形式逻辑/命题逻辑/非正式约定

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非正式约定

在命题语言中，我们对命题语言进行了非正式描述，即${\mathcal {L_{S}}}\,\!$。我们也已经给出了${\mathcal {L_{S}}}\,\!$的形式语法。我们正式的语法产生了大量的括号。这使得形式定义和其他规范更容易编写，但它使得语言使用起来相当笨拙。此外，所有下标和上标很快就会变得不必要地乏味。最终结果是一种丑陋且难以阅读的语言。

我们将继续使用正式语法来指定形式主义。但是，我们将非正式地使用一种不太笨拙的变体来用于其他目的。以下转换规则将${\mathcal {L_{S}}}\,\!$的正式公式转换为我们的非正式变体。

转换规则

我们按照如下方式创建正式${\mathcal {L_{S}}}\,\!$公式的非正式变体。示例是累积的。

• 正式语法要求句子字母具有上标“0”。上标在进入谓词逻辑之前不是必需的，甚至没有用，因此我们将在我们的非正式变体中始终省略它们。例如，我们将写$\mathrm {P_{0}} \,\!$，而不是$\mathrm {P_{0}^{0}} \,\!$。

• 如果下标是“0”，我们将省略它。因此，我们将写$\mathrm {P} \,\!$，而不是$\mathrm {P_{0}^{0}} \,\!$。但是，我们不能省略所有下标；我们仍然需要写，例如，$\mathrm {P_{1}} \,\!$。

• 我们将省略最外层的括号。例如，我们将写

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

而不是

$(\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\ .\,\!$

• 我们将让一系列相同的二元连接词在右侧关联。例如，我们可以将官方的

$(\mathrm {P_{0}^{0}} \land (\mathrm {Q_{0}^{0}} \land \mathrm {R_{0}^{0}} ))\,\!$

转换为非正式的

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \land \mathrm {R} \ .\,\!$

然而，对于

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\land \mathrm {R^{0}} )\,\!$

我们能做的最好的就是

$(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land \mathrm {R} \ .\,\!$

• 我们将使用优先级排序来尽可能省略内部括号。例如，我们将认为 $\rightarrow \,\!$ 的优先级低于 $\lor \,\!$。这允许我们写成

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \,\!$

而不是

$(\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow (\mathrm {Q_{0}^{0}} \lor \mathrm {R_{0}^{0}} ))\ .\,\!$

但是，我们不能从

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor \mathrm {R_{0}^{0}} )\ .\,\!$

中移除内部括号。我们这个后一个公式的非正式变体是

$(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\lor \mathrm {R} \ .\,\!$

以下是完整的优先级排名。

优先级和范围

优先级排名指示我们评估命题连接词的顺序。 $\lor \,\!$ 的优先级高于 $\rightarrow \,\!$。 因此，在计算

$(1)\quad \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \ ,\,\!$

的真值时，我们首先评估

$(2)\quad \mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \,\!$

的真值。 范围是指连接词所支配的表达式的长度。 (1) 中 $\rightarrow \,\!$ 的出现范围比 (1) 中 $\lor \,\!$ 的出现范围更广。 因此，(1) 中 $\rightarrow \,\!$ 支配整个句子，而 (1) 中 $\lor \,\!$ 只支配 (1) 中 (2) 的出现。

从最高优先级（最窄范围）到最低优先级（最广范围）的完整排名如下：

	$\lnot \,\!$		最高优先级（最窄范围）
	$\land \,\!$
	$\lor \,\!$
	$\rightarrow \,\!$
	$\leftrightarrow \,\!$		最低优先级（最广范围）

示例

让我们看一些示例。 首先，

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\leftrightarrow ((\mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor ((\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor (\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \land \lnot \mathrm {Q_{0}^{0}} ))))\,\!$

可以非正式地写成

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \lor \lnot \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \lor \lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \ .\,\!$

其次，

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \leftrightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\leftrightarrow ((\mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor (\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \land \lnot \mathrm {Q_{0}^{0}} )))\,\!$

可以非正式地写成

$(\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \lor \lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \ .\,\!$

一些不必要的括号可能会有所帮助。在上面的两个示例中，非正式的变体可能更容易阅读，如

$(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\lnot \mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\,\!$

以及

$(\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\ .\,\!$

注意，非正式公式

$\lnot \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

恢复为其正式形式，如

$(\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\ .\,\!$

相比之下，非正式公式

$\lnot (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\,\!$

恢复为其正式形式，如

$\lnot (\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\ .\,\!$

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