巴拿赫空间的功能分析/几何

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泛函分析 第 4 章：巴拿赫空间的几何

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这甚至不是草稿。

在上一章中，我们研究了一个具有特殊几何性质的巴拿赫空间：希尔伯特空间。本章继续这一研究方向。本章的主要内容是 (i) 巴拿赫空间的自反性概念 (ii) 弱*紧致性 (iii) 巴拿赫空间中基底的研究 (iv) 巴拿赫空间的互补（和非互补）子空间。事实证明，这些都是几何性质，

弱拓扑和弱*拓扑

设 ${\mathcal {X}}$ 是一个赋范空间。由于 $X^{*}$ 是一个巴拿赫空间，存在一个规范的嵌入 $\pi :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}^{**}$，由下式给出

$(\pi x)f=f(x)$ 对于 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 和 $x\in {\mathcal {X}}$.

在赋范空间的研究中，一个最重要的問題是何时这个 $\pi$ 是满射的；如果是这样，${\mathcal {X}}$ 被称为“自反”。首先，由于 ${\mathcal {X}}^{**}$ 作为赋范空间的对偶空间，即使 ${\mathcal {X}}$ 不是，一个自反的赋范空间始终是一个巴拿赫空间，因为 $\pi$ 成为一个（等距）同构。（由于 $\pi (X)$ 在 $X^{*}$ 中分离点，根据定理 1.something，弱*拓扑是豪斯多夫的。）

在研究这个问题之前，我们先介绍一些拓扑结构。对于 ${\mathcal {X}}^{*}$ 的弱*-拓扑是所有拓扑中最弱的一种，在这种拓扑下，$\pi ({\mathcal {X}})$ 中的每个元素都是连续的。换句话说，弱*-拓扑正是使 ${\mathcal {X}}^{*}$ 的对偶空间 $\pi ({\mathcal {X}})$ 连续的拓扑。 (回想一下，当函数的定义域中存在更多开集时，函数更容易连续。)

对于 ${\mathcal {X}}$ 的弱拓扑是所有拓扑中最弱的一种，在这种拓扑下，${\mathcal {X}}^{*}$ 中的每个元素都是连续的。 (如前所述，弱拓扑是豪斯多夫拓扑。)

4 定理 (阿劳格鲁) ${\mathfrak {B}}^{*}$ 的单位球是弱*-紧致的。
证明：对于每个 $f$，$\operatorname {ran} f$ 是 $\mathbf {C} ^{\mathfrak {B}}$ 中的一个元素。通过这种识别，我们有：${\mathfrak {B}}^{*}\subset \mathbf {C} ^{\mathfrak {B}}$。拓扑中的包含也成立；即，${\mathfrak {B}}^{*}$ 是 $\mathbf {C} ^{\mathfrak {B}}$ 的拓扑子空间。 ${\mathfrak {B}}^{*}$ 的单位球是集合

$E=\prod _{x\in {\mathfrak {B}}}\{\lambda ;\lambda \in \mathbf {C} ,|\lambda |\leq \|x\|_{\mathfrak {B}}\}$ 的一个子集。.

由于 $E$ 是一个圆盘的乘积，根据 w:Tychonoff 定理 (参见第 1 章)，它在弱*-拓扑下是紧致的，因此只需要证明单位闭球是弱*-闭合的。在下一章介绍了网的概念之后，这将变得很容易。为了完整起见，我们在这里给出直接的证明。(待办事项) $\square$

4. 定理 设 ${\mathcal {X}}$ 是一个其对偶空间分离其点的 TVS。那么 ${\mathcal {X}}^{*}$ 上的弱-*拓扑是可度量的当且仅当 ${\mathcal {X}}$ 最多有可数个哈梅尔基。

显然，所有弱闭集和弱-*闭集都是闭集（在其各自的空间中）。一般来说，反之不成立。另一方面，

4. 引理 $E\subset {\mathcal {X}}$ 中的每个闭凸子集都是弱闭集。
证明：设 $x$ 属于 $E$ 的弱闭包。假设，如果可能的话，$x\not \in E$。根据 Hahn-Banach 定理（几何形式），我们可以找到 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 和实数 $c$，使得

$\operatorname {Re} f(x)<c<\operatorname {Re} f(y)$ 对每个 $y\in E$ 成立。

设 $V=\{y;\operatorname {Re} f(y)<c\}$。我们现在得到：$x\in V\subset E^{c}$，其中 $V$ 是弱开集（根据定义）。这是一个矛盾。$\square$

4. 推论 ${\mathcal {X}}$（resp. ${\mathcal {X}}^{*}$）的闭单位球是弱闭集（resp. 弱-*闭集）。

4 练习 令 $B$ 为 ${\mathcal {X}}$ 的单位球。证明 $\pi (B)$ 在 ${\mathcal {X}}^{**}$ 的闭单位球中弱-*稠密。（提示：类似于引理 4.something 的证明。）

4 定理 集合 $E$ 是弱-* 序列闭的当且仅当 $E$ 与任意半径的（闭？）球的交集是弱-* 序列闭的。
证明：（TODO：使用 PUB 写一个证明。）

自反巴拿赫空间

4 定理（角谷） 令 ${\mathcal {X}}$ 为巴拿赫空间。以下等价：

• (i) ${\mathcal {X}}$ 是自反的。
• (ii) ${\mathcal {X}}$ 的闭单位球是弱紧的。
• (iii) 每个有界集都承认一个弱收敛子序列。（因此，(ii) 中的单位球实际上是弱序列紧的。）

证明：(i) $\Rightarrow$ (ii) 是直接的。对于 (iii) $\Rightarrow$ (i)，我们将证明：如果 ${\mathcal {X}}$ 不是自反的，那么我们可以找到一个归一化序列来证伪 (iii)。为此，请参见 [1]，它展示了如何做到这一点。最后，对于 (ii) $\Rightarrow$ (iii)，只需要证明

4 引理 令 ${\mathcal {X}}$ 为巴拿赫空间，$x_{j}\in X$ 为一个序列，$F$ 为 $x_{j}$ 的弱闭包。如果 $F$ 是弱紧的，那么 $F$ 是弱序列紧的。
Proof: By replacing $X$ with the closure of the linear span of $X$, we may assume that ${\mathcal {X}}$ admits a dense countable subset $E$. Then for $u,v\in {\mathcal {X}}^{*}$, $u(x)=v(x)$ for every $x\in E$ implies $u=v$ by continuity. This is to say, a set of functions of the form $u\mapsto u(x)$ with $x\in E$ separates points in $X$, a fortiori, $B$, the closed unit ball of $X^{*}$. The weak-* topology for $B$ is therefore metrizable by Theorem 1.something. Since a compact metric space is second countable; thus, separable, $B$ admits a countable (weak-*) dense subset $B'$. It follows that $B'$ separates points in $X$. In fact, for any $x\in X$ with $\|x\|=1$, by the Hahn-Banach theorem, we can find $f\in B$ such that $f(x)=\|x\|=1$. By denseness, there is $g\in B'$ that is near $x$ in the sense: $|g(x)-f(x)|<2^{-1}$, and we have

$|g(x)|\geq |f(x)|-|g(x)-f(x)|>2^{-1}$.

根据定理 1.something，$F$ 现在是可度量的。$\square$

备注：引理 4.something 是 w:Eberlein–Šmulian 定理 的特例，该定理指出 Banach 空间的任何子集在弱收敛意义下紧致当且仅当它在弱收敛意义下序列紧致。（参见 [2]，[3]）

特别地，由于每个希尔伯特空间都是自反的，因此定理中的 (ii) 或 (iii) 始终对所有希尔伯特空间成立。但对于 (iii)，我们可以选择使用

4 练习 直接证明定理的 (iii) 对可分希尔伯特空间成立。（提示：使用正交基直接构造子序列。）

4 推论 Banach 空间 ${\mathcal {X}}$ 是自反的当且仅当 ${\mathcal {X}}^{*}$ 是自反的。

4 定理 设 ${\mathcal {X}}$ 是具有 w:Schauder 基 $e_{j}$ 的 Banach 空间。 ${\mathcal {X}}$ 是自反的当且仅当 $e_{j}$ 满足：

• (i) $\sup _{n}\left\|\sum _{j=1}^{n}a_{j}e_{j}\right\|<\infty \Rightarrow \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}e_{j}$ 在 ${\mathcal {X}}$ 中收敛。
• (ii) 对于任何 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$，$\lim _{n\to \infty }\sup\{|f(x)|;x=\sum _{j\geq n}^{\infty }a_{j}e_{j},\|x\|=1\}=0$.

证明：（$\Rightarrow$): 设 $x_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}e_{j}$。根据自反性，$x_{n}$ 存在一个弱收敛的子序列 $x_{n_{k}}$，其极限为 $x$。根据假设，对于任意 $x\in {\mathcal {X}}$，我们可以写成：$x=\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}(x)e_{j}$，其中 $b_{j}\in {\mathcal {X}}^{*}$。因此，

$b_{l}(x)=\lim _{k\to \infty }b_{l}(x_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }\sum _{j=1}^{n_{k}}a_{j}b_{l}(e_{j})=a_{l}$，因此 $x=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}e_{j}$。

这证明了 (i)。对于 (ii)，设

$E_{n}=\{x;x\in {\mathcal {X}},\|x\|=1,b_{1}(x)=...b_{n-1}(x)=0\}$.

那么 (ii) 意味着对于任何 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$，$\sup _{E_{n}}|f|\to 0$。由于 $E_{n}$ 是 ${\mathcal {X}}^{*}$ 闭单位球的弱闭子集，而由于自反性，闭单位球是弱紧的，所以 $E_{n}$ 是弱紧的。因此，存在一个序列 $x_{n}$，使得对于任何 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 都有：$\sup _{E_{n}}|f|=|f(x_{n})|$。由此可得

$\lim _{n\to \infty }|f(x_{n})|=|f(\lim _{n\to \infty }x_{n})|=|f(\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}(\lim _{n\to \infty }x_{n})e_{j})|=0$

因为 $\lim _{n\to \infty }b_{j}(x_{n})=0$。（TODO: 但是 $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ 存在吗？）这证明了 (ii)。
($\Leftarrow$): 令 $x_{n}$ 为一个有界序列。对于每个 $j$，集合 $\{b_{j}(x_{n});n\geq 1\}$ 是有界的；因此，它包含一个收敛的子序列。根据康托尔对角线法，我们可以找到 $x_{n}$ 的一个子序列 $x_{n_{k}}$，使得 $b_{j}(x_{n_{k}})$ 对每个 $j$ 都收敛。令 $a_{j}=\lim _{n\to \infty }b_{j}(x_{n_{k}})$。令 $K=2\sup _{n}\|x_{n}\|$ 以及 $s_{n}=\sup\{|f(y)|;y=\sum _{j=m+1}^{\infty }c_{j}e_{j},\|y\|\leq K\}$。根据 (ii)，$\lim _{n\to \infty }s_{n}=0$。现在，

$|f(\sum _{j=1}^{m}b_{j}(x_{n_{k}})e_{j})|\leq |f(\sum _{j=1}^{\infty }b_{j}(x_{n_{k}})e_{j})|+|f(\sum _{j=m+1}^{\infty }b_{j}(x_{n_{k}})e_{j})|\leq \|f\|\sup _{n}\|x_{n}\|+s_{m}$ 对 $f\in {\mathcal {X}}^{*}$ 成立。

由于 $s_{m}$ 有界，所以对于每一个 $f$，$\sup _{m}|f(\sum _{j=1}^{m}a_{j}e_{j})|<\infty$。根据 (i)，$\sum _{j=1}^{m}a_{j}e_{j}$ 因此存在。令 $\epsilon >0$ 为给定值。那么存在 $m$ 使得 $s_{m}<\epsilon /2$。此外，存在 $N$ 使得

$\sum _{j=1}^{m}(a_{j}-b_{j}(x_{n_{k}}))f(e_{j})<\epsilon /2$ 对于每一个 $k\geq N$。

因此，

$|f(x_{n_{k}})-f(\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}e_{j})|\leq |\sum _{j=1}^{m}(a_{j}-b_{j}(x_{n_{k}}))f(e_{j})|+|f(\sum _{j=m+1}^{\infty }(a_{j}-b_{j}(x_{n_{k}}))e_{j}|<\epsilon$.

4 练习 证明每个无限维 Banach 空间都包含一个具有 Schauder 基的闭子空间。(提示：通过归纳法构造一个基。)

希尔伯特空间上的紧算子

3 引理 令 $T\in B({\mathfrak {H}})$. 那么 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是闭集。
证明：因为 ${\overline {B}}(0,1)$ 是弱紧集，并且 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是凸集，所以只需证明 $T$ 是弱连续的。但如果 $x_{n}\to 0$ 弱收敛于 0，那么对于任意 y，有 $(Tx_{n}|y)=(x_{n}|T^{*}y)\to 0$。这表明 T 在 ${\overline {B}}(0,1)$ 上是弱连续的（因为有界集是弱可度量的），从而在 ${\mathfrak {H}}$ 上是弱连续的。$\square$

因为 T 是紧算子，所以只需证明 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是闭集。但因为 $T({\overline {B}}(0,1))$ 是弱闭集且凸集，所以它是闭集。

3 引理 如果 $T\in B({\mathfrak {H}})$ 是自伴的紧算子，那么要么 $\|T\|$ 要么 $-\|T\|$ 是 T 的特征值。
证明：首先我们证明 $\|T\|^{2}$ 是 $T^{2}$ 的一个特征值。由于 $T$ 是紧凑的，根据上述引理，存在一个 $x_{0}$ 在单位球中，使得 $\|T\|=\|Tx_{0}\|$。由于 $\langle T^{2}x_{0},x_{0}\rangle =\|T\|^{2}$，

$\|T^{2}x-\|T\|^{2}x\|^{2}\leq \|T\|^{2}-2\|T\|^{2}+\|T\|^{2}$

因此，$T^{2}x_{0}=\|T\|^{2}x_{0}$。由于 $(T^{2}-\|T\|^{2}I)x_{0}=(T+\|T\|I)(T-\|T\|I)x_{0}$，我们可以看到 $(T-\|T\|I)x_{0}$ 或者为零，或者为 $T$ 关于 $-\|T\|$ 的特征向量。 $\square$

3 定理 如果 T 是正规的；也就是说，$T^{*}T=TT^{*}$，那么存在一个由 T 的特征向量组成的正交规范基。
证明：由于我们可以假设T是自伴的，因此该定理可以通过超限归纳法从前面的引理得出。根据佐恩引理，选择U作为H的一个最大子集，满足以下三个性质：U的所有元素都是T的特征向量，它们的范数为1，并且U中任意两个不同的元素是正交的。设F是U的线性跨度的正交补。如果F≠{0}，它就是T的一个非平凡不变子空间，根据初始断言，T在F中一定存在一个范数为1的特征向量y。但这样U∪{y}就与U的最大性相矛盾。因此，F={0}，因此span(U)在H中稠密。这表明U是H的一个由T的特征向量组成的正交基。$\square$

3 推论（极分解）每个紧算子K可以写成：

$K=R|K|$

其中R是偏等距，而$|K|$是$K^{*}K$的平方根。

对于$T\in {\mathcal {L}}({\mathfrak {H}})$，设$\sigma (T)$是所有复数$\lambda$的集合，使得$T-\lambda I$不可逆。（这里，I是${\mathfrak {H}}$上的恒等算子。）

3 推论设$T\in B({\mathfrak {H}})$是一个紧致的正规算子。那么

$\|T\|=\max _{\|x\|=1}\|(Tx|x)\|=\sup\{|\lambda ||\lambda \in \sigma (T)\}$

3 定理设$T$是${\mathfrak {H}}$上的一个稠密定义算子。那么$T$是正的（即，$\langle Tx,x\rangle \geq 0$对于每个$x\in \operatorname {dom} T$）当且仅当$T=T^{*}$并且$\sigma (T)\subset [0,\infty )$。
部分证明：$(\Rightarrow )$ 我们有

$\langle Tx,x\rangle ={\overline {\langle T^{*}x,x\rangle }}$ 对于每个 $x\in \operatorname {dom} T$

但是，根据假设，右手边是实数。那 $T=T^{*}$ 来自引理 5.something。该定理的证明将通过第五章中的谱分解定理完成。 $\square$

关于紧算子的更多资料，尤其是关于其谱性质的资料，可以在附录中的一章中找到，我们在那里研究弗雷德霍姆算子。

3 引理 (贝塞尔不等式) 如果 $u_{k}$ 是希尔伯特空间 ${\mathfrak {H}}$ 中的正交序列，那么

$\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}$ 对于任何 $x\in {\mathfrak {H}}$.

证明: 如果 $\langle x,y\rangle =0$，那么 $\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}$。因此，

$\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,u_{k}\rangle \|^{2}=\|x\|^{2}-2\operatorname {Re} \sum _{k=1}^{n}|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}$.

令 $n\to \infty$ 完成了证明。 $\square$.

3 定理 (帕塞瓦尔定理) 设 $u_{k}$ 是希尔伯特空间 ${\mathfrak {H}}$ 中的正交序列。那么以下等价：

• (i) $\operatorname {span} \{u_{1},u_{2},...\}$ 在 ${\mathfrak {H}}$ 中稠密。
• (ii) 对于每个 $x\in {\mathfrak {H}}$，$x=\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle u_{k}$。
• (iii) 对于每个 $x,y\in {\mathfrak {H}}$，$\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle {\overline {\langle y,u_{k}\rangle }}$。
• (iv) $\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,u_{k}\rangle |^{2}$ (帕塞瓦尔等式)。

证明：令 ${\mathcal {M}}=\operatorname {span} \{u_{1},u_{2},...\}$。如果 $v\in {\mathcal {M}}$，那么它具有以下形式： $v=\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}u_{k}$，其中 $\alpha _{k}$ 是标量。由于 $\langle v,u_{j}\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }a_{j}\langle u_{k},u_{j}\rangle =a_{j}$，我们也可以写成： $v=\sum _{k=1}^{\infty }\langle v,u_{k}\rangle u_{k}$。令 $y=\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle u_{k}$。贝塞尔不等式和 ${\mathfrak {H}}$ 是完备的，确保 $y$ 存在。由于

$\langle y,v\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,u_{k}\rangle \langle u_{k},v\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,\langle v,u_{k}\rangle u_{k}\rangle =\langle x,\sum _{k=1}^{\infty }\langle v,u_{k}\rangle u_{k}\rangle =\langle x,v\rangle$

对所有 $v\in {\mathcal {M}}$，我们有 $x-y\in {\mathcal {M}}^{\bot }=\{0\}$，证明了 (i) $\Rightarrow$ (ii)。现在 (ii) $\Rightarrow$ (iii) 成立，因为

$|\langle x,y\rangle -\sum _{k=1}^{n}\langle x,u_{k}\rangle {\overline {\langle y,u_{k}\rangle }}|=|\langle x,y-\sum _{k=1}^{n}\langle y,u_{k}\rangle u_{k}\rangle |\to 0$ 作为 $n\to \infty$

为了得到 (iii) $\Rightarrow$ (iv)，取 $x=y$。为了证明 (iv) $\Rightarrow$ (i)，假设 (i) 为假。那么存在一个 $z\in (\operatorname {span\{u_{1},u_{2},...\}} )^{\bot }$ 且 $z\neq 0$。然后

$\sum _{k=1}^{\infty }|\langle z,u_{k}\rangle |^{2}=0<\|z\|^{2}$.

因此，(iv) 为假。$\square$

3 定理 设 $x_{k}$ 是希尔伯特空间 $({\mathfrak {H}},\|\cdot \|=\langle \cdot ,\cdot \rangle ^{1/2})$ 中的正交序列。那么级数 $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}$ 收敛当且仅当级数 $\sum _{k=1}^{\infty }\langle x_{k},y\rangle$ 对所有 $y\in {\mathfrak {H}}$ 收敛。
证明：由于

$\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x_{k},y\rangle |\leq \|y\|\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|$ 以及 $\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|=\left\|\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\right\|$

根据正交性，我们可以得到直接部分。反之，令 $E=\left\{\sum _{k=1}^{n}x_{k};n\geq 1\right\}$。由于

$\sup _{E}|\langle \cdot ,y\rangle |=\sup _{n}|\sum _{k=1}^{n}\langle x_{k},y\rangle |<\infty$ 对于每个 $y$

根据假设，$E$ 由定理 3.something 限制。因此，$\sum _{k=1}^{\infty }\|x_{k}\|<\infty$ 并且 $\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ 收敛于完备性。

该定理旨在给出示例。下一章将讨论巴拿赫空间中的类似问题。

4 定理 希尔伯特空间 ${\mathfrak {H}}$ 可分离当且仅当它具有（可数）正交基。

显然，如果巴拿赫空间具有绍德尔基，则它可分离。不幸的是，反之则不成立。

4 定理（詹姆斯） 巴拿赫空间 ${\mathcal {X}}$ 是自反的当且仅当 ${\mathcal {X}}$ 中的每个元素在 ${\mathcal {X}}$ 的闭单位球上取得最大值。

4 推论（克莱因-施穆利安） 设 ${\mathcal {X}}$ 是一个巴拿赫空间，且 $K\subset {\mathcal {X}}$ 是 ${\mathcal {X}}$ 中的一个弱紧集，那么 ${\overline {co}}(K)$ 是弱紧的。
证明：[4]

如果一个巴拿赫空间满足：

$\|x_{n}\|\leq 1,\|y_{n}\|\leq 1$ 且 $\|x_{n}+y_{n}\|\to 0\Rightarrow \|x_{n}-y_{n}\|\to 2$，

那么称该巴拿赫空间为 一致凸的。显然，希尔伯特空间是一致凸的。这个概念的意义在于接下来的结果。

4 定理 每个一致凸空间 ${\mathfrak {B}}$ 都是自反的。
证明：假设 ${\mathfrak {B}}$ 是一致凸的，但不是自反的。 $\square$

4 定理 每个有限维巴拿赫空间都是自反的。
证明： (TODO)

4 定理 设 ${\mathfrak {B}}_{1},{\mathfrak {B}}_{2}$ 是巴拿赫空间。如果 ${\mathfrak {B}}_{1}$ 有一个 w:Schauder 基，那么 ${\mathfrak {B}}_{1}$ 上的有限秩算子空间在 ${\mathfrak {B}}_{1}$ 上的紧算子空间中是（算子范数）稠密的。

5 定理 当 $1<p<\infty$ 时，$L^{p}$ 空间是一致凸的（因此，是自反的）。
证明： (TODO)

5 定理（M. 里斯扩张定理） （参见 w:M. 里斯扩张定理）

参考文献

• 可分离巴拿赫空间理论需要强集合存在公理
• 泛函分析与无穷维几何