金融数学 FM/利率决定因素

利率掉期

金融数学 FM
利率决定因素

随机利率

学习目标

考生将了解有关利率决定因素、利率组成部分的关键概念，以及如何进行相关计算。

学习成果

考生将能够

定义和识别利率的组成部分，包括：实际无风险利率、通货膨胀率、违约风险溢价、流动性溢价和期限风险溢价。
解释利率的组成部分如何在各种环境中应用，例如商业贷款、抵押贷款、信用卡、债券和政府证券。
解释美联储和 FOMC 在执行财政政策和货币政策中的作用，以及美联储和 FOMC 使用的工具，包括设定联邦基金利率目标、设定准备金率和设定贴现率。
解释利率按期限差异的理论，包括流动性偏好（机会成本）、预期、偏好栖息地和市场分割。
解释利率如何在不同国家之间有所不同（例如，美国与加拿大）。
在有和没有通货膨胀保护的贷款背景下识别实际利率和名义利率，并计算通货膨胀变化对有通货膨胀保护的贷款的影响。

利率的组成部分

与通货膨胀相关的组成部分

在本小节中，我们假设没有风险（可能存在通货膨胀）。在此假设下，利率的组成部分包括实际（无风险）利率和通货膨胀率。我们在金融数学 FM/货币的时间价值章节中讨论过这些内容。

与风险相关的组成部分

在现实中，贷款存在风险，特别是，一些借款人可能无法按时全额偿还借款金额和要求的利息。这种行为被称为违约。由于违约的可能性，利率包含违约风险溢价。因此，在年通货膨胀率为 $j$ 、年违约风险溢价为 $\beta$ 和年实际无风险利率为 $r$ 的情况下，年名义利率 $i=(1+r)(1+\beta )(1+j)-1\Rightarrow i\approx r+\beta +j$ .

如果利率和溢价是连续复利的，则名义利率 $i$ 由 $e^{i}=e^{r}e^{\beta }e^{j}\Rightarrow i=r+\beta +j$ 计算。在这种情况下，近似符号被等号替换。

除了违约风险溢价之外，还有期限风险溢价（或期限溢价），这种溢价通常存在于长期证券中，因为长期持有证券存在不确定性。类似地，如果这种溢价也包含在利率中，那么它将被添加到名义利率的表达式中。

流动性溢价

除了风险和通货膨胀之外，还有流动性溢价，因为证券有时可能流动性低，这意味着它不能轻易地买入或卖出，因此需要对这种流动性低进行补偿。类似地，如果这种溢价也包含在利率中，那么它将被添加到名义利率的表达式中。

美国央行的（简化）作用

这里的讨论是简化的，因为美国央行的实际运作非常复杂，超出了本书的范围。

首先，由于银行需要向中央银行存入一定数量的资金（由于存款准备金率），即使某些参与方无法履行交易义务，中央银行也可以介入并允许交易。因此，中央银行对于支付系统的运行至关重要。

其次，中央银行可以充当最后贷款人，这意味着银行可以在紧急情况下向中央银行借款（例如，许多客户提取资金，而银行的储备无法应对提取金额）。除了中央银行，银行也可以在需要时向同行借款，但同行可能不愿意或无法这样做，在这种情况下，银行仍然可以向中央银行借款，这就是它被称为最后贷款人的原因。

第三，美国中央银行由理事会、区域储备银行和联邦公开市场委员会（FOMC）组成。特别是，FOMC 制定有关央行资本市场活动的（货币）政策。此类政策常用的工具包括目标联邦基金利率、设定存款准备金率和设定贴现率（这与金融数学 FM/货币的时间价值中的贴现率不同）。

定义。 （联邦基金利率）联邦基金利率是指拥有超额准备金的银行将其资金贷给其他银行的利率。

定义。 （贴现率）贴现率是指银行可以直接从联邦储备系统借款的利率。

对于存款准备金率，它表示每家银行需要维持的最低准备金金额。

货币政策的影响

当（目标）联邦基金利率或贴现率上升（下降）时，银行运行准备金不足的成本会更高（更低），因此它们有动力在准备金中保留更多（更少）资金。结果，提供的贷款减少（增加），导致货币供应减少（增加）。随着货币供应减少（增加）（假设货币需求保持不变），贷款利率会上升（下降）（了解宏观经济学可以帮助理解这种推理）。

当存款准备金率下降（上升）时，银行运行准备金不足的成本会更高（更低），因此它们有动力在准备金中保留更多（更少）资金。结果，提供的贷款减少（增加），导致货币供应减少（增加）。随着货币供应减少（增加）（假设货币需求保持不变），贷款利率会上升（下降）（了解宏观经济学可以帮助理解这种推理）。

解释利率随期限变化的原因的理论

预期理论

根据预期理论，短期和长期投资的相对吸引力将根据未来利率变动的预期而变化。

对未来利率下降（上升）的预期使得短期投资减少（增加^[1]）吸引力，而长期投资增加 ^[2] （减少）吸引力。

因此，由于需求的变化，短期投资的收益率将上升（下降），而长期投资的收益率将下降（上升）。

流动性偏好理论

根据流动性偏好理论（或机会成本理论），期限较长的债券比期限较短的债券对利率变动的敏感度更高，因为投资者偏好流动性，因此在将资金锁定在长期债券之前，会对长期债券的回报更加敏感。此外，假设风险厌恶型投资者将要求对长期债券更大的风险和损失进行补偿（以更高的收益率的形式）。这可以解释长期债券相对于短期债券提供的部分额外回报。

市场分割理论

根据市场分割理论，不同期限的债券对不同投资者具有吸引力，他们选择在期限上与其负债相似的资产。也就是说，如果投资者的负债主要是短期（长期），那么投资者将选择短期（长期）债券。

因此，对债券的需求在不同期限上会有所不同。此外，债券的供应也会因期限而异，这是由于债券发行者（例如公司和政府）采用的策略造成的。

结果，由于供求力量的不同，有效利率将随期限而变化。

偏好栖息地理论

该理论类似于市场分割理论，但对于该理论，市场中的每个贷方和借方只是偏好特定期限的债券，并且愿意购买或出售其他期限的债券，前提是存在足够的激励措施，并且

练习。我们已经提到，有效利率通常在期限更长时会上升。

美国和加拿大利率之间的差异

报价基础

美国国库券和加拿大国库券有不同的传统报价基础。

定义。 （美国国库券的报价利率）美国国库券的报价利率为 ${\frac {360}{\text{days to maturity}}}\times {\frac {\text{dollar amount of interest}}{\text{maturity value of the treasury bill}}}.$

备注。

"到期天数" 指的是到期日剩余的天数。特别是，对于 $n$ -天国库券，计算报价利率时的到期天数发行时为 $n$ 天。

定义。 （加拿大国库券的报价利率）加拿大国库券的报价利率是 ${\frac {365}{\text{days to maturity}}}\times {\frac {\text{dollar amount of interest}}{\text{current price of the treasury bill}}}.$