票息为 $Fr=Cg=150(0.03)=4.5\Rightarrow g=4.5/100=0.045$. 因此，$${\begin{aligned}P_{1}+P_{2}+P_{3}&=100(0.045-0.05)(1.05)^{-10}+100(0.045-0.05)(1.05)^{-9}+100(0.045-0.05)(1.05)^{-8}&\approx -0.96768.\end{aligned}}$$ 因此，$$B_{3}=B_{0}-P_{1}-P_{2}-P_{3}\approx 100+100(0.045-0.05)a_{{\overline {10}}|0.05}-(-0.96768)\approx 97.10681.$$

示例.（使用间接信息进行债券摊销）考虑一只期限为 10 年、每年付息的债券。它以溢价买入，以每年 $10\%$ 的收益率计息。已知 溢价累积（即摊销金额）在 最后 一个票息为 $10$. 计算从第 2 年到第 9 年的溢价累积，即 $P_{2}+\cdots +P_{9}$.

解决方案: 共有 10 个票息。由于最后一个（即第 10 个）票息的摊销金额为 $10$，$$C(g-i)v_{0.1}=10\Rightarrow C(g-i)=10(1.1)=11$$。计算从第 1 年到第 10 年的总溢价累积，然后减去不需要的溢价累积更方便：$$P_{2}+\cdots +P_{9}=P_{1}+\cdots +P_{10}-P_{1}-P_{10}=C(g-i)a_{{\overline {10}}|0.1}-C(g-i)v_{0.1}^{10}-10=11a_{{\overline {10}}|0.1}-11(1.1)^{-10}-10\approx 53.349264.$$

练习。

选择所有正确的陈述。假设利率为正。

	在每次支付票息的时间，该票息支付的利息加上该票息调整后的本金等于该票息的金额
	如果 $P_{k}>0$ 对于每次支付票息的时间 $k$，则存在溢价累积。
	如果债券票息的支付时间点越靠后，则该票息的本金调整额越小。

可选主题：直线法

我们将介绍一种非常简单的债券摊销方法：直线法。在这种方法中（假设有$n$次利息支付），每次利息支付的本金调整是恒定的，即${\frac {P-C}{n}}$，对于溢价债券（$P>C$的债券）为正，对于折价债券（$P<C$的债券）为负。每次利息支付的利息也是恒定的，即$Fr-{\frac {P-C}{n}}$。因此，实质上，债券的账面价值在这种方法中呈直线变化（折价债券向上倾斜，溢价债券向下倾斜），因此被称为“直线法”。

示例：考虑一只期限为8年的债券，$P=1000,C=1300$，$g=10\%$。这是一只折价债券，使用直线法，每次利息支付的本金调整为${\frac {1000-1300}{8}}=-37.5$，每次利息支付的利息为$1300(0.1)-(-37.5)=167.5$。

备注。

• 这种方法对本金调整和利息支付给出了一个非常粗略的数字，得到的数字往往没有意义，因此很少使用。

选修内容：利息支付之间的账面价值

国库券以美元价格报价，价格单位为${\frac {1}{32}}$的$1\%$面值，面值取为100。

示例：

• $94{\text{-}}16$的报价意味着价格为$94$和${\frac {16}{32}}$，即$94.5$

• 当引号后出现“$+$”符号时，就会添加半个单位，即 ${\frac {1}{64}}$，例如 $94{\text{-}}16+$ 表示价格为 $94$ 和 ${\frac {33}{64}}$，即 $94.515625$

备注。 使用这种引号方式，可以节省空间。

投资者可以在两次付息之间购买国债。 由于时间位于两次付息之间，我们不能使用之前提到的方法来确定购买价格，我们还没有讨论在这种情况下如何计算价格。 处理这种情况有不同的方法，我们将讨论国债的处理方法。

对于国债，投资者需要补偿债券卖方从上次付息时间到债券结算日期（即交易完成的日期）所获得的利息，这部分金额称为应计利息，计算方法为 $${\text{coupon}}\cdot {\frac {\text{no. of days from last coupon payment to settlement date}}{\text{no. of days in coupon period}}}.$$ 因此，债券买方支付给卖方的总金额等于买卖双方商定的价格（可能是之前确定的“公平价格”，也可能不是）加上应计利息。

示例。 假设国债的付息周期为每年一次，每次付息金额为$100$。假设每年有 360 天，每个月有 30 天，如果买方以 $2000$ 的价格从卖方手中购买债券，结算日期为 3 月 1 日，那么买方需要支付的总价格为 $$2000+100\cdot {\frac {2\cdot 30}{360}}\approx 2016.667.$$

可赎回债券

定义。 （可赎回债券）可赎回 债券是指借款人（或发行人）有权在到期日之前赎回的债券。

备注。

• 当借款人在到期日之前赎回债券时，我们说借款人赎回了债券，因此被称为“可赎回债券”。
• “赎回”在其他一些情况下也有类似的含义，例如银行“赎回”贷款。

可赎回债券的说明

     possible redemption dates
           |-----^----|
-|---------|----------|----
 0         t          n

由于这种债券的可赎回性质，债券期限不确定。 因此，计算价格、收益率等存在问题。

为了解决这个问题，我们假设对投资者最不利的最坏情况。 也就是说，借款人将选择对投资者最不利的选择，如下所示

• 如果所有赎回日期的赎回价值（$C$）相等，那么如果$i<g\Leftrightarrow P>C$，则假设赎回日期将是最早可能的日期，否则（即 $i>g\Leftrightarrow P<C$），假设赎回日期将是最晚可能的日期。

• 这是因为如果 $i<g\Leftrightarrow P>C$，债券以溢价购买，因此赎回时会有 损失，所以对投资者来说最不利的状况是 损失 发生在 最早 的时间
• 如果 $i>g\Leftrightarrow P<C$，债券以折价购买，因此赎回时会有 收益，所以对投资者来说最不利的状况是 收益 发生在 最晚 的时间

• 如果所有赎回日期（包括到期日）的赎回价值 ($C$) 不相同，那么我们需要计算不同可能的赎回日期的债券价格，以检查哪个是 最低 的，因此对投资者来说是最 不利的

特别是，可赎回债券的赎回价值通常会随着债券期限的 延长 而 降低，即赎回时间越晚，赎回价值越低，如果债券没有被赎回，则债券将以赎回价值赎回。我们对赎回价值（通过回购）和面值之间的差额有一个特殊的名称

定义。 （回购溢价）回购溢价 是回购债券时赎回价值超过面值的差额。

示例。 （可赎回溢价债券）投资者以 $100$ 面值购买了 5 年期债券，年息票利率为 $5\%$，债券价格为 $P$。该债券可在第 3 年末到第 5 年末的任何息票支付日以 $90$ （等于其赎回价值）赎回。假设年利率为 $10\%$，计算 $P$。

解： 由于 $g={\frac {100(0.05)}{90}}\approx 0.05555<i=0.1$，该债券为折价债券，因此我们假设赎回日期将是 最晚 可能的日期，即第 5 年末。

所以，$$P=Fra_{{\overline {5}}|0.1}+Cv_{0.1}^{5}=5a_{{\overline {5}}|0.1}+90(1.1)^{-5}\approx 74.836849.$$

备注。 如果赎回日期是 最早 可能的日期，即第 3 年末，那么 $$P=5a_{{\overline {3}}|0.1}+90(1.1)^{-3}\approx 80.05259.$$

示例。 （可赎回贴现债券，可赎回溢价）投资者购买面值为$1000$ 的10年期债券，$10\%$ 的半年付息率，债券价格为$P$。该债券可在第10次付息日至第15次付息日的任何付息日以$1100$ 的价格赎回，并在第16次付息日至第20次付息日的任何付息日以$1050$ 的价格赎回。已知年利率为$10.25\%$，计算$P$。

解决方案： 半年利率为$i=1.1025^{1/2}-1=0.05$。由于不同赎回日期的赎回价值不同，我们需要计算不同赎回日期的债券价格，以确定哪个价格最低。

当$10\leq n\leq 15$（$n$ 表示第$n$ 次付息日），债券价格为$$P=1100+1100(1000(0.1)/1100-0.05)a_{{\overline {n}}|0.05}=1100+45a_{{\overline {n}}|0.05}$$，根据溢价/折价公式。当$16\leq n\leq 20$，$$P=1050+1050(1000(0.1)/1050-0.05)a_{{\overline {n}}|0.05}=1050+47.5a_{{\overline {n}}|0.05}$$，根据溢价/折价公式。

由于 $n$ 越大，$a_{{\overline {2n}}|0.05}$ 的值越大，当 $10\leq n\leq 15$ 时，价格在 $n=10$ 时为 最低；当 $16\leq n\leq 20$ 时，价格在 $n=16$ 时为 最低。

接下来需要比较这两个价格，以确定当 $10\leq n\leq 20$ 时，哪个价格最低。

• 当 $n=10$ 时，$P=1100+45a_{{\overline {10}}|0.05}\approx 1447.478$
• 当 $n=16$ 时，$P=1050+47.5a_{{\overline {16}}|0.05}\approx 1564.794$

因此，最低价格出现在 $n=10$ 时，为 $1447.478$。

练习。

1 计算 $P$ 当 $n=20$ 时。

	$1610.80$
	$1624.05$
	$1641.95$
	$1660.80$
	$1691.95$

2 假设半年期利率现在是 $20\%$。计算 $P$（当 $n$ 是一个合适的值时）。

	$465.65$
	$514.35$
	$538.94$
	$564.35$
	$638.94$

可选主题

可选主题：实际回报率

通货膨胀可以用一个代表某些商品和服务成本的 指数 来衡量。常见的指数之一是消费者价格指数 (CPI)。

实际 回报率，与 内部回报率 或者收益率相比，考虑了由 CPI 或其他合适的指数衡量的 货币价值 的变化。

如果我们令 $i$ 为内部收益率，$r$ 为实际收益率，$j$ 为恒定的通货膨胀率，那么我们有 $$(1+i)=(1+r)(1+j)$$ 令 $j$ 为从 $A$ 年到 $B$ 年的通货膨胀率。那么，$${\text{CPI at year }}B={\text{CPI at year }}A(1+j)\Rightarrow 1+j={\frac {{\text{CPI at year }}B}{{\text{CPI at year }}A}}$$ 因此，我们有 $$(1+i)=(1+r)\cdot {\frac {{\text{CPI at year }}B}{{\text{CPI at year }}A}}$$ 用于从 $A$ 年到 $B$ 年的收益率。

在本书中，我们涉及的所有关于价格、收益率等的计算，理论上都可以使用 实际购买力 单位而不是 货币 单位进行，前提是使用用于这些计算的指数。然而，本书将不会这样做，以下是一些在 实际 意义上进行不同计算的例子。

示例。（债券实际收益率）假设有一只期限为 2 年的债券，面值为 $100$，每年支付的票面利率为 $10\%$，到期还本。

一位投资者在 2020 年初以 $100$ 的价格买入该债券。鉴于 2020 年、2021 年、2022 年的消费者物价指数分别为 $230,250,260$，计算实际收益率 $r$。

$${\begin{aligned}&&100&=100(0.1)\left(\left((1+r)\cdot {\frac {250}{230}}\right)^{-1}+\left((1+r)\cdot {\frac {250}{230}}(1+r){\frac {260}{250}}\right)^{-1}\right)+100\left((1+r)\cdot {\frac {260}{250}}\right)^{-1}\left((1+r)\cdot {\frac {250}{230}}\right)^{-1}\\&\Rightarrow &1&=0.1\left({\frac {230}{250}}(1+r)^{-1}+{\frac {230}{260}}(1+r)^{-2}\right)+{\frac {230}{260}}(1+r)^{-2}\\&\Rightarrow &(1+r)^{-1}&\approx 0.9676{\text{ or }}(1+r)^{-1}\approx -1.0621{\text{ (rejected)}}\\&\Rightarrow &r&\approx 0.033485.\end{aligned}}$$

对于一些证券，它们是指数挂钩的，例如指数挂钩息票会根据消费者物价指数给出不同的息票。

示例。 （指数挂钩债券）2018年6月1日发行了几笔面值为200的指数挂钩债券，并在2020年6月1日到期偿还。每笔债券的票面利率为$5\%$，每年支付两次，在每半年期结束时支付（即到期支付）。实际的息票和赎回价值支付根据消费者物价指数的变化进行指数化，该变化来自债券发行日期前一年和息票或赎回支付日期前6个月（即息票和赎回乘以后者并除以前者）。以下是部分消费者物价指数：

• 2017年6月：95
• 2017年12月：99
• 2018年6月：100
• 2018年12月：105
• 2019年6月：107
• 2019年12月：103
• 2020年6月：110
• 2020年12月：106
• 2021年6月：112
• 2021年12月：115

计算$P$，即购买$10$笔债券的价格，以获得$5\%$的半年实际收益率，前提是这些债券一直持有到赎回。

解决方案： $$P=200(10)(0.05)\left({\frac {100}{95}}\cdot {\frac {100}{105}}(1.05)^{-1}+{\frac {105}{95}}\cdot {\frac {100}{107}}(1.05)^{-2}+{\frac {107}{95}}\cdot {\frac {100}{103}}(1.05)^{-3}+{\frac {103}{95}}\cdot {\frac {100}{110}}(1.05)^{-4}\right)+200(10){\frac {103}{95}}\cdot {\frac {100}{110}}(1.05)^{-4}\approx 1986.507$$

练习。

1 哪些给定的消费者物价指数对于计算来说是不必要的？

	2017年6月：95
	2017年12月：99
	2018年6月：100
	2018年12月：105
	2019年6月：107
	2019年12月：103
	2020年6月：110
	2020年12月：106
	2021年6月：112
	2021年12月：115

2 如果2017年6月的消费者物价指数增加到100，那么$P$

	增加。
	减少。
	保持不变。
	变化不确定。

备注。 分母为$95$的分数是指数挂钩调整。