在
上的巴拿赫空间
被称为 *巴拿赫代数*,如果它是一个代数并且满足
.
除非另有说明,我们假设每个巴拿赫代数都具有单位元
。
由于
当
时,映射

是连续的。
对于
,设
为所有复数
的集合,使得
不可逆。
定理 5 *对于每个
,
非空且封闭,并且*
.
此外,

(
称为
的 _谱半径_)
证明:令
为单位群。定义
为
。(在整个证明过程中,
是固定的。)如果
,那么根据定义,
或者
。类似地,我们有:
。因此,
。由于
显然是连续的,
是开集,因此
是闭集。假设对于
,
。根据几何级数(根据定理 2.something 有效),我们有

因此,
是可逆的,也就是说,
是可逆的。因此,
。这完成了第一个断言的证明,并给出

由于
是紧的,存在一个
使得
。由于
(使用归纳法来验证这一点),

接下来,我们断言序列
当
时是有界的。根据一致有界性原理,只需要证明
对每个
都是有界的。但由于
,
实际上就是这样。因此,存在一个常数
使得
对每个
成立。由此得出
.
在
上取下确界,就完成了谱半径公式的证明。最后,假设相反,
是空的。那么对于每个
,映射

在
上是解析的。由于
,根据刘维尔定理,我们必须有:
。因此,
对于每个
成立,这是一个矛盾。 
5 推论(盖尔范德-马祖尔定理) 如果
中每个非零元素都是可逆的,那么
同构于
。
证明:设
是一个非零元素。由于
不为空,那么我们可以找到
使得
不可逆。但是,根据假设,
是可逆的,除非
。 
设
是巴拿赫代数中的一个极大理想。(这样的
存在于抽象代数中使用 Zorn 引理的常用论证中)。由于
的补集包含可逆元素,
是闭合的。特别地,
是具有通常商范数的巴拿赫代数。根据上述推论,我们有同构

实际上,更多的是真的。设
是所有非零同胚的集合
。(
的成员被称为特征。)
5 定理
与
中所有极大理想的集合一一对应。
5 引理 设
。那么
可逆当且仅当对于所有
,
。
5 定理 
一个对合 是一个反线性映射
,使得
。典型的例子是函数的复共轭和对线性算子取伴随的操作。这些例子解释了为什么我们要求对合是反线性的。
现在,本章的研究兴趣。具有对合的 Banach 代数被称为 C*-代数,如果它满足
(C*-恒等式)
从 C*-恒等式得出
,
对于
,以及将
代替
同样成立。特别地,
(如果
存在)。此外,
-恒等式等价于条件:
,因为这个以及
意味着
,因此
.
对于每个
,令
为
的线性跨度。换句话说,
是包含
的最小的 C*-代数。关键事实是
是可交换的。此外,
定理 令
为正规的。那么 
在 C* 代数
上的一个状态是一个正线性泛函 f,满足
(等价于
)。由于
是凸集且闭集,因此
是弱-* 闭集。(这是定理 4.XX)。由于
包含在
的对偶空间的单位球中,所以
是弱-* 紧集。
5 定理 每个 C* 代数
与
*-同构,其中
是
的谱。
5 定理 如果
与
同构,那么
和
是同胚的。
引理 3 设
是希尔伯特空间
上的一个连续线性算子。则当且仅当对所有
有
,有
。
满足上述等价条件的连续线性算子被称为正规算子。例如,正交投影就是正规算子。更多示例和上述引理的证明,请参见w:normal operator。
引理 3 设
是一个正规算子。如果
和
是
的不同特征值,则
和
的相应特征空间彼此正交。
证明:设
是恒等算子,
是
的任意特征向量。由于
的伴随是
,我们有
.
也就是说,
,因此我们有

如果
不为零,则我们必须有
。 
5 练习 令
是一个具有正交基
的希尔伯特空间,并且
是一个满足
的序列。证明存在
的子序列弱收敛到某个
,并且
。(提示:由于
有界,根据康托尔的对角线论证,我们可以找到一个序列
使得
对每个
收敛。)
5 定理(冯·诺伊曼双交换子定理) M 等于它的双交换子当且仅当它在弱算子拓扑或强算子拓扑中是闭合的。
证明:(见 w:冯·诺伊曼双交换子定理)