泛函分析/谐波分析/局部紧群

介绍

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在本节中，我们将定义最著名的拓扑群类别，即局部紧群。此类别包括紧群，而紧群又包括所有有限群、有限维李群等等。

习题

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预备知识

定义 9.2.1: 局部紧群是指其底层拓扑空间是局部紧的拓扑群。

示例

1. 所有紧群，因此所有有限群都是局部紧群。
2. 离散群始终是局部紧群。
3. 任何有限维向量空间都是局部紧群（配备加法运算）。

希尔伯特空间 $l^{2}(\mathbb {N} )$ 在范数拓扑中不是局部紧群。

命题： 局部紧群的开子群始终是闭群。局部紧群的闭子群是局部紧群。

证明： 事实上，设 $H\subset G$ 是 $G$ 的一个开子群。选择一个集合 $\{y_{j}\in G|\ j\in J\}$，每个元素 $y_{j}$ 代表一个在 $G/H$ 中的一个类，但选择 $e$ 来代表 $H$ 的类。然后我们有不相交并集 $G=\sqcup _{j\in J}y_{j}H$。由于左乘以给定元素 $y_{j}$ 是 $H$ 和 $y_{j}H$ 之间的同胚，因此我们有每个这样的集合在 $G$ 中是开集。因此，$H=eH$ 的补集在 $G$ 中是开集，因此 $H$ 也是闭集。

如果现在 $H\subset G$ 是 $G$ 的一个闭子群，令 $x\in H$。存在 $G$ 中 $x$ 的一个紧邻域 $X$。但是，交集 $X\cap H$ 是 $H$ 中 $x$ 的一个紧邻域。证毕。

结合上一命题的结论，我们得出结论：局部紧群的开子群也是局部紧的。

命题：令 $G$ 是一个拓扑群。为了使 $G$ 是局部紧的，必须且只需要中性元素 $e$ 拥有一个紧邻域。

证明：事实上，如果 $X$ 是 $e$ 的一个紧邻域，那么对于任何 $x\in X$，$Xx$ 是 $x$ 的一个紧邻域，因为 $Xx=R_{x}(X)$ 是一个连续映射的像（参考练习（ref）左右乘法映射）。证毕。

附录

在这里，您将找到一个未排序的章节列表。其中一些列出的主题非常高级，而另一些则是帮助您完成数学之旅的工具。由于这是维基教科书的最后一个标题，必要的书籍结尾也位于此处。

• 数学符号列表
• 定理列表
• 参考资料
• 索引