以下两个英语句子：
- 如果苏格拉底是人，那么苏格拉底是凡人。
- 如果亚里士多德是人，那么亚里士多德是凡人。
都是真的。但是，在没有提供“它”的引用的上下文中，
- (1) 如果它是人，那么它是凡人。
既不是真也不是假。“它”不是名词，而是一个空占位符。“它”可以通过从周围上下文中获取引用来指代一个对象。但是，如果没有这样的上下文，就没有引用，也没有真假。同样的道理也适用于变量“x”在以下句子中：
- (2) 如果x是人，那么x是凡人。
情况随着以下两个句子的出现而改变：
- (3) 对于任何对象，如果它是人，那么它是凡人。
- (4) 对于任何对象x，如果x是人，那么x是凡人。
这些句子中的“它”和“x”都没有像“苏格拉底”或“亚里士多德”那样指代特定的对象。但是 (3) 和 (4) 仍然是真的。(3) 为真当且仅当：
- (5) 将 (3) 中的“它”的所有出现都替换为任何对象的引用（两次都替换为同一个对象）会导致一个真结果。
但是 (5) 是真的，所以 (3) 也是真的。类似地，(4) 为真当且仅当：
- (6) 将 (4) 中的“x”的所有出现都替换为任何对象的引用（两次都替换为同一个对象）会导致一个真结果。
但是 (3) 是真的，所以 (4) 也是真的。我们可以将 (1) 中的“它”的出现称为自由变量，而将 (3) 中的“它”的出现称为约束变量。事实上，(3) 中的“它”的出现是由短语“对于任何”约束的。类似地，(2) 中的“x”的出现是自由变量，而 (4) 中的“x”的出现是约束变量。事实上，(4) 中的“x”的出现是由短语“对于任何”约束的。
变量 
的出现 在 
中是约束变量，如果 的该出现位于 的子公式中，该子公式具有以下两种形式之一：
考虑公式
所有 
的出现都是 (7) 中的约束变量，因为它们位于子公式中
类似地，
在 (7) 中的两个实例都是绑定的，因为它们位于子公式中
变量 在 中是自由的，当且仅当 在 中没有绑定。 和 在
中是自由的，因为它们都没有在 (8) 中绑定。
我们说变量 的出现是由 
的特定出现绑定的，如果该出现也是 中最短的子公式的第一个（可能也是唯一的）符号，该子公式具有形式
考虑公式
公式 (9) 中， 的第三和第四个出现被 (9) 中的第二个 绑定。但是，它们没有被 (9) 中的第一个 绑定。公式
在 (9) 中的出现 - 以及 (9) 本身在 (9) 中的出现 - 都是以量词开头的 (9) 的子公式。也就是说，它们都是 (9) 的子公式，形式为
两者都包含 (9) 中的第三和第四个 的出现。然而，(10) 在 (9) 中的出现是满足这些条件的 (9) 的最短子公式。也就是说，(10) 在 (9) 中的出现是 (9) 的最短子公式，它既 (i) 具有这种形式，又 (ii) 包含 (9) 中的第三和第四个 的出现。因此，绑定 (9) 中的第三和第四个 的是 (9) 中的第二个，而不是第一个， 的出现。(9) 中的第一个 的出现确实绑定了 (9) 中的前两个 的出现。
我们还说，变量 的一个出现被 
的特定出现绑定，如果该出现也是 的最短子公式中的第一个（也许是唯一的）符号，形式为
最后，我们说变量（不是它的特定出现）在公式中是绑定（或自由），如果公式包含的绑定（或自由）出现。因此 在以下公式中既是绑定又是自由的：
因为这个公式包含 的绑定和自由出现。特别地， 的前两次出现是绑定的，而最后一次是自由的。
句子 是一个没有自由变量的公式。命题逻辑根本没有变量，所以
中的所有公式也是 的句子。但在谓词逻辑及其语言
中，我们有不是句子的公式。上面 (7)、(8)、(9) 和 (10) 都是公式。在这些公式中，只有 (7)、(9) 和 (10) 是句子。(8) 不是句子，因为它包含自由变量。
在以下公式中的所有出现：
在公式中绑定。唯一出现的 是自由的。因此，(11) 是一个公式，但不是一个句子。
只有 的前两次出现
- 在
在公式中绑定。最后出现的 和唯一出现的 在公式中是自由的。因此，(12) 是一个公式，但不是一个句子。
所有四次出现的 在
- 在
是绑定的。前两个被全称量词绑定，后两个被存在量词绑定。唯一出现的 在公式中是自由的。因此，(13) 是一个公式，但不是一个句子。
所有三个出现的 在
- 在
被全称量词绑定。所有出现的 在公式中被存在量词绑定。因此，(14) 没有自由变量，因此是一个句子，也是一个公式。
