金融数学 FM/一般现金流和投资组合

学习目标

考生将理解有关收益率曲线、回报率和久期和凸度度量的重要概念，以及如何执行相关计算。

学习成果

考生将能够

• 定义并识别以下术语的定义：收益率/回报率、加权平均收益率、时间加权收益率、现值、久期（麦考利和修正）、凸度（麦考利和修正）、投资组合、即期利率、远期利率、收益率曲线、股票价格、股票股利。
• 计算

• 加权平均收益率和时间加权收益率。
• 一组现金流的久期和凸度。
• 给定另一个，可以计算麦考利久期或修正久期。
• 由于利率变化引起的现值近似变化，

• 由于利率变化引起的现值近似变化，
• 使用基于麦考利久期的 1 阶近似。

• 使用股利折现模型计算股票价格。
• 使用从远期利率和即期利率推导出的收益率曲线，计算一组现金流的现值。

折现现金流分析

定义。 （净现金流） 时间 $t$ 处的净现金流等于时间 $t$ 处的现金流入减去时间 $t$ 处的现金流出。

备注。 我们使用 $C_{t}$ 表示时间 $t$ 处的净现金流。

然后，我们可以如下表达一系列现金流

净现金流	$C_{0}$	$C_{1}$	$C_{2}$	$\cdots$	$C_{n}$
时间	$0$	$1$	$2$	$\cdots$	$n$

在定义净现金流之后，我们还可以定义净现值。

定义。 （净现值）净现值（NPV），记为 $P(i)$，是所有净现金流的现值之和，即 $P(i)=\sum _{t}{C_{t}v^{t}}.$

备注。

• 净现值是 $i$ 的函数。
• 一项投资是有利可图的当且仅当其净现值是正的，即投资中的现金流序列等效于时间 0 的一个现金流入。
• 现金流的现值可以解释为贴现现金流：时间 $t$ 的现金流按因子 $v^{t}$ 折现。

以下是一个说明如何使用净现值确定投资盈利能力的例子。

练习。

Ivan 给你一个投资他项目的提议。他的项目需要你现在投资 10,000 美元，项目确定在第二年底支付你 3,000 美元，在第三年底支付你 4,000 美元，在第十年底支付你 5,000 美元。在年有效利率为 10% 的情况下，你应该接受他的提议吗？

	是
	否

除了确定投资是否有利可图之外，我们有时还想了解投资有多有利可图。用投资的回报率来衡量投资有多有利可图的一种自然方法是使用内部收益率。

定义。 （内部收益率）一项投资的内部收益率 (IRR) 是使该投资的净现值等于零的每个计量期的有效利率。

备注。

• 它也被称为收益率。
• 等效地，内部收益率是使初始投资，即时间零的现金流，等于未来净现金流的净现值的利率。因此，我们可以将初始投资分成几部分，每部分将在内部收益率下，在现金流对应的时刻积累到对应现金流的金额。(见下面的练习。)
• 内部收益率也是使成本的总现值（即现金流出）等于收益的总现值（即现金流入）的利率。
• 它是“内部”的，因为计算排除了外部因素，例如金融风险、通货膨胀等。
• 一般来说，用手直接计算内部收益率非常困难。因此，通常使用财务计算器，例如 BA II Plus，来计算它。我们也可以使用利息表中的线性插值来近似它。
• 它可能不存在，也可能不唯一。尽管在实践中很少见，但可能没有内部收益率，或者有多个内部收益率。

让我们在下面的练习中说明备注中提到的初始投资的分割。

考虑以下投资的现金流。

时间	净现金流
0	-500
1	100
2	0
3	300
4	0
5	500

练习。

参考上面的现金流，已知该投资的内部收益率为 17.05%（精确到小数点后两位）。将初始投资（金额为 500）分成三部分，这些部分将在内部收益率下（在本例中为 17.05%，请精确使用此百分比进行计算）在现金流对应的时刻积累到对应现金流的金额。将你的答案修正到小数点后两位。

金额为 的部分将在时间 1 积累到 100。

金额为 的部分将在时间 3 积累到 300。

金额为 的部分将在时间 5 积累到 500。

在 17.05% 的利率下，即内部收益率下。

BA II Plus 计算器用法

TI BA II plus 具有现金流函数来处理不均匀的现金流流。以下是一个现金流的示例。

时间	净现金流
0	-500
1	100
2	0
3	300
4	0
5	500

kk

您可以使用以下命令来计算每个计量期有效利率为 10% 的净现值。

2ND CE|C CF 500 +|- ENTER ↓ 100 ENTER ↓ ↓ 0 ENTER ↓ ↓ 300 ENTER ↓ ↓ 0 ENTER ↓ ↓ 500 ENTER NPV 10 ENTER ↓ CPT

您应该得到 NPV=126.76。以下是该命令的一些解释。

1. 2ND CE|C 将清除计算器中保存的任何先前工作。
2. CF 进入现金流模式。
3. 接下来，您将看到 CF0=，您需要输入第一个现金流 -500，它是在时间零发生的。您应该输入现金流出的负值。这是 BAII Plus 计算器中使用的约定。
4. 输入 -500 后按 ↓，您将看到 C01，您需要输入第二个现金流 100，它是在时间一发生的。
5. 再次按 ↓，您将看到 F1，您需要输入现金流的频率，即该现金流重复了多少次。默认值为 1，在本例中是正确的。我们稍后将看到一个频率大于 1 的练习。
6. 然后，我们输入剩余的现金流。我们需要输入所有零现金流以确保后面的非零现金流在正确的时间输入。
7. 输入最后一个现金流 500 后，按 NPV 而不是 ↓。然后您将看到 I，需要输入有效利率（只输入百分比表达式中的数字）。在本例中应输入 10。
8. 按 ↓ 和 CPT 后，您应该看到 "NPV=126.76"，即净现值。

要计算内部收益率，请在输入最后一个现金流后按 IRR 然后按 CPT。您应该得到 IRR=17.05，即内部收益率为 17.05%。计算器只会显示百分比表达式中 % 符号之前的数字。(此结果在 关于分割初始投资的练习 中使用。)

以下是另一个现金流的例子。

时间	净现金流
0	-500
1	200
2	200
3	200
4	200
5	200

按 2ND CE|C CF 500 +|- ENTER ↓ 200 ENTER ↓ 5 ENTER NPV 10 ENTER ↓ CPT 计算每个计量期有效利率为 10% 的净现值。要计算内部收益率，请在 5 ENTER 之后按 IRR CPT。您应该得到净现值为 NPV=258.16，内部收益率为 IRR=28.65。

按 200 ENTER ↓ 后，我们会看到 F01，我们需要输入该现金流的频率。因为该现金流重复了五次，所以我们输入 5。

在后面的命令中，将省略 2ND CE|C，并且假设您在输入现金流之前始终按此命令序列。

让我们在下面的练习中练习计算器用法。

练习。

从 关于使用净现值确定盈利能力的练习 继续，计算项目的内部收益率。将你的答案修正到小数点后两位。

%

理想化的实际情况

在本小节中，我们假设可以自由地以固定利率借贷。实际上，虽然我们可以借贷，但我们可能不被允许自由地借贷，而且我们通常不能以固定利率长期借贷，因为利率会发生变化，而且借贷的利率通常不同（通常前者高于后者）。

在此假设下，我们可以计算“净累积值”，它类似于净现值。这个术语是非标准的，很少使用。我们可以将一个项目的净现金流与另一个项目联系起来，在这个项目中，利息是可支付的（当净现金流为正时，我们可以把钱投入，就像贷款一样）或记入（当净现金流为负时，我们需要取钱，就像借钱一样）以固定利率$i$。我们也假设我们可以自由地存取钱，金额任意（当然，它们会受到应付或记入利息的影响）。当另一个项目结束（比如在时间$T$）时，累积值将是

$\sum _{t\leq T}C_{t}(1+i)^{T-t}.$

其中$C_{t}$是第一个项目在时间$t$的净现金流。如果第一个项目在另一个项目结束之前结束，那么我们可以移除“$\leq T$”，因为$t$总是小于或等于$T$，即累积值将是

$\sum _{t}C_{t}(1+i)^{T-t}.$

如果另一个项目无限期地持续下去，这个值是未定义的（因为它趋于无穷大）。然而，对于一个持续无限期的项目，其中有净现金流，它的净现值可能是定义的，就像永续年金一样。

练习。

项目 A 需要 100 万的初始投资，并在第二年末带来 20 万的现金流入，第三年末带来 50 万的现金流入，第七年末带来 80 万的现金流入。但是，它需要在第五年末支付 30 万的维护费。半年实际利率为 5%。

1 计算项目 A 的净现值。

	-242471.42
	-234803.25
	-53188.09
	125876.53
	416927.61

2 假设我们将与项目 A 相关的现金流与项目 B 连接起来。在项目 B 中，利息以 10% 的固定年利率支付或记入，项目 B 无限期持续。计算第五年末与项目 B 连接的净现金流的累积值。

	它是未定义的。
	-1039310
	-390505.65
	571200
	1171200

在本小节中，我们还假设内部收益率存在，并且$P(i)$在严格小于内部收益率的利率下是正的，而在严格大于内部收益率的利率下是负的。实际上，这在实践中通常是这种情况，除非存在多个内部收益率。然后，我们有以下命题。

命题。（项目盈利的充分必要条件）假设内部收益率存在，并且$P(i)$在严格小于内部收益率的利率下是正的，而在严格大于内部收益率的利率下是负的。一个项目是有利可图的，当且仅当每个测量周期的实际利率严格小于内部收益率。

证明。 它遵循假设$P(i)$在严格小于内部收益率的利率下是正的，以及一个项目是有利可图的，当且仅当$P(i)$是正的。

$\Box$

备注。

• 一个等价的条件是，内部收益率严格大于投资者可以借贷的利率

或借钱。

• 实际上，这个想法也在关于计算内部收益率的练习的答案解释中提到过。

两个投资项目的比较

项目 A 和 B 比较的示例。当 $i$ 在橙色区域但不在红色区域时，$P_{A}(i)<P_{B}(i)$。当 $i$ 在红色区域但不在橙色区域时，$P_{B}(i)>P_{A}(i)$。当 $i$ 在红色和橙色区域的交点时，$P_{B}(i)=P_{A}(i)$。

有时，我们希望比较两个投资项目，以确定哪个项目具有更高的盈利能力，然后我们投资于盈利能力更高的项目。当然，我们可能会认为内部收益率更高的项目应该始终具有更高的盈利能力。但是，情况并非总是如此。

为了确定每个项目的盈利能力，我们应该比较每个项目在时间 $T$ 的利润，即两个项目中较晚结束项目的日期。等效地，这是以投资者可以借贷资金的利率 $i_{1}$ 计算的净现值。如果项目 A 的净现值，$P_{A}(i_{1})$，严格大于项目 B 的净现值，$P_{B}(i_{1})$，则项目 A 比项目 B 更有利可图。

由于项目 B 的内部收益率（$i_{B}$）严格高于项目 A（$i_{A}$）可能并不意味着 $P_{B}(i_{1})>P_{A}(i_{1})$（不等式是否成立取决于 $i_{1}$ 的值），内部收益率严格更高的项目并不一定具有严格更高的盈利能力。

练习。

项目 A 需要 1000 的初始投资，并在第一年底向投资者提供初始投资金额的两倍，项目 B 需要 2000 的初始投资，并在第二年底向投资者提供初始投资金额的两倍。我们最多只能投资一个项目。

1 计算项目 A 和 B 的内部收益率。如果答案不精确，请将答案保留两位小数。

项目 A 的内部收益率为 %.

项目 B 的内部收益率为 %.

2 假设年利率为 10%，我们可以自由地借贷资金。根据它们的盈利能力，我们应该投资项目 A 还是项目 B？

	项目 A
	项目 B
	两者都不。

3 有人声称项目 A 应该具有更高的盈利能力，因为它可以在更短的时间内提供初始投资金额的两倍，然后投资者可以利用时间差来借贷资金以赚取额外的利息。你同意这个说法吗？

	是
	否

4 有人声称，如果年利率严格高于项目 A 和 B 的内部收益率，我们就不应该投资项目 A 和 B。你同意这个说法吗？

	是
	否

借贷的不同利率

在理想化实际情况的小节中，我们假设投资者可以以相同的利率借入或贷出资金。然而，在实际操作中，投资者可能需要支付比投资收益率更高的借款利率，例如储蓄账户的收益率。（当我们存入资金时，账户中的资金可能会被用于贷款。）

在这种情况下，净现值和收益率的概念通常不再具有意义。我们必须从基本原理计算净现金流的累积。让我们通过以下练习来演示计算方法。

练习。

一个项目需要在第一年年底前投资 30000 元，并在第一年年底投资 20000 元。它在第一年年底给投资者 10000 元，在第三年年底给投资者 60000 元。我们只能以 10% 的有效利率借款，以 5% 的有效利率赚取存入储蓄账户的利息，并且我们可以在任何时候偿还贷款和存入资金。我们必须为每次需要的付款借款。计算十年年底净现金流的最大可能累计值。

	12700
	15531.28
	17870.18
	20045.90

折现回收期

在实践中，净现金流通常只改变一次符号，并且这种变化是从负值变为正值。在这种情况下，投资者账户的余额将在一个唯一的时间 $t^{*}$ 从负值变为正值。如果余额始终为负值，则该项目始终不盈利，因此不存在此时间。如果存在此时间 $t^{*}$，则它是折现回收期结束时的点。我们更正式地将其定义如下：

定义。 （折现回收期） 折现回收期是指最小的正整数 $t$，以时间单位计，使得

$A(t)=\sum _{s\leq t}C_{s}(1+i)^{t-s}\geq 0$

其中 $i$ 是净现金流累积的有效利率。

备注。 假设一个项目在时间 $T$ 结束。如果 $A(T)<0$，则该项目没有折现回收期，也不盈利。这是因为投资者账户的余额只会在一个唯一的时间从负值变为正值。如果余额在项目结束时仍为负值，则表明余额在整个项目期间都为负值，即净现值为负值。

练习。

一个项目需要在开始时投资 50000 元，并且从第 3 年年底开始，每年年底向其投资者支付 6000 元。如果年有效利率为 10%，则计算折现回收期。

年

特别地，我们需要计算借款投资的项目的折现回收期，当给出借款的有效利率时，例如 $j_{1}$，它可能与存款的有效利率不同，例如 $j_{2}$，如不同利率借贷的小节中所述。然而，$j_{2}$ 不参与也不影响我们的计算。

自然地，我们可能会认为，我们只需在折现回收期定义中用 $j_{1}$ 替换每个 $i$，并用它来计算折现回收期。但是，存在一个问题。虽然我们可以借款用于现金流出，因此在 $j_{1}$ 下累积净现金流为负值的金额是有意义的，但我们不能“为现金流入借款”。

相反，我们只能用现金流入偿还贷款，即减少我们借款的金额。鉴于此，我们需要一个假设，即假设可以在任意时间进行还款。（借款时间越长，累积的利息金额就越高。因此，为了最小化利息支付并最小化净现金流累积价值为非负的时间，我们应该尽快偿还贷款，当我们收到一些现金流入时。）

然后，我们也可以将现金流入或正净现金流以$j_{1}$ 的利率进行累积，因为它们可以被视为贷款累积价值的减少，而贷款的有效利率为$j_{1}$（累积价值包括未偿还的贷款金额和累积的利息）。更准确地说，对于每个正净现金流$C_{s}$，它用于在时间$s$ 偿还贷款，然后偿还的贷款将在时间$s$ 后停止累积利息。因此，它在时间$s$ 将贷款减少$C_{s}$，并且还减少了如果贷款不在时间$t$ 之前偿还，将继续累积的未来利息，即减少$C_{s}\left((1+j_{1})^{t-s}-1\right)$。因此，贷款和利息的总减少额为

$\underbrace {C_{s}} _{\text{loan}}+\underbrace {C_{s}\left((1+j_{1})^{t-s}-1\right)} _{\text{interest}}=\underbrace {C_{s}(1+j_{1})^{t-s}} _{\text{total}}.$

然后，在某个现金流入时，其金额足以完全偿还贷款（利息也在使用现金流入偿还贷款的过程中支付），然后在那个时间点，每个净现金流之和的累积价值将大于或等于零。因此，该现金流是最后一次偿还贷款，并且该现金流发生的时刻是时间$t$（因此未来的利息等于零，因为没有时间累积）。

因此，我们可以用$j_{1}$ 替换贴现回收期定义中的每个$i$，假设可以任意时间进行还款。

如果项目有利可图，项目在时间$T$ 结束时的累积利润为

$\underbrace {A(t^{*})} _{{\text{balance at }}t^{*}}\overbrace {(1+j_{2})^{T-t^{*}}} ^{{\text{ depositing }}A(t^{*})}+\underbrace {\sum _{t>t^{*}}C_{t}(1+j_{2})^{T-t}} _{\text{net cash flows after discounted payback period}}.$

其中 $t^{*}$ 是贴现回收期结束的时间。

如果项目没有盈利，那么累计利润为负（即亏损）或零（那么我们在投资该项目方面无差别），我们不能使用上述公式。

练习。

继续从 前一练习。假设还款可以在任意时间进行。借款的年有效利率为10%，存款的年有效利率为6%。

1 计算贴现回收期。

月

2 假设项目在第20年年底结束。计算项目结束时的累计利润。将您的答案保留两位小数。如果累计利润为负数，请键入n/a。

3 假设项目在第21年年底结束。计算项目结束时的累计利润。将您的答案保留两位小数。如果累计利润为负数，请键入n/a。

再投资率

在 理想化实际情况部分，我们考察了将现金流入与另一个项目连接会发生什么。本小节的主要思想与这种情况类似，可以解释为这种情况的广义版本，因为本小节讨论了再投资的更多方式，而不局限于与另一个项目连接。

假设我们在一个项目上投资1元，该项目在每个时期末以 $i$ 的有效利率支付利息，持续 $n$ 个时期，并且收到的利息以 $j$ 的有效利率进行再投资。那么，在 $n$ 个时期结束时的累计价值为

$\underbrace {1} _{\text{principal}}+\underbrace {is_{{\overline {n}}|j}} _{\text{accumulated value of interest}}.$

特别是，如果 $i=j$，它等于 $(1+i)^{n}$，这与复利的情况相同，因为这等效于复利的定义：赚取的利息以相同的利率 $i$ 自动再投资到项目中。

                            -|
    -----------------------> |
    |   -------------------> | rate j
    |   |              ----> |
    |   |              |    -|
    |   |              |   
1   i   i              i   i
↓   ↑   ↑    ...       ↑   ↑
|---|---|--------------|---|--- 
0   1   2    ...      n-1  n

假设我们在每个期间末投资 1，持续 $n$ 个期间，有效利率为 $i$，利息以有效利率 $j$ 进行再投资。那么，在 $n$ 个期间结束时的累计值为

$n+i(Is)_{{\overline {n-1}}|j}=n+i\left({\frac {{\ddot {s}}_{{\overline {n-1}}|j}-(n-1)}{j}}\right)=n+i\left({\frac {s_{{\overline {n}}|}-n}{j}}\right).$

特别地，如果 $i=j$，则它等于 $s_{{\overline {n}}|i}$。

    1   2   3   ...    n-1  n   total investment

    1   1   1   ...     1   1
    ↓   ↓   ↓   ...     ↓   ↓   
|---|---|---|-----------|---|--- 
0   1   2   3   ...    n-1  n
        ↓   ↓           ↓   ↓
        i  2i  ...  (n-2)i (n-1)i

练习。

假设我们在每个季度末投资 $k$，持续 $n$ 年，半年有效利率为 $10\%$，利息以年有效利率 $10\%$ 进行再投资。选择 $n$ 年结束时的累计值的正确表达式。

	$ks_{{\overline {n}}|0.1}$
	$kn+(1.1^{1/2}-1)k(Is)_{{\overline {n-1}}|1.1^{1/4}-1}$
	$kn+(1.1^{1/4}-1)k(Is)_{{\overline {n-1}}|1.1^{1/2}-1}$
	$4kn+4(1.1^{1/2}-1)k(Is)_{{\overline {4n-1}}|1.1^{1/4}-1}$
	$4kn+4(1.1^{1/4}-1)k(Is)_{{\overline {4n-1}}|1.1^{1/2}-1}$

基金的利息计量

为了计算投资基金的收益率，我们可以使用其已赚取的实际利率。回想一下，实际利率的定义假设本金在整个期间保持不变，整个期间赚取的所有利息都在期末支付。这些假设在实践中通常不满足，因为通常有不定期的本金存款和取款（它们是净现金流量），以及整个期间不定期的利息收入（每个区间的实际利率可能不同）。（也可能在某些时间段内没有赚取利息，即实际利率为零。）为了说明这一点，请考虑下图。

↓ ↑ ↑↑   ↓   ↓  ...  ↓↑   ↑    irregular principal deposits and withdrawals
|---|---|---|---------|---|---
0   1   2   3   ...  n-1  n
 |--------| |----|    |---|      irregular interest earning
 rate i_1  rate i_2 ... rate i_k

有两种方法可以计算这种复杂情况下的合理实际利率，即美元加权收益率（或利息）和时间加权收益率（或利息）。这两种方法可以简化计算。

美元加权收益率

目标是找到一个基金在一个计量周期内赚取的实际利率 $i$。为简单起见，我们使用以下符号

• $A$ 是期初基金中的金额
• $B$ 是期末基金中的金额
• $I$ 是该期间赚取的利息总额
• $C_{t}$ 是时间 $t\in [0,1]$ 贡献的本金净额。该值可以为正、负或零。（这是净现金流量）
• $C$ 是该期间贡献的本金总净额，即 $\sum _{t}C_{t}$.
• $_{a}i_{b}$ 是时间 $b$ 以 1 投资，在随后的长度为 $a$ 的期间内（即到时间 $a+b$），其中 $a,b$ 是正实数，使得 $a+b\leq 1$（因为我们正在考虑一个计量周期）。

     rate _{a}i_b 
     |---------|

-----|---------|-----
     b        a+b

然后，根据定义，

$\underbrace {B} _{\text{end}}=\underbrace {A} _{\text{start}}+\underbrace {C} _{\text{contribution}}+\underbrace {I} _{\text{interest}},$

并且如果我们假设所有赚取的利息，$I$，是在期末收到，以符合有效利率的定义，那么$I$ 的精确方程是

$I=\underbrace {i} _{_{1}i_{0}}A+\sum _{t}{C_{t}}(_{1-t}i_{t}).$

为了求解上述方程中的$i$，我们需要用更复杂的方式计算的项是$_{1-t}i_{t}$。没有任何假设，直接计算它非常困难甚至不可能。因此，我们需要一个假设来简化计算并近似它的值。

如果我们假设从时间$t$ 到$1$（每个时期对应一个净现金流量）的整个时期内都采用复利，

$_{1-t}i_{t}=(1+i)^{1-t}-1$

因为所涉及的时间长度是$1-t$。如果我们将此代入$I$ 的精确方程中，可以使用计算机或金融计算器通过迭代求解该方程。这不是本小节的重点。相反，以下才是重点。

如果我们想简化我们的计算，我们可以假设从时间$t$ 到$1$（每个时期对应一个净现金流量）的整个时期内都采用单利，那么

$_{1-t}i_{t}=\underbrace {(1-t)} _{\text{time length}}i.$

将它代入 $I$ 的精确公式，我们可以解出 $i$，然后

$I=iA+\sum _{t}C_{t}(1-t)i\iff i={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-t)}}$.

这被称为**美元加权收益率**（或利息）。让我们正式地定义如下：

定义。 （美元加权收益率）美元加权收益率是收益率 （或有效利率）的简单利息率近似值，其计算公式为：

$i^{DW}={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-t)}}.$

备注。

• 如果 $C_{t}$ 相对于 $A$ 很小，那么这种近似值就非常接近于精确的有效利率。

• 这是因为当 $C_{t}$ 很小时，$\sum _{t}^{}C_{t}(1-t)\approx 0$，因此 $i^{DW}\approx {\frac {I}{A}}$。
• 另一方面，根据定义，有效利率 $i={\frac {I}{A}}$。因此，$i^{DW}\approx i$。

• 之所以称之为美元加权收益率，是因为所涉及的术语大多与美元有关 ($A,C_{t},I$)

由于计算分子项可能很繁琐，我们还可以进一步假设每个净本金贡献发生在时间 $t=0.5$，那么我们有

$i^{DW}={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-0.5)}}={\frac {I}{A+0.5C}}={\frac {I}{A+0.5(B-A-I)}}={\frac {2I}{A+B-I}}$

   A                       B = A+C+I
---|-----------|-----------|---
   0          0.5          1
               +C

除了计算更简单的优点外，另一个优点是，我们只使用 $A,B,I$ 就可以计算出 $i$，而无需知道 $C_{t}$ 的值。

练习。

考虑一个基金，在第 1 年初的金额为 20000。

在第 1 年中，基金赚取了 1000 的利息，并且有 2000、3000、4000 的净现金流

分别在时间 $t=0.2,0.3,0.4$ 为该基金。

1 假设所有净本金贡献都发生在时间 $t=0.5$，计算美元加权收益率。

	3.33%
	3.83%
	4%
	4.08%
	5%

2 不假设所有净本金贡献都发生在时间 $t=0.5$，计算美元加权收益率。

	3.33%
	3.83%
	4%
	4.08%
	5%

3  

假设所有净本金贡献都发生在时间 $t=$ 的美元加权收益率 等于

不假设净本金贡献发生时间的美元加权收益率。（将您的答案保留两位小数。）

练习。 证明假设所有净本金贡献都发生在时间 $t=k\in [0,1]$ 的美元加权收益率为

${\frac {I}{kA+(1-k)B-(1-k)I}}.$

证明

在这种假设下，美元加权收益率为

$i^{DW}={\frac {I}{A+\sum _{t}C_{t}(1-k)}}={\frac {I}{A+(1-k)C}}={\frac {I}{A+(1-k)(B-A-I)}}={\frac {I}{A+(1-k)B-(1-k)A+(1-k)I}}={\frac {I}{kA+(1-k)B+(1-k)I}}.$$\Box$

时间加权收益率

对于美元加权收益率，它对不同子期间投资的金额很敏感。为了说明这一点，考虑以下基金情况。

情况 1

        +50            contribution
   100   50    200     balance
----|-----|-----|----
    0    0.5    1
     \   / \   /
      \ /   \ /
     -50%  +100%      effective interest rate

整个时期的美元加权收益率为

${\frac {\overbrace {200} ^{B}-\overbrace {50} ^{C}-\overbrace {100} ^{A}}{\underbrace {100} _{A}+\underbrace {50} _{C_{0.5}}(1-\underbrace {0.5} _{t})}}=40\%.$

情况 2

   100   50    100      balance
----|-----|-----|----
    0    0.5    1
     \   / \   /
      \ /   \ /
     -50%  +100%      effective interest rate

整个时期的美元加权收益率为 $0\%$，因为 $I=\underbrace {100} _{B}-\underbrace {100} _{A}-\underbrace {0} _{C}=0$.

情况 3

        -25            contribution
   100   50    50      balance
----|-----|-----|----
    0    0.5    1
     \   / \   /
      \ /   \ /
     -50%  +100%      effective interest rate

整个时期的美元加权收益率为

${\frac {\overbrace {50} ^{B}-(\overbrace {-25} ^{C})-\overbrace {100} ^{A}}{\underbrace {100} _{A}\underbrace {-25} _{C_{0.5}}(1-\underbrace {0.5} _{t})}}\approx -28.57\%.$

每种情况下，资金的美元加权回报率都大不相同。但是，在每种情况下，资金在每个子周期的有效利率都是相同的，整个周期的有效利率为 $(1-50\%)(1+100\%)-1=0\%$，它衡量的是资金的“表现”。 在两种情况下，美元加权回报率与 $0\%$ 相差很大。 因此，这无法准确地衡量资金的表现。 更准确的方法是使用时间加权回报率，它不受缴款金额和余额的影响。

定义。 （时间加权回报率） 考虑以下图表。

            C_{t_1} C_{t_2}   C_{t_3}  ... C_{t_{m-1}}  Net contribution to the fund
----|----------|-----|---------|---------------|-----|
  t_0=0       t_1   t_2       t_3    ...     t_{m-1} t_m=1
  B'_0       B'_1   B'_2      B'_3    ...    B'_{m-1} B'_m    Fund value 
     \       / \   /  \       /                 \   /
      \    /    \ /    \    /                    \ /
       \ /      j_2     \  /          ...        j_m       Yield rate
       j_1               j_3

其中

• $C_{t_{n}}$ 是时间 $t_{n}\in [0,1]$ 对资金的净缴款。
• $C_{t_{0}}=C_{t_{m}}=0$，因为时间 $t_{0}$ 和 $t_{m}$ 没有净缴款。
• $B'_{n}$ 是第 $n$ 次缴款之前的资金价值，并且 $n\in [1,m-1]$，因为只有 $m-1$ 次净缴款。 对于 $B'_{0},B'_{m}$，它们的定义如下，是为了使以下时间加权回报率公式对每个 $k\in 1,2,\ldots ,m$ 都有效。
• $B'_{0}$ 是期初的资金价值。
• $B'_{m}$ 是期末的资金价值。
• $j_{n}$ 是第 $n$ 个子区间的時間加权回报率。

假设基金总共有 $m-1$ 个净贡献，并且它们并不发生在期初或期末。那么，就有 $m$ 个子区间对应于这 $m-1$ 个净贡献，如上图所示。在第 $k$ 个子区间（即从时间 $t_{k-1}$ 到时间 $t_{k}$）的时间加权收益率定义如下：

$1+j_{k}={\frac {\overbrace {B'_{k}} ^{{\text{Balance just before }}k{\text{th contribution}}}}{\underbrace {B'_{k-1}+C_{t_{k-1}}} _{{\text{Balance at time }}t_{k-1}}}},$

整个期间的收益率（$i^{TW}$）由时间加权收益率定义如下：

$1+i^{TW}=(1+j_{1})(1+j_{2})\cdots (1+j_{m}).$

备注。

• 由于本金在整个期间发生变化，此收益率与复利假设不一致。
• 它是时间加权的，因为时间加权收益率受净贡献发生时间点的影响。
• 第 $k$ 个子区间的时间加权收益率是第 $k$ 个子区间的有效利率，因为时间 $t_{k-1}$ 的余额按有效利率累积到第 $k$ 个净贡献之前的余额，并且在累积过程中没有净贡献。
• 整个期间的收益率是整个期间的有效利率。

可以观察到，前面三种情况中的时间加权收益率分别是

$(1-50\%)(1+100\%)-1=0\%$

不受余额和贡献的影响。因此，在这种情况下，它比加权收益率更准确。虽然它更准确，但它需要比加权收益率更多的信息，因为我们需要关于不同时间点的贡献信息以及每个时间点对应的余额信息来计算总体收益率。另一方面，加权收益率只需要关于期初和期末的余额信息，以及贡献信息。因此，有时无法使用时间加权收益率计算总体收益率，但使用加权收益率就可以。

练习。

假设一个基金在年初的金额为 10000，第一季度末的金额为 15000，当年 7 月 31 日的金额为 17000，年末的金额为 22000。第一季度末，基金额外存入 3000 元，当年 7 月 31 日，从基金中提取 1000 元。

1 使用一年内的美元加权收益率计算全年的收益率。如果无法计算，请输入 n/a。答案保留两位小数。

%

2 使用时间加权收益率计算全年的收益率。如果无法计算，请输入 n/a。答案保留两位小数。

%

股票

在本节中，我们将讨论两种类型的股票：优先股（或优先股）和普通股（或普通股）。

一般来说，优先股是一种固定收益证券，定期支付固定股利。然而，它不同于债券，债券也提供固定收益，因为优先股是一种所有权证券，而不是债务证券（债券是一种债务证券），而且优先股的安全性排名低于债券和其他债务工具。这是因为所有债务的支付必须在优先股获得股利之前进行。

命题。（没有到期日的优先股价格）没有到期日的优先股价格，每期股利金额等于$D$ 为$$P={\frac {D}{i}}.$$

证明。为了设定一个反映其价值的“公平”股票价格，该价格被设定为所有定期未来股利的现值，这些股利永远持续下去，即$$P=Da_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {D}{i}}.$$

$\Box$

普通股也是一种所有权证券。但是，它没有获得固定股利率。相反，普通股股利只有在支付完所有债券和其他债务的利息以及优先股的股利后才会支付。因此，普通股的安全性比优先股更低。此外，普通股价格通常波动很大。

我们可以根据股利折现模型计算普通股的理论价格（这通常不是现实中的价格），即价格应该代表未来股利的现值，类似于优先股。

命题。（股利按几何级数变化的普通股价格）设$D$ 为本期末的普通股股利。假设预计股利将以公比$1+k$ 的几何级数无限期变化，其中$-1<k<i$。那么，理论价格为$${\frac {D}{i-k}}.$$

证明。理论价格为$$Dv+\underbrace {D(1+k)v^{2}} _{Dv[v(1+k)]}+\cdots ={\frac {Dv}{1-v(1+k)}}={\frac {Dv(1+i)}{1+i-v(1+i)(1+k)}}={\frac {D}{i-k}}.$$

$\Box$

股利支付的说明

       D  D(1+k)  ...
---|---|---|------------
   0   1   2      ...

示例。假设一只普通股每年支付$10$ 的股利，永远持续下去。预计普通股股利每年将增长$5\%$。

一位投资者以$200$ 的价格购买了这只普通股。计算收益率$i$。

解决方案： $$200=10v+10(1.05)v^{2}+\cdots \Rightarrow 200={\frac {10v}{1-1.05v}}\Rightarrow 200-210v=10v\Rightarrow v\approx 0.90909\Rightarrow i=0.1$$

练习。

1 假设现在对普通股的看法更加悲观，因此普通股股息预计每年仅增长 $3\%$。那么，收益率将

	增加。
	减少。
	保持不变。
	变化不确定。

2 假设普通股现在每年支付固定股息 $5$，并且预计每年增长 $x\%$，使得收益率保持不变。那么，$x$ 是

	$\geq 5$ 并且 $<6$。
	$\geq 6$ 并且 $<7$。
	$\geq 7$ 并且 $<8$。
	$\geq 8$ 并且 $<9$。
	$\geq 9$ 并且 $<10$。

选修主题：卖空

一些证券投资者使用 卖空（或卖空交易）当他们认为证券的 价格可能 下跌。在卖空交易中，卖出发生在 先，而 买入发生在后（理想情况下，价格低于卖出价格）。

由于这种术语，我们称正常交易（先买后卖）为 做多交易。

通常，在卖空交易中，投资者会从第二方 借入（而不是购买）证券，然后将其出售给市场上的第三方。之后，投资者会从市场 买回证券（理想情况下，价格低于卖出价格），并将证券返还给第二方。买回证券的过程被称为“回补空头”。

实际上，当 卖出时，卖空者需要支付一定比例的价格，这个比例被称为 保证金，并且在卖空头寸回补（即完成“回补空头”）之前，卖空者 无法取回保证金。卖空者将获得保证金存款的利息。

此外，如果证券支付股息，则卖空者需要将这些股息支付给证券的买方，而不能从证券的卖方（例如公司）那里获得。也就是说，卖空者暂时扮演了公司出售证券的角色，需要将股息支付给第三方。

示例. 一位投资者以$10000$ 的价格卖空了一支股票，并在第一年结束时以$9500$ 的价格回购。这支股票在当年支付了$700$ 的股息。已知保证金要求为$30\%$，保证金利率为$10\%$。计算投资者的收益率（即${\frac {\text{净利润}}{\text{保证金存款}}}$，因为保证金存款可以看作是投资金额，收益率是投资回报率）。

解答

• 卖空盈利为$10000-9500=500$
• 保证金利息为$0.1(10000(0.3))=300$
• 股票股息为$700$

因此，净利润为$$500+300-700=100.$$ 收益率为$${\frac {100}{10000(0.3)}}\approx 0.033333.$$

练习。

1 假设股票在当年支付了$D$ 的股息，使得收益率为零。计算$D$。

	$500$.
	$600$.
	$700$.
	$800$.
	$900$.

2 假设投资者对股票价格的预测错误，而股票价格实际上在第一个月（或在第一个年中的第$1/12$月结束时）投资者卖空股票后上涨至$10500$。因此，投资者以$10500$的价格回购股票以避免卖空造成进一步损失。在其他条件不变的情况下，投资者的收益率为

	$\geq -0.4$ 且 $<-0.3$.
	$\geq -0.3$ 且 $<-0.2$.
	$\geq -0.2$ 且 $<-0.1$.
	$\geq -0.1$ 且 $<0$.
	$\geq 0$ 且 $<0.1$.

利率期限结构

实际利率根据投资期限而变化，这由收益曲线显示。

定义。（收益曲线） 收益曲线是显示实际利率与投资期限之间关系的曲线。

备注。

• 通常，实际利率在期限较长时增加。
• 如果利率随期限增加，则收益曲线为正常或向上倾斜。
• 如果利率随期限降低，则收益曲线为倒置或向下倾斜。
• 如果利率先增加后降低，或先降低后增加，则收益曲线为弯曲 </ref>。
• 如果利率在每个期限都相同，则收益曲线为平坦 。

有一些理论解释了期限长度变化时实际利率的变化，这些理论将在金融数学 FM/利率决定因素章节中进行解释。

即期利率

当我们在任意给定日期计算任意组固定收益证券的收益率时，利率会根据投资的期限而变化，如上一节所示。因此，我们需要考虑这种变化。

如果除了期限之外还有其他因素发生变化，例如息票支付频率，那么比较不同组证券就会变得复杂。因此，为了避免复杂性，我们将短期利率和长期利率与零息债券进行比较，将每个证券视为（名义）零息债券的组合，如果我们假设不存在套利（即无风险交易利润）（这称为无套利假设）。

在假设不存在套利的情况下，固定收益证券和复制该证券的零息债券组合不可能具有两个不同的价格（这称为单一价格法则），否则投资者可能会能够利用价格差异获得无风险的交易利润。我们不会在这本书中讨论套利策略。但是，这种套利机会在现代金融市场中很少见，即使存在，也会在被一些投资者发现和利用后迅速消失。

实际上，即期利率与零息债券密切相关。

定义。 （即期利率）n 年期即期利率 是期限为 $n$ 的零息债券的年收益率，用 $i_{n}$ 表示。

备注。

• 由于利率会随着投资期限的变化而变化，因此 $i_{n}$ 对于不同的 $n$ 值通常不同。
• 利率期限结构 是指即期利率向量 $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})$ （括号内的数字是即期利率）。
• $n$ 通常是正整数，单位为年，但在一些罕见的情况下，它可能是带小数点的正数，单位不同。

示例。 （将固定利率债券视为零息债券的组合）考虑一只 10 年期债券，每年年底支付 $20$ 的息票，并在第 10 年年底赎回，赎回价值为 $500$ 。假设 $k$ 年期即期利率为 $0.01k$ ，计算 $P$ 。

那么，我们可以将这笔债券视为以下零息债券的组合：

• 对于十年的年度息票，我们用十只零息债券复制它们，在第 1 年、第 2 年、……、第 10 年年底的赎回价值为 $20$ 。
• 对于赎回款项，我们用一只零息债券复制它，在第 10 年年底的赎回价值为 $500$ 。

因此，债券价格为 $$P=20(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+\cdots +v_{i_{10}}^{10})+500v_{i_{10}}^{10}=20(1.01^{-1}+1.02^{-2}+\cdots +1.1^{-10})+500(1.1)^{-10}\approx 644.759{\text{ (by direct computation)}}$$

远期利率

定义。 (远期利率) 远期利率 $f_{t\to t+r}$ 代表在时间 $t$ 进行的无风险投资在时间 $t+r$ 到期时所支付的 年化 利率。

远期利率可以从即期利率计算得出，反之亦然。这是因为，在 $t$ 年期零息债券上投资 $k$，然后将赎回价值（即 $k(1+i_{t})^{t}$，因为 $k=Cv_{i_{t}}^{t}$) 投资到一个 $r$ 年期零息债券上，与在 $(t+r)$ 年期零息债券上投资 $k$ 具有相同的价值。也就是说，$$k(1+i_{t})^{t}(1+f_{t\to t+r})^{r}=k(1+i_{t+r})^{t+r}\Rightarrow (1+i_{t})^{t}(1+f_{t\to t+r})^{r}=(1+i_{t+r})^{t+r}.$$

示例。 考虑一个期限为 3 年的债券，票面利率为 $10$，在第一年和第三年年末支付，其赎回价值为 $50$。 假设 1 年期即期利率为 $5\%$，1 年期延迟 2 年期远期利率（即 $f_{1\to 3}$）为 $7\%$，计算 $P$。 解： 3 年期即期利率为 $\left((1.05)(1.07)^{2}\right)^{1/3}-1\approx 0.063291360$。 $$P=10(1.05)^{-1}+10(1.063291360)^{-3}+50(1.063291360)^{-3}\approx 59.43459.$$

平价收益率

定义。 （平价收益率） $n$ 年期 平价收益率，用 $i_{p_{n}}$ 表示，是指在当前期限结构下，期限为 $n$ 年的债券，其当前价格为 $1$ 每单位面值（即 $A=P/F$），假设债券以平价赎回（即 $C=1$）时所应付的 每单位面值 的票面利率（即 $Fr/F=r$）。 也就是说，$$i_{p_{n}}\left(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+\cdots +v_{i_{n}}^{n}\right)+v_{i_{n}}^{n}=1.$$ （根据公式 $P/F=Fr/F\left(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+\cdots +v_{i_{n}}^{n}\right)+Cv_{i_{n}}^{n}$)

备注。

• 平价收益率是衡量收益率和投资期限之间关系的另一种指标
• n 年期国债收益率与 n 年期即期利率之间的差值称为 n 年期息票偏差。

国债收益率的说明

   1  ipn ipn                 ipn 1
   ↓   ↑   ↑                   ↑↗ 
---|---|---|-------------------|---
   0   1   2                   n

示例。 假设年期利率的期限结构为 $(0.01,0.02,0.03,\ldots ,)$，计算 3 年期国债收益率。

解： 由于 $${\begin{aligned}&&i_{p_{3}}(v_{i_{1}}+v_{i_{2}}^{2}+v_{i_{3}}^{3})+v_{i_{3}}^{3}&=1\\&\Rightarrow &i_{p_{3}}(1.01^{-1}+1.02^{-2}+1.03^{-3})&=1\\&\Rightarrow &i_{p_{3}}\approx 0.3488685.\end{aligned}}$$

练习。

1 计算 3 年期即期利率。

	$0.01$
	$0.02$
	$0.03$
	$1.02$
	$1.03$

2 计算 3 年期息票偏差。

	$0.049$.
	$0.149$.
	$0.319$.
	$0.349$.
	$0.489$.

3 计算 2 年期延期 1 年期远期利率。

	$0.00980$.
	$0.00985$.
	$0.01980$.
	$0.00489$.
	$0.00494$.

麦考利久期、修正久期、修正凸度和麦考利凸度

麦考利久期衡量金融交易的平均长度或期限。

还有一种方法可以衡量平均到期期限，即等值时间法。该指标计算为不同付款的加权平均值，其中权重为支付的金额。例如，如果在时间$t=k$支付了$s_{k}$，则平均到期期限为$${\overline {t}}={\frac {\sum _{}^{}ts_{t}}{\sum _{}^{}s_{t}}}.$$ 然而，它没有考虑利率的影响，而麦考利久期考虑了利率的影响，因此通常是一个更好的指标。

定义。 （麦考利久期）麦考利久期$\operatorname {D} _{\text{mac}}(i)$为$${\frac {t_{1}v_{i}^{t_{1}}C_{t_{1}}+\cdots +t_{n}v_{i}^{t_{n}}C_{t_{n}}}{C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}}}$$，其中现金流$C_{t_{k}}$在时间$t_{k}$支付。

示例

      Ct1 Ct2        Ctk     Ctn
---|---|---|----------|-------|---    
   0  t_1 t_2   ...  t_k ... t_n

备注。

• 麦考利久期是现金流的平均期限，按其现值（而不是等值时间法中使用的金额）加权。
• 麦考利久期是$i$的函数，即随着$i$的变化而变化。
• 麦考利久期的其他名称包括折现平均期限。
• 除非另有说明，“久期”指麦考利久期。

示例。 一张面值为$10$的20年期债券，具有$3\%$的半年期票面利率。假设其赎回价值为$20$，半年期收益率为$i=5\%$。计算其麦考利久期。

解： 它的麦考利久期为$${\frac {10(0.03)(Ia)_{{\overline {40}}|0.05}+40(20)(1.05)^{-40}}{10(0.03)a_{{\overline {40}}|0.05}+20(1.05)^{-40}}}\approx 23.4893.$$

练习。

1 使用 等时法 计算其平均到期期限。

	$20.5$
	$23.2857$
	$32.6183$
	$32.6875$
	$32.7647$

2 如果 $i=0\%$，计算久期。

	$20.5$
	$23.2857$
	$32.6183$
	$32.6875$
	$32.7647$

衡量一系列现金流对利率变动的敏感性被称为 波动率。

定义. (修正久期) 考虑一系列现金流 $C_{t_{1}},C_{t_{2}},\ldots ,C_{t_{n}}$. 令 $P(i)$ 为该现金流在利率 $i$ 下的现值，即 $$P(i)=C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}.$$ 修正久期 为 $$\operatorname {D} _{\text{mod}}(i)={\color {darkgreen}-}{\frac {P'(i)}{P(i)}}={\frac {C_{t_{1}}t_{1}v_{i}^{t_{2}}+\cdots +C_{t_{n}}t_{n}v_{i}^{t_{n+1}}}{C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}}}={\frac {\operatorname {D} _{\text{mac}}(i)}{1+i}}$$

备注。

• 它衡量的是 变化率 的 $P(i)$ 与 $i$ 之间的，并且与现值的大小是 无关 的（由于分母的存在）。
• 它类似于 利息力，负号是为了确保波动性为正数，因为 $P'(i)<0$，考虑到对于每一个 $t$，${\frac {d}{di}}v^{t}<0$。
• 麦考利久期和修正久期之间存在密切关系，因此得名 修正 久期。
• 其他名称包括波动性。

定义。（修正凸性）考虑一系列现金流 $C_{t_{1}},C_{t_{2}},\ldots ,C_{t_{n}}$。令 $P(i)$ 表示这些现金流在利率 $i$ 下的现值，即 $$P(i)=C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}.$$ 修正的 凸性 是 $$\operatorname {C} _{\text{mod}}(i)={\frac {P''(i)}{P(i)}}={\frac {C_{t_{1}}(t_{1})(t_{1}+1)v_{i}^{t_{3}}+\cdots +C_{t_{n}}(t_{n})(t_{n}+1)v_{i}^{t_{n+2}}}{C_{t_{1}}v_{i}^{t_{1}}+\cdots +C_{t_{n}}v_{i}^{t_{n}}}}.$$

备注。

• 除非另有说明，"凸性" 指的是修正凸性。
• 在数学中，一个函数是否为"凸" 与其二阶导数有关，因此得名"凸性"。

• 与麦考利凸性相比，凸性是修正后的。

定义。 （麦考利凸度）考虑一系列现金流 $C_{t_{1}},C_{t_{2}},\ldots ,C_{t_{n}}$。 麦考利凸度 为 $$\operatorname {C} _{\text{mac}}(i)={\frac {t_{1}^{2}C_{t_{1}}v^{t_{1}}+\dotsb +t_{n}^{2}C_{t_{n}}v^{t_{n}}}{C_{t_{1}}v^{t_{1}}+\dotsb +C_{t_{n}}v^{t_{n}}}}$$

备注。

• 由于此凸度表达式与麦考利久期的表达式相似（分子中的时间项仅平方），并且与（修正）凸度表达式相似，因此称为 麦考利凸度。

凸度 的用法如下：考虑利息从 $i$ 到 $i+\epsilon$ 的微小变化。根据泰勒级数展开，$$P(i+\epsilon )=P(i)+\epsilon P'(i)+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}P''(i+\delta )$$，其中 $0<|\delta |<|\epsilon |$。因此，使用 波动率 和 凸度 可以得到 $P(i)$ 随着利息率微小变化的 近似值。这在 免疫 章节中非常有用。

例如。 假设在第 2、3 和 4 年末分别有 $100$、$200$ 和 $300$ 的现金流入，并且年利率为 $5\%$。它的 久期 为 $$\operatorname {D} _{\text{mac}}(i)={\frac {100(2)v_{0.05}^{2}+200(3)v_{0.05}^{3}+300(4)v_{0.05}^{4}}{100v_{0.05}^{2}+200v_{0.05}^{3}+300v_{0.05}^{3}}}={\frac {200(1.05)^{-2}+600(1.05)^{-3}+1200(1.05)^{-4}}{100(1.05)^{-2}+200(1.05)^{-3}+300(1.05)^{-4}}}\approx 3.30593.$$ 它的 修正久期 为 $$\operatorname {D} _{\text{mod}}(i)={\frac {d(i)}{1.05}}\approx 3.1485.$$ 它的 凸度 为 $$\operatorname {C} _{\text{mod}}(i)={\frac {100(2)(3)v_{0.05}^{4}+200(3)(4)v_{0.05}^{5}+300(4)(5)v_{0.05}^{6}}{100v_{0.05}^{2}+200v_{0.05}^{3}+300v_{0.05}^{4}}}\approx 13.4267$$

练习。 令 $P(i)$ 为本例中现金流的净现值。

1 计算 $P(0.05)$。

	$-535.80$
	$-510.28$
	$510.28$
	$535.80$
	$1686.95$

2 计算 $P'(0.05)$.

	$-1686.95$
	$-1606.62$
	$3.15$
	$1606.62$
	$1686.95$

3 计算 $P''(0.05)$.

	$-7194.03$
	$-6851.38$
	$13.43$
	$6851.38$
	$7194.03$

利率微小变化导致的现值变化的近似值

我们可以用麦考利久期或修正久期来 近似 利率 微小 变化导致的现值变化。

命题. （现值变化的一阶麦考利近似）令 $P(i)$ 表示利率为 $i$ 时的现值。那么，当利率从 $i_{0}$ 微小变化到 $i$ 时，新的现值为 $$P(i)\approx P(i_{0})\left({\frac {1+i_{0}}{1+i}}\right)^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}$$ ，前提是利率变化很小。

证明。

• 首先，$P(i)\approx P(i_{0})\left({\frac {1+i_{0}}{1+i}}\right)^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}\Leftrightarrow P(i)(1+i)^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}\approx P(i_{0})(1+i_{0})^{\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}$.
• 定义函数$Q_{t}(i)=P(i)(1+i)^{t}$.
• 然后，由于对于每个$i$，

$${\begin{aligned}&&Q_{t}'(i)&=0\\&\Leftrightarrow &P(i)t(1+i)^{t-1}+(1+i)^{t}P'(i)&=0\\&\Leftrightarrow &t&={\frac {-P'(i)(1+i)^{t}}{P(i)(1+i)^{t-1}}}\\&&&=\underbrace {\frac {-P'(i)}{P(i)}} _{=\operatorname {D} _{\text{mod}}(i)}(1+i)\\&&&=\operatorname {D} _{\text{mac}}(i),\end{aligned}}$$

• 使用一阶泰勒近似（因为利率变化很小）来近似$Q_{t}(i)$ 关于$i_{0}$，其中$t=\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})$，我们有

$${\begin{aligned}&&Q_{t}(i)&\approx Q_{t}(i_{0})+(i-i_{0})\underbrace {Q_{t}'(i_{0})} _{=0{\text{ when }}t=\operatorname {D} _{\text{mac}}(i_{0})}\\&&&=Q_{t}(i_{0})\\&\Leftrightarrow &P(i)(1+i)^{D_{\text{mac}}(i_{0})}&\approx P(i_{0})(1+i_{0})^{D_{\text{mac}}(i_{0})},\end{aligned}}$$

• 结果随之得出。

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命题. (现值变化的一阶修正近似) 设 $P(i)$ 是利率为 $i$ 时的现值。 那么，当利率从 $i_{0}$ 变为 $i$ 时，新的现值为 $$P(i)\approx P(i_{0}){\big (}1-(i-i_{0})\operatorname {D} _{\text{mod}}(i_{0}){\big )}$$，假设利率变化很小。

证明。

• 对 $P(i)$ 关于 $i_{0}$ 使用一阶泰勒近似（因为利率变化很小）

$$P(i)\approx P(i_{0})+(i-i_{0})P'(i_{0})=P(i_{0}){\color {darkgreen}-}{\color {blue}P(i_{0})}(i-i_{0})\cdot \underbrace {\frac {{\color {darkgreen}-}P'(i_{0})}{\color {blue}P(i_{0})}} _{\operatorname {D} _{\text{mod}}(i_{0})}=P(i_{0}){\big (}1-(i-i_{0})\operatorname {D} _{\text{mod}}(i_{0}){\big )},$$ 如预期。

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