英语语法对于“狗叫”规定它由一个复数名词后接一个不及物动词组成。英语语义对于“狗叫”规定了它的意义，即狗叫。
在命题语言中，我们对
给出了一个非正式描述。我们也给出了形式语法。然而，此时我们的语言只是一个玩具，一组我们可以像串珠一样串在一起的符号。我们确实有关于这些符号如何排序的规则。但是，在此时这些规则可能就像美学规则一样。良构公式和不良构表达式之间的区别，与漂亮项链和丑陋项链之间的区别并没有太大区别。为了使我们的语言有意义，能够用于说些什么，我们需要一个形式语义。
任何给定的形式语言都可以与任意多个竞争语义规则集配对。我们这里定义的语义是现代逻辑中常用的语义。然而，也有人提出了其他语义规则集。 的其他语义规则集包括（但绝不限于）直觉主义逻辑、相关逻辑、非单调逻辑和多值逻辑。
诸如这样的形式语言的形式语义分为两部分。
- 指定解释的规则。解释将语义值分配给形式语法的非逻辑符号。形式语言的语义将指定哪些范围的值可以分配给哪些类别的非逻辑符号。 只有一类非逻辑符号，所以这里的规则特别简单。命题语言的解释是赋值，即对命题字母进行真值赋值。在谓词逻辑中，我们将遇到除赋值之外还包含其他元素的解释。
- 将语义值分配给语言中较大的表达式的规则。对于命题逻辑，这些规则根据分配给较小公式的真值，将真值分配给较大的公式。对于更复杂的语法（例如谓词逻辑），值的分配方式更为复杂。
扩展赋值根据赋值，将真值分配给（或类似的命题语言）的分子公式。对命题字母的赋值通过一组规则扩展到涵盖所有公式。
我们可以给出（部分）赋值 
如下
(请记住，我们通过省略上标来缩写句子字母。)
通常，我们只对少数句子字母的真值感兴趣。分配给其他句子字母的真值可以是随机的。
鉴于此赋值，我们说
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{0}} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebced4e093fec5549c19e71009bbfe61150bcb32)
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{1}} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3abfe7bf710089ee4a80f78e285d70c5e2ac288)
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{2}} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421c4ef2a1afc19e7f41c997a4c24a8d16ae5df1)
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{3}} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d825606df7242317bd0a3a3ded2cde67c2c0e41b)
事实上，我们可以将赋值定义为一个函数，该函数以句子字母为参数，以真值为值（因此得名“真值”。请注意， 对于句子字母没有固定的解释或赋值。相反，我们为临时使用指定解释。
扩展解释在给定解释的情况下生成更长句子的真值。对于命题逻辑，解释是赋值，因此扩展解释是扩展赋值。我们定义赋值 的扩展 
如下所示。
对于所有句子字母 
和 
来自 
![{\displaystyle {\mbox{i.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mathfrak {v}}[\varphi ].\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5501c945370a112d0e38c8d7c98fbd1957a0b2fd)
![{\displaystyle {\mbox{ii.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[\lnot \varphi ]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{False}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise (i.e., if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{True).}}\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d273839318730f629b864f7ee2b347b77a3d6d18)
![{\displaystyle {\mbox{iii.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \land \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ]={\mbox{True}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beee36cb5bd2db11eba8ff28102b09ab55455d54)
![{\displaystyle {\mbox{iv.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \lor \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{True}}\ {\mbox{or}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ]={\mbox{True}}\ {\mbox{(or both)}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77ad1978590950a29bfe27fb9eb4961336aba1e)
![{\displaystyle {\mbox{v.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \rightarrow \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{False}}\ \ {\mbox{or}}\ \ {\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ]={\mbox{True}}\ \ {\mbox{(or both)}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58609bb31fc2cf95154d2548c4186fc7b32222a83)
![{\displaystyle {\mbox{vi.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \leftrightarrow \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ];\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7992cb4fd370092b7de8c79b88af3968e0ec08)
我们将确定这个示例句子在两种赋值下的真值。
首先，考虑以下赋值
(2) 根据条款 (i)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cdb69761b884faa72b30db3cff8fc4a327856f)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0efa7a915fac7ef962d0f2f6ccb28929c35307)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {R} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec51568f30e8f378d378aff08b4e904288acc51c)
(3) 根据 (1) 和条款 (iii)，
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{True}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11cae0180cab0f6442791354b034e77a9fb6aebb)
(4) 根据(1)和条款(iv),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} ]\ =\ {\mbox{True}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a210367b901f58d46e5dc0bfa02614aed0e4a5cf)
(5) 根据(4)和条款(v),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )]\ =\ {\mbox{False}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c3679ea35b0aaa6a8d6f46967b89f9d120ef0b)
(6) 根据(3)、(5)和条款(v),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )]\ =\ {\mbox{False}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254c7028855c2601b10b61357fa0c82fb832fae6)
因此(1)在我们的解释中是错误的。
接下来，尝试以下赋值
(7) 根据条款(i)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb1a4a71fc929b4b5978178306540fac36eefe8)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {R} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1abbcf46ce1162c387f473031daa2f15c5f4be6)
(8) 根据(7)和条款(iii),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{False}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7537741c53cf4db9db28ae3f3938c7dae033f2e)
(9) 根据(7)和条款(iv),
(10) 根据(9)和条款(v),
(11) 根据(8)、(10)和条款(v),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )]\ =\ {\mbox{True}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0856841a0bf2fec31c009819a0109c99900644)
因此，在第二种解释中，（1）为真。注意，这次我们做的工作比必要的要多一些。根据条款 (v)，(8) 足以证明 (1) 为真。
