泛函分析/谐波分析/拓扑群

介绍

谐波分析中研究的主要代数结构是拓扑群。简而言之，拓扑群是一个群，其底层集合具有与群结构兼容的拓扑。

预备知识

定义 9.1.1： 一个拓扑群是一个三元组 $(G,*,\tau )$ ，其中 $(G,*)$ 是一个群， $(G,\tau )$ 是一个拓扑空间，使得：

乘积映射 $*:G\times G\rightarrow G$ 是连续的，其中 $G\times G$ 采用规范的积拓扑.
逆映射 $\iota :G\rightarrow G$ 是连续的。

我们稍微滥用一下符号，用 $G$ 表示一个拓扑群，当乘积和拓扑从上下文推断出来时，除非我们需要小心处理某个情况，例如，当讨论同一个群上的两种不同拓扑时。

例子

任何配备离散拓扑的群都会变成拓扑群。
$\mathbb {R}$ ，以数字加法作为乘积，并使用通常的直线拓扑。更一般地，如果 $V$ 是一个有限维的 $\mathbb {K}$ -向量空间，那么配备规范积拓扑和向量加法的 $V$ 是一个拓扑群。
如果 $V$ 是一个 $\mathbb {K}$ -向量空间，那么集合 $GL(V)=\{T:V\rightarrow V|\ T$ 是线性且可逆的 $\}$ 是一个拓扑群，配备映射合成作为乘积，以及从向量空间 ${\text{End}}(V)$ 继承的子空间拓扑。

以下命题给出了拓扑群的等价定义。

命题 9.1.2: 设 $(G,*)$ 是一个群，且 $(G,\tau )$ 是具有相同底集的拓扑空间。那么 $(G,*,\tau )$ 是一个拓扑群当且仅当映射 $\phi :G\times G\rightarrow G$ ，由 $\phi (x,y)=xy^{-1}$ 给出，是连续的。

证明: 首先注意到我们可以将映射 $\phi$ 写成 $\phi =*\circ id\times \iota :G\times G\rightarrow G$ 。假设 $(G,*,\tau )$ 是一个拓扑群。那么，根据定义 9.1.1 中的 1 和 2， $\phi =\phi =*\circ (id\times \iota )$ 是连续映射的复合，因此是连续的。

反之，假设 $\phi =*\circ (id\times \iota )$ 是连续的。由于包含映射 $i_{2}:G\rightarrow G\times G$ 由 $i_{2}(y)=(e,y)$ 给出，是连续的。我们因此可以得出结论，复合映射 $\iota =\phi \circ i_{2}:G\rightarrow G$ 是连续的。最后，用类似的推理方法，乘积映射 $*=\phi \circ (id\times \iota )$ 是连续的。证毕

定义 9.1.3: 设 $(G_{1},*_{1},\tau _{1})$ 和 $(G_{2},*_{2},\tau _{2})$ 是拓扑群。拓扑群同态，或简称为 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 之间的同态，是连续的群同态 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ 。更准确地说，拓扑群同态是 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ ，满足：

$\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$ 对于所有 $x,y\in G_{1}$ 成立。
$\phi$ 是拓扑空间 $(G_{1},\tau _{1})$ 和 $(G_{1},\tau _{2})$ 之间的连续映射。

拓扑群之间的同构是一个双射连续映射，其逆映射也是连续的。

与纯粹的代数群一样，同构的拓扑群被认为是相同的拓扑群，除了在非常特殊的上下文中。

定义 9.1.5: 设 $G$ 是一个拓扑群， $H$ 是一个拓扑群，使得 $H$ 被视为一个纯粹的代数群，是 $G$ 的子群。如果包含映射是连续的，我们就称 $H$ 是 $G$ 的拓扑子群。

命题 9.1.6: 令 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ 为同态。那么 $\phi (G_{1})\subset G_{2}$ 是拓扑子群，且 $\ker(\phi )\subset G_{1}$ 是正规拓扑子群。此外

证明：如果 $\phi$ 是同态，我们从群论知道，像 $\phi (G_{1})\subset G_{2}$ 是一个子群。但我们也从拓扑学中回忆到，连续映射的像是自然地配备了子空间拓扑。但是，将乘法和逆映射限制到 $\phi (G_{1})$ 是子空间拓扑下的连续的，因此 $\phi (G_{1})$ 是拓扑群。最后，我们从拓扑学中知道，子空间拓扑使得包含映射连续，因此 $\phi (G_{1})$ 是 $G_{2}$ 的拓扑子群。第二个断言也遵循相同的推理思路。

我们使用纯代数群的第一同构定理来推断， ${\frac {G_{1}}{\ker(\phi )}}\simeq \phi (G_{1})$ 作为群，同构由 ${\tilde {\phi }}(x\ker(\phi ))=\phi (x)$ 给出。但由于映射 ${\tilde {\phi }}$ 是 $\phi$ 的商映射，它连续且开。这些性质加上满射性表明， ${\tilde {\phi }}$ 是拓扑群的同构。证毕。

引理： 对于给定元素的左平移和右平移 (ref) (Lx、Rx 的定义，群论) 是群到自身上的同胚。更准确地说，映射 $L_{x}(y)=xy,R_{x}(y)=yx$ 是 $G$ 上的同胚。

证明： 乘积映射根据假设是联合连续的，因此是分别连续的。这些映射的逆映射是映射 $L_{x^{-1}},R_{x^{-1}}$ ，根据同样的原因，它们是连续的。证毕。

由于我们几乎只关注拓扑群，我们将把同胚简称为拓扑群的同胚，而如果我们指的是纯群同胚，则称之为代数同胚。

中性元素的邻域对于拓扑群来说特别重要。

定义： 对于 $x\in G$ ，用 ${\mathcal {N}}_{G}(x)$ 表示 $G$ 中 $x$ 的所有邻域的集合。

引理： 对于任何 $y\in G$ ，我们有 ${\mathcal {N}}_{G}(y)=\{yN|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}=\{Ny|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}$ 。换句话说，一个点的邻域就是中性元素邻域被该点平移后的结果。

证明： 如果 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ ，那么根据引理 (ref) (平移是同胚)， $yN,Ny$ 是 $y$ 的邻域。类似地，如果 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(y)$ ，那么 $Ny^{-1},y^{-1}N$ 是 $e$ 的邻域，使得 $N=yy^{-1}N=Ny^{-1}y$ 。证毕。

这表明中性元素的邻域足以描述群的拓扑结构。实际上，映射、群等的某些拓扑性质仅取决于它们在中性元素处的行为。例如，我们有

引理： 设 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ 为代数同态。为了使 $\phi$ 为同态，当且仅当 $\phi$ 在 $e$ 处连续。

证明： 必要性是显而易见的。为了证明充分性，设 $N\subset G_{2}$ 为非空开集，且 $x\in N$ 。则 $x^{-1}N$ 是中性元 $e_{2}\in G_{2}$ 的邻域，根据假设 $\phi ^{-1}(x^{-1}N)$ 是 $e_{1}\in G_{1}$ 的开邻域。对于每个 $y\in \phi ^{-1}(x)$ ，我们有开集 $y\phi ^{-1}(x^{-1}N)$ 满足 $\phi (y\phi ^{-1}(x^{-1}N))\subset N$ 。我们断言

\phi ^{-1}(N)=\bigcup _{x\in N,y\in \phi ^{-1}(x)}y\phi ^{-1}(x^{-1}N)

.

事实上，如果 $z\in \phi ^{-1}(N)$ ，则 $z\in z\phi ^{-1}(\phi (z)^{-1}N)$ ，因为 $e_{1}\in \phi ^{-1}(\phi (z)^{-1}N)$ 。因此 $\phi ^{-1}(N)$ 是开集，且 $\phi$ 是连续的。证毕。

命题： 对于拓扑群 $G$ 中包含的每个 $x$ ，我们有 ${\mathcal {N}}_{G}(x)=x{\mathcal {N}}_{G}(e)=\{xN|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}$ 以及 ${\mathcal {N}}_{G}(x)={\mathcal {N}}_{G}(e)x=\{Nx|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}$ .

证明： 设 $x\in G$ 。然后对于每个 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ ，根据命题 (ref) (平移是同胚) 我们有 $xN\in {\mathcal {N}}_{G}(x)$ 。反之，如果 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(x)$ ，那么 $N_{1}=:x^{-1}N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ 。但随后我们可以写成 $N=xN_{1}$ ， $N_{1}\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ 。证毕。