金融数学 FM/免疫

学习目标

考生将理解有关现金流匹配和免疫的关键概念，以及如何执行相关的计算。

学习成果

考生将能够

• 定义并识别以下术语的定义：现金流匹配、免疫（包括完全免疫）、Redington 免疫。
• 构建投资组合以

• Redington 免疫一组负债现金流。
• 完全免疫一组负债现金流。
• 精确匹配一组负债现金流。

Redington 免疫

定义。 （免疫）免疫是一种 减少甚至 消除利率变动影响的技术。

备注。 有多种 免疫方式。本章将讨论几种免疫方法，并将讨论本节中的 Redington 免疫。

考虑一个具有 资产现金流和 负债现金流的基金。我们使用以下符号

• $P_{A}(i)$: 资产在有效利率 $i$ 下的现值
• $P_{L}(i)$: 负债在有效利率 $i$ 下的现值
• ${\overline {v}}_{A}(i)$: 资产现金流的波动性
• ${\overline {v}}_{L}(i)$: 负债现金流的波动性
• ${\overline {c}}_{A}(i)$: 资产现金流的凸性
• ${\overline {c}}_{L}(i)$: 负债现金流的凸性

我们有以下免疫条件定义

定义。 （Redington 免疫条件）在利率 $i_{0}$ 下，如果且仅当 $$P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})\quad {\text{and}}\quad P_{A}(i_{0}+\epsilon )\geq P_{L}(i_{0}+\epsilon ).$$，该基金对利率 $\epsilon$ 的微小变动是 免疫的。

备注。

• 即，利率的微小变化（$\epsilon$），无论是向上还是向下（$\epsilon >0$ 或 $\epsilon <0$），都会增加 $P$
• 实际上，实施这种免疫策略存在困难，例如，需要对投资组合进行持续的再平衡以保持资产和负债的波动率相等，这是不可行的。

• 尽管存在一些问题，但免疫策略仍然可以改善投资策略。

在实际应用中，我们使用一些其他等效条件来检查基金是否在 Redington 免疫下得到了免疫。我们有以下等效条件。

命题。（Redington 免疫的替代条件）令 $P(i)$ 为盈余 $P_{A}(i)-P_{L}(i)$。在利率 $i_{0}$ 下，基金对于利率的微小变化 $\epsilon$ 是 免疫的，当且仅当满足以下三个条件时

• （资产数量足以支持负债）$P(i_{0})=0$ 或 $P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})$
• （资产和负债的利率敏感度相同）$P'(i_{0})=0$，$P'_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})$（或 ${\overline {v}}_{A}(i_{0})={\overline {v}}_{L}(i_{0})$（满足 $P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})$ 和 $P'_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})$ 的结果））
• $P''(i_{0})>0$, $P''_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})$(, 或者 ${\overline {c}}_{A}(i_{0})>{\overline {c}}_{L}(i_{0})$ (满足 $P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})$ 和 $P''_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})$ 两者的结果)

证明。 通过泰勒级数展开，$$P(i_{0}+\epsilon )=P(i_{0})+\epsilon P'(i_{0})+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}P''(i_{0})+\cdots$$

• 根据定义，$P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})\Leftrightarrow P(i_{0})=0.$
• 第二项 $\epsilon P'(i_{0})=0$ 对于每个 $\epsilon$ 当且仅当 $P'(i_{0})=0\Leftrightarrow P'_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})$

• 另外，$\underbrace {P'_{A}(i_{0})/P_{A}(i_{0})=P'_{L}(i_{0})/P_{L}(i_{0})} _{\because P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})}\Leftrightarrow v_{A}(i_{0})=v_{L}(i_{0})$

• 因为 $\epsilon ^{2}>0$，第三项总是非负的，当且仅当 $P''(i_{0})>0\Leftrightarrow P''_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})$。

• 此外，$\underbrace {P''_{A}(i_{0})/P_{A}(i_{0})>P''_{L}(i_{0})/P_{L}(i_{0})} _{\because P_{A}(i_{0})=P_{L}(i_{0})>0}\Leftrightarrow c_{A}(i_{0})>c_{L}(i_{0})$

• 展开式的第四项及后续项（$\underbrace {\epsilon ^{3}} _{\text{small}}\left(P'''(i_{0})\right)/3!,\ldots$）在展开式中非常小，可以忽略，因为 $|\epsilon |$ 很小。

$\Box$

备注。

• 第三个条件保证利率的$\downarrow (\uparrow )$将导致资产价值$\uparrow (\downarrow )$ 比负债价值的$\uparrow (\downarrow )$ 多（少）（可以从泰勒级数展开中观察到）。

完全免疫

完全免疫是一种比Redington免疫更强的免疫技术，从某种意义上说，如果一个基金是完全免疫的，那么它就是Redington免疫的，但反过来不一定成立。特别是，Redington免疫只适用于利率的小幅变化，而完全免疫适用于利率的任意幅度变化。

定义。（完全免疫）设 $P(i)$ 是基金现金流的现值。如果 $P(i)>0,\quad P(i_{0})=0{\text{ and }}i\neq i_{0}$，则该基金是完全免疫的。

备注。

• 也就是说，除了现值为零的利率 $i_{0}$ 外，其他每个利率下的现值都是正的。这意味着现值始终是非负的。

命题。（完全免疫的条件）设 $P(i)$ 是基金现金流的现值。如果满足以下条件，则该基金是完全免疫的

• 对于每个负债现金流出，都有两个对应的资产现金流入，其中一个在负债现金流之前发生，另一个在负债现金流之后发生；
• $P(i)=0$;
• $P'(i)=0$.

证明。

• 由于 $P(i)=0$ 是其中一个条件，只需要从剩余的两个条件中证明 $P(i')>0,\quad i'\neq i$ 。
• 首先，考虑一个金额为 $L$ 的负债现金流出，假设在负债现金流出前 $a$ 个时间单位，进行了金额为 $A$ 的现金流入，并在负债现金流出后 $b$ 个时间单位进行了金额为 $B$ 的现金流入。
• 那么， $P(i)=0\Rightarrow {\color {blue}A(1+i)^{a}+B(1+i)^{-b}-L=0}$ 。
• 同时， $P'(i)=0\Rightarrow Aa(1+i)^{a}\ln(1+i)-Bb(1+i)^{-b}\ln(1+i)=0\Rightarrow Aa(1+i)^{a}=Bb(1+i)^{-b}$ 。
• 那么，对于每个 $i'\neq i$ ，

$${\begin{aligned}P(i')&=A(1+i')^{a}+B(1+i')^{-b}-{\color {blue}L}\\&=A(1+i')^{a}+B(1+i')^{-b}-({\color {blue}A(1+i)^{a}+B(1+i)^{-b}})\\&=A(1+i')^{a}-A(1+i)^{a}-B(1+i)^{-b}+B(1+i)^{-b}\cdot {\frac {(1+i')^{-b}}{(1+i)^{-b}}}\\&=A(1+i)^{a}\left({\frac {(1+i')^{a}}{(1+i)^{a}}}-1\right)+B(1+i)^{-b}\left({\frac {(1+i')^{-b}}{(1+i)^{-b}}}-1\right)\\&=A(1+i)^{a}\left({\frac {(1+i')^{a}}{(1+i)^{a}}}-1\right)+{\frac {Aa}{b}}(1+i)^{a}\left({\frac {(1+i')^{-b}}{(1+i)^{-b}}}-1\right)\\&=A(1+i)^{a}\left(\left({\frac {1+i'}{1+i}}\right)^{a}-1+{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {1+i'}{1+i}}\right)^{-b}-{\frac {a}{b}}\right).\\\end{aligned}}$$

• 令 $x={\frac {1+i'}{1+i}}$。那么，$P(i')=A(1+i)^{a}\left(x^{a}+{\frac {a}{b}}x^{-b}-1-{\frac {a}{b}}\right)$。
• 由于 $A(1+i)^{a}>0$（$A$ 和 $(1+i)^{a}$ 都是正数），要确定 $P(i')>0$，只需考虑函数 $f(x)=x^{a}+{\frac {a}{b}}x^{-b}-1-{\frac {a}{b}}$。
• 由于 $f'(x)=ax^{a-1}-ax^{-b-1}=a(x^{a-1}-x^{-b-1})$，并且 $a-1>-b-1$（因为 $a>-b,\quad a,b>0$）
• $f(x){\begin{cases}>0,&x>1;\\=0,&x=1;\\<0,&x<1.\end{cases}}$.
• 这是因为当 $x>1$ 时，$f(y)=x^{y}$ 严格递增，当 $x=1$ 时，始终等于 1，而当 $x<1$ 时，严格递减。
• 这表明 $f(x)$ 在 $x=1$ 处具有全局最小值，值为零（根据一阶导数检验），因此当 $x\neq 1$ 时，$f(x)>0$，这意味着当 $i'\neq i$（等同于 $x\neq 1$）时，$P(i')>0$。

$\Box$

精确匹配

精确匹配 现金流是一种简单的免疫策略。顾名思义，在这种策略中，每个负债现金流出都与现金流入精确匹配，这意味着现金流入的金额等于负债现金流出的金额，并且现金流入发生在与负债现金流出相同的时间。

使用合适的零息债券来精确匹配负债是精确匹配的一种常见方法。然而，这不是唯一的方法，有时合适的零息债券可能不可用。使用合适的息票债券是精确匹配的另一种方法。

由于精确匹配，用于精确匹配的现金流入的现值等于负债现金流出的现值。