分形/连分数

            "Do not worry about your problems with mathematics, I assure you mine are far greater." Albert Einstein

符号

广义形式

连分数 是以下形式的表达式：

$a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}$

其中 

• $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 都是整数、有理数、实数或复数。
• $a_{0}$、$a_{1}$ 等被称为连分数的系数或项

变体或类型 

• 如果 $b_{n}=1$ 对所有 $n$ 成立，则该表达式称为简单连分数。
• 如果该表达式包含有限项，则称为有限连分数。
• 如果该表达式包含无限项，则称为无限连分数。

因此，以下所有内容都说明了有效的有限简单连分数

有限简单连分数的示例

公式	数值	备注
$\ a_{0}$	$\ 2$	所有整数都是退化情况
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}$	$\ 2+{\cfrac {1}{3}}$	最简单的分数形式
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}$	$\ -3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{18}}}}$	第一个整数可以是负数
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$	$\ {\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{102}}}}}}$	第一个整数可以是零

简化形式

通常假设所有分数的分子 b 都是 1。这种形式被称为 **简单** 或 **正则连分数**, 或者说是在 **规范形式** 中。

如果实数是一个分数 ( x < 1), 那么 $a_{0}$ 是零，并且符号被简化

  $[0;a_{1},a_{2},a_{3}]=[a_{1},a_{2},a_{3}]$

有限

符号

 $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]$

每个有限连分数代表一个有理数 ${\frac {p}{q}}$

  ${\frac {p}{q}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]$

如果正实分数 x 是有理数，则存在 **两个不同的** 连分数展开

  $[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}-1,1]$

其中

• $a_{n}>1$
• 通常选择第一个，较短的形式作为规范表示
• 第二种形式比第一种形式长一个

无限

符号

 $a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\ddots }}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

每个无限连分数都是一个无理数 $\alpha$

 $\alpha =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\ddots }}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

通过连分数中有限项得到的 ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ 有理数被称为 **第 n 个收敛**

  ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{{\ddots }+{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]$

因为 ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ 有理数序列收敛于无理数 $\alpha$

 $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}=\alpha$

换句话说，无理数 $\alpha$ 是收敛序列的极限。

分子 p 和分母 q 可以使用相应的递归关系找到

$p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2}$

$q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}$

所以

${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {a_{n}p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}}}$

关键词

• 无理数$\alpha$的连分数收敛序列${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$
• 收敛序列
• 连分数展开
• 无理数的有理逼近
• 用有理数 p/q 对实数 r 的最佳有理逼近

如何在计算机程序中使用它

• 十进制数（实数或有理数）到连分数
  • 算盘 CAS
  • Maxima CAS：cf (expr) 将 expr 转换为连分数。

Maxima CAS

在 Maxima CAS 中，可以使用 cf 和 float(cfdisrep())

(%i2) a:[0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%o2) [0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%i3) t:cfdisrep(a)
(%o3) 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/1))))))))))))))))))))))
(%i4) float(t)
(%o4) 0.618033988957902

计算第 n 个收敛

(%i10) a;
(%o10) [0, 3, 2, 1000, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
(%i11) a3: listn(a,3);
(%o11) listn([0, 3, 2, 1000, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
                                                                         1], 3)
(%i12) a3: firstn(a,3);
(%o12)                             [0, 3, 2]
(%i13) cf3:cfdisrep(a3);
                                       1
(%o13)                               -----
                                         1
                                     3 + -
                                         2
(%i14) r3:ratsimp(cf3);
                                       2
(%o14)                                 -
                                       7
(%i15) 

示例

• 数论
  • 无理数的逼近，参见 旋转数，在 西格尔圆盘 的情况下
• 基于复平面上的连分数的函数
• “连分数可以看作是一系列莫比乌斯变换” Alan F. Beardone

帮助

• math.stackexchange 上标记为连分数的问题
• mathoverflow 上标记为连分数的问题
• 连分数 - 约翰·巴罗教授
• 数字国度中的混沌：连分数的秘密生活 作者：约翰·D·巴罗

另请参阅

• 二进制展开（实数的表示）
• 分形迭代
• 连分数的动力学
  • 连分数的动力学和单峰映射的揉捏序列 作者：克劳迪奥·博纳诺，卡洛·卡米纳蒂，斯特凡诺·伊索拉，朱利奥·蒂奥佐

参考文献

• 日历与连分数 作者：安妮·布罗伊斯（法语）
• 连分数的动力学和单峰映射的揉捏序列 作者：克劳迪奥·博纳诺，卡洛·卡米纳蒂，斯特凡诺·伊索拉，朱利奥·蒂奥佐