形式逻辑/谓词逻辑/非正式约定

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非正式约定

我们的谓词语言，${\mathcal {L_{P}}}\,\!$，类似于${\mathcal {L_{S}}}\,\!$，很笨拙，也很难阅读。上标和下标很让人分心，而且括号比需要的多。和命题逻辑一样，我们将非正式地使用简化的变体。然而，官方语言仍然用于定义和其他形式。大多数生成非正式变体的规则，你都从命题逻辑中熟悉了。

转换规则

我们创建官方${\mathcal {L_{P}}}\,\!$公式的非正式变体，如下所示。示例是累积的。

• 如果下标是'0'，我们将其删除。因此，我们写$a^{2}\,\!$而不是$a_{0}^{2}\,\!$，并且写$\mathrm {F^{3}} \,\!$而不是$\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$。然而，我们不能从$\mathrm {F_{1}^{0}} \,\!$中删除下标。

• 官方语法要求操作符字母和谓词字母具有表示位置数的上标。例如，$a_{0}^{2}\,\!$是一个二元操作符字母，$\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$是一个三元谓词字母。在大多数情况下，我们可以删除上标，并让上下文显示位置数。例如，我们可以写

$a(x,y)\,\!$

在这里，我们从上下文观察到操作符字母有两个位置，因此我们可以理解$a\,\!$是$a_{0}^{2}\,\!$的非正式变体。类似地，我们从上下文观察到谓词字母在

$\mathrm {F} (x,y,z)\ .\,\!$

有三个位置。这使得$\mathrm {F} \,\!$，在本例中使用，是$\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$的非正式变体。这种约定假设我们的${\mathcal {L_{P}}}\,\!$在语法上是正确的。一般来说，我们将避免使用语法错误的表达式。我们还将尽量避免使用，例如，$\mathrm {F_{0}^{1}} \,\!$ 和 $\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$ 在临近的位置。否则，它们的非正式变体会导致混淆。

• 我们将省略最外层的括号。例如，我们将写

$\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (y)\,\!$

而不是

$(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (y_{0}))\ .\,\!$

• 我们将让一系列相同的二元连接词在右侧关联。例如，我们可以将官方的

$(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land (\mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0})))\,\!$

转换为非正式的

$\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\land \mathrm {H} (x)\ .\,\!$

但是，对于

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\land \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0}))\,\!$

是

$(\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\land \mathrm {H} (x)\ .\,\!$

• 我们将使用优先级排序，尽可能省略内部括号。例如，我们将认为$\rightarrow \,\!$ 的优先级（范围）低于 $\lor \,\!$。这使我们能够写成

$\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\lor \mathrm {H} (x)\,\!$

而不是

$(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow (\mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0})\lor \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0})))\ .\,\!$

但是，我们不能从

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

我们对这个后一个公式的非正式变体是

$(\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\lor \mathrm {H} (x)\ .\,\!$

优先级和范围

优先级排名指示了我们评估语句连接词和量词短语的顺序。 $\lor \,\!$ 的优先级高于 $\rightarrow \,\!$。 因此，在评估

$(1)\quad \mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\lor \mathrm {H} (x)\ ,\,\!$

时，我们首先评估

$(2)\quad \mathrm {G} (x)\lor \mathrm {H} (x)\,\!$

。 范围是指受连接词支配的表达式的长度。 $\rightarrow \,\!$ 在 (1) 中的出现范围比 $\lor \,\!$ 在 (1) 中的出现范围更广。 因此，$\rightarrow \,\!$ 在 (1) 中的出现支配着整个句子，而 $\lor \,\!$ 在 (1) 中的出现仅支配 (1) 中 (2) 的出现。

从最高优先级（最窄范围）到最低优先级（最广范围）的完整排名为

	$\lnot ,\ \forall x,\ \exists x\,\!$		最高优先级（最窄范围）
	$\land \,\!$
	$\lor \,\!$
	$\rightarrow \,\!$
	$\leftrightarrow \,\!$		最低优先级（最广范围）

量词短语与否定符号具有相同的优先级。

示例

以下示例是谓词逻辑变体，与句子逻辑 非正式约定 页面中的示例相对应。 首先，

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\leftrightarrow ((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor ((\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor (\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \lnot \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))))\,\!$

可以非正式地写成

$\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\leftrightarrow \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\lor \lnot \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\lor \lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x)\ .\,\!$

第二，

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\leftrightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\leftrightarrow ((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor (\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \lnot \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))))\,\!$

可以非正式地写成

$(\mathrm {F} (x)\leftrightarrow \mathrm {G} (x))\leftrightarrow \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\lor \lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x)\ .\,\!$

一些不必要的括号可能会有帮助。在上面的两个例子中，非正式的变体可能更容易读懂，如下所示：

$(\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\leftrightarrow (\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\lor (\lnot \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\lor (\lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x))\,\!$

和

$(\mathrm {F} (x)\leftrightarrow \mathrm {G} (x))\leftrightarrow (\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\lor (\lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x))\ .\,\!$

请注意，非正式公式

$\lnot \mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\,\!$

$\forall x\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\,\!$

$\exists x\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\,\!$

恢复到其正式形式为

$(\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$(\forall x_{0}\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$(\exists x_{0}\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

相比之下，非正式公式

$\lnot (\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\,\!$

$\forall x(\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\,\!$

$\exists x(\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\,\!$

被还原为其官方形式

$\lnot (\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$\forall x_{0}(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$\exists x_{0}(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$