金融数学 FM/利率互换

学习目标

学员将了解有关利率互换的关键概念，以及如何进行相关的计算。

学习成果

学员将能够

• 定义并识别以下术语的定义：互换利率、互换期限或互换期限、名义本金、互换的市场价值、结算日期、结算期、交易对手方、延迟互换、摊销互换、增值互换、利率互换净支付。
• 在提供足够信息的情况下，计算利率互换（延迟或其他）的市场价值、名义本金、即期利率或互换利率，无论名义本金是恒定还是变化。

引言与动机

正如“利率互换”这个名称所暗示的那样，在利率之间存在某种“互换”。事实上，要互换的利率是固定利率，在贷款期限内不会改变，以及浮动利率，它根据市场利率而变化。

由于未来市场利率是不确定的，因此浮动利率存在一些不确定性。由于有些人可能希望避免这种不确定性，他们可能希望为其贷款获得固定利率，而不是浮动利率。这促使了利率互换。

定义。 (利率互换) 利率互换是指两方交易对手在未来某个特定期间（称为互换期限或互换期限）内交换基于适用于特定本金金额（称为名义（本金）金额）的利率的支付的协议。

备注。

• 本金金额在名义上的意义在于，该金额从未由两个交易对手中的任何一方支付。
• 利率互换的固定利率称为互换利率，表示为$R$.

术语

对于浮动利率，它通常与特定指数挂钩，常见的指数包括伦敦同业拆借利率 (LIBOR) 和优惠利率 。与指数挂钩并不意味着浮动利率与该指数的利率完全相同。它可能会有一些修改。通常，浮动利率等于指数加上一些基点 (bp(s)) 。添加的基点称为“利差”。对于两个交易对手，一个是支付方，另一个是接收方。

定义。 (支付方) 在利率互换下，支付方是指基于固定利率支付款项的交易对手。

备注。

• 因此，支付方接收基于浮动利率的支付。

定义。 (接收方) 在利率互换下，接收方是指基于固定利率接收款项的交易对手。

备注。

• 因此，接收方支付基于浮动利率的款项。

在互换期限内，有一些与支付交换相关的术语。

定义。 (结算日期) 结算日期是在利率互换中指定的发生支付交换的日期。

定义。 (结算期) 结算期是结算日期之间的时间。

定义。 (净互换支付) 净互换支付是指一个交易对手在每个结算日期支付给另一个交易对手的金额。

备注。

• 在每个结算日期，只有一个交易对手向另一个交易对手支付一定金额的钱，具体取决于基于固定利率的支付与基于浮动利率的支付之间的差额。

有时，一方交易对手从第三方获得贷款，需要向第三方支付利息。在这种情况下，除了净互换支付（如果需要）之外，还需要额外的支付。

定义。 (净利息支付) 净利息支付是指有贷款的交易对手支付的总净支付（支付的贷款利息加上净互换支付（如果需要））。

大多数利率互换在互换期限内具有固定水平的名义本金，但这并非必须的，名义本金可以在互换期限内发生变化。

定义。 (增值互换) 增值互换是指名义本金在互换期限内增加的利率互换。

定义。 (摊销互换) 摊销互换是指名义本金在互换期限内减少的利率互换。

通常，利率互换的第一个结算期从时间零开始，但同样，这不是必须的，第一个结算期可以从稍后的时间开始。

定义。 (延迟互换) 延迟互换是指第一个结算期开始时间晚于时间零的利率互换。

互换利率

确定互换利率的基本原则是，互换利率的设定使得任何一方交易对手进入利率互换都没有成本（从现在起假设交易成本为零），即任何一方交易对手进入利率互换都不会变得更好或更糟。为此，各方预期未来支付的现值应相同。因此，各方预期未来的净支付（或接收）应为零。

定义。 (确定互换利率) 在互换利率下，基于固定利率的支付的现值等于基于浮动利率的支付的现值。

备注。

• 使用合适的方程，我们可以求解互换利率。

示例。 对于一个利率互换，（固定）本金为10000，一年期和两年期的即期利率分别为3%和5%。一年期的递延一年期远期利率$f_{1\to 2}=1.05^{2}/1.03-1\approx 0.0704$（基于浮动利率的第二年支付基于此远期利率）。然后，互换利率$R$ 由以下公式确定$$10000R(1.03^{-1})+10000R(1.05^{-2})=10000(0.05)(1.05^{-1})+10000(0.0704)(1.06^{-2})\Rightarrow R={\frac {0.05/1.05+0.0704/1.06^{2}}{1.03^{-1}+1.05^{-2}}}\approx 5.87\%.$$

备注。

• 计算互换利率时，固定本金的金额无关紧要。
• 对于每一年的固定利率支付为$10000R$，分别对应第一年和第二年，而基于浮动利率的支付为第一年的$10000(0.03)$，以及第二年的$10000f_{1\to 2}$。

市场价值

在互换期限内的某个时间点，利率互换可以被交易对手方出售或关闭。要出售互换，卖方在该时间点收到互换的市场价值，该市场价值使用当时的即期利率计算得出。要关闭互换，一种可能的方式是，一方交易对手方在该时间点向另一方交易对手方支付市场价值。

定义。（利率互换的市场价值）利率互换的市场价值是互换下预期未来现金流的现值，使用确定市场价值时的即期利率计算得出。

备注。

• 市场价值可以是正数、负数或零。
• 由于互换本质上是两个交易对手方之间的支付交换，因此，在同一时间点，互换对一方交易对手方的市场价值是另一方交易对手方市场价值的负数。
• 未来现金流是未来的净互换支付。