金融数学 FM/随机利率

随机利率

在这本书中，我们主要讨论了确定性（即非随机）利率，我们将简要介绍随机（即随机）利率，通过将利率视为一个随机变量。我们使用以下符号

• $I_{t}$: 从$t-1$到$t$的期间的利率随机变量
• $\mu _{t}$: $I_{t}$的均值
• $\sigma _{t}^{2}$: $I_{t}$的方差

单笔投资的积累

示例. （一些简单的公式）对于从$t-1$到$t$的期间内，一笔单位资金的积累，

• 均值 为 $\mathbb {E} [1+I_{t}]=1+\mathbb {E} [I_{t}]=1+\mu _{t}$（对于非随机利率，它是$1+i_{t}$）
• 方差 为 $\operatorname {Var} (1+I_{t})=\operatorname {Var} (I_{t})=\sigma _{t}^{2}$
• 第二矩为 $\mathbb {E} [(1+I_{t})^{2}]=\operatorname {Var} (1+I_{t})+(\mathbb {E} [1+I_{t}])^{2}=\sigma _{t}^{2}+(1+\mu _{t})^{2}$

单笔支付在多个时间段内的累计

Assume that $I_{t}$ are independent for $t=1,\ldots ,n$. Let $S_{n}$ be the accumulation of a single unit sum of money invested for $n$ years, i.e. $$S_{n}=(1+I_{1})\cdots (1+I_{n}).$$ Then, by independence, $${\begin{aligned}\mathbb {E} [S_{n}]&=(1+\mu _{1})\cdots (1+\mu _{n})\\\mathbb {E} [S_{n}^{2}]&=\mathbb {E} [(1+I_{1})^{2}\cdots (1+I_{n})^{2}]\\&=\mathbb {E} [(1+I_{1})^{2}]\cdots \mathbb {E} [(1+I_{n})^{2}]\\&=\left(\sigma _{1}^{2}+(1+\mu _{1})^{2}\right)\cdots \left(\sigma _{n}^{2}+(1+\mu _{n})^{2}\right)\\\operatorname {Var} (S_{n})&=\mathbb {E} [S_{n}^{2}]-(\mathbb {E} [S_{n}])^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}+(1+\mu _{1})^{2}\right)\cdots \left(\sigma _{n}^{2}+(1+\mu _{n})^{2}\right)-(1+\mu _{1})^{2}\cdots (1+\mu _{n})^{2}\end{aligned}}$$ For simplicity, further assume that $I_{t}$'s are i.i.d. (identically and independently distributed), with mean $\mu$ and variance $\sigma ^{2}$. Then, $${\begin{aligned}\mathbb {E} [S_{n}]&=\underbrace {(1+\mu )\cdots (1+\mu )} _{n{\text{ copies}}}=(1+\mu )^{n}\\\mathbb {E} [S_{n}^{2}]&=(\sigma ^{2}+(1+\mu )^{2})^{n}=(1+2\mu +\mu ^{2}+\sigma ^{2})^{n}\\\operatorname {Var} (S_{n})&=\mathbb {E} [S_{n}^{2}]-(\mathbb {E} [S_{n}])^{2}=(1+2\mu +\mu ^{2}+\sigma ^{2})^{n}-(1+\mu )^{2n}\end{aligned}}$$

对数正态分布投资的累计

关于对数正态分布的一些信息

如果 $Y=\ln X$ 服从均值为 $\mu$ 方差为 $\sigma ^{2}$ 的正态分布，那么 $X$ 服从 对数正态 分布，其 参数（并非 通常意义上的均值/方差）为 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$。以下是参数为 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$ 的对数正态分布随机变量的一些性质：

• 概率密度函数 (pdf)：$f(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)$
• 均值：$\mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
• 方差：$\operatorname {Var} (X)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)=(\mathbb {E} [X])^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)$

使用对数正态分布的动机

让我们将对数正态分布应用于随机利率。如果$1+I_{t}$ 遵循参数为$\mu$ 和$\sigma ^{2}$的对数正态分布，则 $\ln(1+I_{t})$ 将服从均值为$\mu$ 方差为$\sigma ^{2}$的正态分布。

然后，考虑一个单位投资在$n$ 个时间单位内的累积的自然对数，我们有 $$\ln S_{n}=\ln((1+I_{1})\cdots (1+I_{n}))=\ln(1+I_{1})+\cdots +\ln(1+I_{n}).$$ 假设 $I_{t}$ 是独立的，$\ln(1+I_{t})$ 也将是独立的。如果我们进一步假设 $1+I_{t}$ 也服从对数正态分布，参数为 $\mu _{t}$ 和 $\sigma _{t}^{2}$，则 $\ln(1+I_{t})$ 服从正态分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma ^{2}$x，而独立正态随机变量的和 $\ln(1+I_{1})+\cdots +\ln(1+I_{n})$ 服从正态分布 均值为 $\mu _{1}+\cdots +\mu _{n}$，方差为 $\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}$ （这是关于正态分布的一个众所周知的结果）。也就是说，$$\ln S_{n}=\ln(1+I_{1})+\cdots +\ln(1+I_{n})\sim N(\mu _{1}+\cdots +\mu _{n},\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}).$$ 因此，如果我们将对数正态分布应用于随机利率，我们可以得到这个很好的结果（$\ln S_{n}$ 服从简单的正态分布）。

示例

示例。 (a) 已知 $1+I$ 服从对数正态分布，参数为 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$，$\mathbb {E} [I]=0.1$ 且 $\operatorname {Var} (I)=0.005$。计算 $\mu$ 和 $\sigma ^{2}$。

解： (a) 根据给定的均值和方差，我们有 $\mathbb {E} [1+I]=1+0.1=1.1$ 和 $\operatorname {Var} (1+I)=0.005.$ 因此，$${\begin{aligned}&&&{\begin{cases}e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}=1.1\\e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)=0.005\\\end{cases}}\\&\Rightarrow &1.1^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)&=0.005\\&\Rightarrow &\sigma ^{2}&=\ln \left(1+{\frac {0.005}{1.1^{2}}}\right)\approx 0.004124\\&\Rightarrow &e^{\mu +0.004124/2}&=1.1\\&\Rightarrow &\mu &\approx \ln(1.1)-0.004124/2\approx 0.09325.\end{aligned}}$$

(b) 进一步假设 $I_{t}$ 是第 $t$ 年的年收益率，$I_{t}$ 相互独立同分布，且服从上述分布。计算 $100$ 在 $10$ 年后的累计值的均值和方差，以及累计值小于 $220$ 的概率。

解决方案： (b) 由于 $\ln(1+I_{t})\sim N(0.09325,0.004124)$，$$\ln(S_{1}0)\sim N(10(0.09325)+10(0.004124))=N(0.9325,0.04124).$$ 所以，$S_{1}0$ 服从 对数正态 分布，参数为 $\mu =0.9325$ 和 $\sigma ^{2}=0.04124$。因此，其均值和方差如下：

• 均值：$\mathbb {E} [100S_{10}]=100e^{0.9325+0.04124/2}\approx 259.3790$
• 方差：$\operatorname {Var} (100S_{10})=100^{2}e^{2(0.9325+0.04124)}(e^{0.04124}-1)\approx 2832.5273$

然后，我们可以通过 $${\begin{aligned}\mathbb {P} (100S_{10}<220)&=\mathbb {P} (\ln S_{10}<\ln 2.2)\\&=\mathbb {P} \left(Z<{\frac {\ln 2.2-0.9325}{\sqrt {0.04124}}}\right)\qquad {\text{in which }}Z\sim N(0,1)\\&=\mathbb {P} (Z<-0.709303)\\&\approx 0.23885\qquad {\text{from standard normal table}}\end{aligned}}$$ 计算概率。