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形式逻辑/命题逻辑/非正式约定

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非正式约定

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命题语言中,我们对命题语言进行了非正式描述,即。我们也已经给出了形式语法。我们正式的语法产生了大量的括号。这使得形式定义和其他规范更容易编写,但它使得语言使用起来相当笨拙。此外,所有下标和上标很快就会变得不必要地乏味。最终结果是一种丑陋且难以阅读的语言。

我们将继续使用正式语法来指定形式主义。但是,我们将非正式地使用一种不太笨拙的变体来用于其他目的。以下转换规则将的正式公式转换为我们的非正式变体。


转换规则

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我们按照如下方式创建正式公式的非正式变体。示例是累积的。

  • 正式语法要求句子字母具有上标“0”。上标在进入谓词逻辑之前不是必需的,甚至没有用,因此我们将在我们的非正式变体中始终省略它们。例如,我们将写,而不是
  • 如果下标是“0”,我们将省略它。因此,我们将写,而不是。但是,我们不能省略所有下标;我们仍然需要写,例如,
  • 我们将省略最外层的括号。例如,我们将写
而不是
  • 我们将让一系列相同的二元连接词在右侧关联。例如,我们可以将官方的
转换为非正式的
然而,对于
我们能做的最好的就是
  • 我们将使用优先级排序来尽可能省略内部括号。例如,我们将认为 的优先级低于 。这允许我们写成
而不是
但是,我们不能从
中移除内部括号。我们这个后一个公式的非正式变体是
以下是完整的优先级排名。

优先级和范围

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优先级排名指示我们评估命题连接词的顺序。 的优先级高于 。 因此,在计算

的真值时,我们首先评估

的真值。 范围是指连接词所支配的表达式的长度。 (1) 中 的出现范围比 (1) 中 的出现范围更广。 因此,(1) 中 支配整个句子,而 (1) 中 只支配 (1) 中 (2) 的出现。

从最高优先级(最窄范围)到最低优先级(最广范围)的完整排名如下:

    最高优先级(最窄范围)
     
     
     
    最低优先级(最广范围)

示例

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让我们看一些示例。 首先,

可以非正式地写成


其次,

可以非正式地写成


一些不必要的括号可能会有所帮助。在上面的两个示例中,非正式的变体可能更容易阅读,如

以及


注意,非正式公式

恢复为其正式形式,如

相比之下,非正式公式

恢复为其正式形式,如


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