泛函分析/希尔伯特空间

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- 章节几乎完成，但证明中仍存在一些错误需要修正。（此外，我们可以添加关于无界算子的极分解的讨论。）

如果对于空间中每个元素对 $(x,y)$ 存在唯一的复数（或实数）称为 $x$ 和 $y$ 的内积，记为 $\langle x,y\rangle$，则该赋范空间称为预希尔伯特空间，且满足以下条件

• (i) 泛函 $f(x)=\langle x,y\rangle$ 是线性的。
• (ii) $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$
• (iii) $\langle x,x\rangle >0$ 对于每一个非零 $x$

内积在其第二个变量中不是线性的，而是反线性的：即，如果 $g(y)=\langle x,y\rangle$，那么 $g(\alpha y)={\bar {\alpha }}y$ 对于标量 $\alpha$。我们定义 $\|x\|=\langle x,x\rangle ^{1/2}$，并且这将成为一个范数。事实上，很明显 $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$，并且 (iii) 是 $\|x\|=0$ 意味着 $x=0$ 的原因。最后，三角不等式从下一个引理得出。

3.1 引理（施瓦兹不等式） $|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|$ 当且仅当可以写成 $x=\lambda y$ 时，等式成立，其中 $\lambda$ 是一个标量。

如果我们暂时假设该引理成立，那么可以得到

$\|x+y\|^{2}$	$=\|x\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +\|y\|^{2}\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}$
	$\leq (\|x\|+\|y\|)^{2}$

因为对于任何复数 $\alpha$，有 $\operatorname {Re} (\alpha )\leq |\alpha |$

引理证明：首先假设 $\|x\|=1$。如果 $\alpha ={\overline {\langle x,y\rangle }}$，那么可以得到

$0\leq \|\alpha x-y\|^{2}=|\alpha |^{2}-2\operatorname {Re} (\alpha \langle x,y\rangle )+\|y\|^{2}=-|\alpha |^{2}+\|y\|^{2}$

当且仅当 $x=\lambda y$ 时，方程变为 $0$。由于我们可以假设 $x\neq 0$，因此一般情况也容易得到。 $\square$

3.2 定理 一个赋范线性空间是预希尔伯特空间当且仅当 $\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-\|x+y\|^{2}$。
证明：直接部分很清楚。为了证明逆命题，我们定义

$\langle x,y\rangle =4^{-1}(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2})$.

然后可以立即得出 $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$，$\langle -x,y\rangle =-\langle x,y\rangle$ 以及 $\langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle$。此外，由于计算

$\|x_{1}+x_{2}+y\|^{2}-\|x_{1}+x_{2}-y\|^{2}$	$=2\|x_{1}+y\|^{2}-2\|x_{1}-y\|^{2}-\|x_{1}-x_{2}+y\|^{2}-\|x_{1}-x_{2}-y\|^{2}$
	$=\sum _{j=1}^2\Vert x_j+y{\Vert }^2-\Vert x_{}$,

我们有：$\langle x_{1}+x_{2},y\rangle =\langle x_{1},y\rangle +\langle x_{2},y\rangle$。如果 $\alpha$ 是一个实数标量，并且 $\alpha _{j}$ 是一个收敛到 $\alpha$ 的有理数序列，那么根据连续性和以上，我们得到：$\langle \alpha x,y\rangle =\lim _{j\to \infty }\langle \alpha _{j}x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle .\square$

3.3 引理 令 ${\mathfrak {H}}$ 为一个预希尔伯特空间。那么 $x_{j}\to x$ 在范数下收敛当且仅当对于任意 $y\in {\mathfrak {H}}$ $\|x_{j}\|\to \|x\|$ 并且 $\langle x_{j}-x,y\rangle \to 0$ 当 $j\to \infty$ 时。
证明：直接部分成立，因为

$|\|x_{j}\|-\|x\||+|\langle x_{j}-x,y\rangle |\leq \|x_{j}-x\|(1+\|y\|)\to 0$ 当 $j\to \infty$ 时。

反之，我们有

$\|x_{j}-x\|^{2}=\|x_{j}\|^{2}-2\operatorname {Re} \langle x_{j},x\rangle +\|x\|^{2}\to 0$ 当 $j\to \infty$

$\square$

3.4 引理 设 $D$ 是希尔伯特空间中的一个非空凸闭集。则 $D$ 存在唯一的元素 $z$ 使得

$\|z\|=\inf\{\|x\|;x\in D\}$.

证明: 用 $\delta$ 表示等式右侧。因为 $D$ 非空，所以 $\delta >0$。对于每个 $n=1,2,...$，存在一些 $x_{n}\in D$ 使得 $0\leq \|x_{n}\|-\delta \leq n^{-1}$。也就是说，$\delta =\lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|$。因为 $D$ 是凸的，

${x_{n}+x_{m} \over 2}\in D$ 因此 $\delta \leq {1 \over 2}\|x_{n}+x_{m}\|$.

由此可得

$\|x_{n}-x_{m}\|^{2}$	$=2\|x_{n}\|^{2}+2\|x_{m}\|^{2}-\|x_{n}+x_{m}\|^{2}$
	$\leq 2\|x_{n}\|^{2}+2\|x_{m}\|^{2}-4\delta ^{2}$
	$\to 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0$ 随着 $n,m\to \infty$

也就是说，$x_{n}$ 是柯西序列。 由于 $D$ 是完备度量空间的闭子集，因此它也是完备的，存在极限 $z\in D$，其中 $\|z\|=\delta$。 唯一性来自于，如果 $\|w\|=\delta$，我们有

$\|z-w\|^{2}=2\|z\|^{2}+2\|w\|^{2}-\|z+w\|^{2}$

其中右侧 $\leq 0$，理由与之前相同。 $\square$

该引理可能适用于某些不是希尔伯特空间的巴拿赫空间；这个问题将在下一章中探讨。

对于非空子集 $E\subset {\mathfrak {H}}$，定义 $E^{\bot }$ 为线性泛函 $u\mapsto \langle u,v\rangle$ 的核在所有 $v\in E$ 上的交集。(换句话说，$E^{\bot }$ 是所有 $x\in {\mathfrak {H}}$ 的集合，它们与每个 $y\in E$ 正交。) 由于连续函数的核是封闭的，线性空间的交集也是线性空间，因此 $E^{\bot }$ 是 ${\mathfrak {H}}$ 的封闭 (线性) 子空间。最后，如果 $x\in E\cap E^{\bot }$，那么 $0=\langle x,x\rangle =\|x\|$ 且 $x=0$。

3.5 Lemma Let ${\mathcal {M}}$ be a linear subspace of a pre-Hilbert space. Then $z\in {\mathcal {M}}^{\bot }$ if and only if $\|z\|=\inf\{\|z+w\|;w\in {\mathcal {M}}\}$.
Proof: (<=). Let $w\in {\mathcal {M}}$. By our condition, we have that $\lVert z\rVert \leq \lVert z+w\rVert$. Squaring both sides gives $\lVert z\rVert ^{2}\leq \lVert z+w\rVert ^{2}$. Expanding this using inner products and rearranging gives $2\Re \langle z,w\rangle \geq -\lVert w\rVert ^{2}$. The same thing is true (by the same argument) for $-w$, so we get $2\Re \langle z,-w\rangle \geq -\lVert w\rVert ^{2}$. This altogether implies that $-\lVert w\rVert ^{2}\leq 2\Re \langle z,-w\rangle =-2\Re \langle z,w\rangle \leq \lVert w\rVert ^{2}$, from which we get $2|\Re \langle z,w\rangle |\leq \lVert w\rVert ^{2}$. Consider a real $\lambda >0$; by the same argument we have that $2|\Re \langle z,w\rangle |\leq \lambda \lVert w\rVert ^{2}$. Since this is true for all $\lambda >0$, we get $\Re \langle z,w\rangle =0$. Since furthermore we have $iw\in {\mathcal {M}}$, we have that $0=\Re \langle z,iw\rangle =-\Im \langle z,w\rangle$. We conclude that $\langle z,w\rangle =0$.

(=>) 令 $w\in {\mathcal {M}}$。我们有 $\lVert z+w\rVert ^{2}=\lVert z\rVert ^{2}+2\Re \langle z,w\rangle +\lVert w\rVert ^{2}=\lVert z\rVert ^{2}+\lVert w\rVert ^{2}\geq \lVert z\rVert ^{2}$。取此不等式的第一项和最后一项，并开方，得到 $\lVert z+w\rVert \geq \lVert z\rVert$。最后，注意到对于 $w=0\ni {\mathcal {M}}$，下确界是达到的，因为 $\lVert z+w\rVert =\lVert z\rVert$。 $\square$

3.6 定理（正交分解） 令 ${\mathfrak {H}}$ 是希尔伯特空间，${\mathcal {M}}\subset {\mathfrak {H}}$ 是闭子空间。对于每个 $x\in {\mathfrak {H}}$，我们可以写成

$x=y+z$

其中 $y\in {\mathcal {M}}$ 和 $z\in {\mathcal {M}}^{\bot }$ 是由 $x$ 唯一确定的。
证明：显然 $x-{\mathcal {M}}$ 是凸的，并且它也是闭的，因为闭集的平移仍然是闭的。引理 3.4 现在给出了一个唯一的元素 $y\in {\mathcal {M}}$，使得 $\|x-y\|=\inf\{\|x-w\|;w\in {\mathcal {M}}\}$。令 $z=x-y$。由引理 3.5，$z\in {\mathcal {M}}^{\bot }$。对于唯一性，假设我们已经写成了

$x=y'+z'$

其中 $y'\in {\mathcal {M}}$ 且 $z'\in {\mathcal {M}}^{\bot }$。根据引理 3.5，$\|x-y'\|=\inf\{\|x-w\|;w\in {\mathcal {M}}\}$。但如前所述，这种 $y'$ 必须是唯一的；即 $y'=y$。 $\square$

3.7 推论 设 ${\mathcal {M}}$ 是希尔伯特空间 ${\mathfrak {H}}$ 的子空间。则

• (i) ${\mathcal {M}}^{\bot }=\{0\}$ 当且仅当 ${\mathcal {M}}$ 在 ${\mathfrak {H}}$ 中稠密。
• (ii) ${\mathcal {M}}^{\bot \bot }={\overline {\mathcal {M}}}$.

证明：根据连续性，$\langle x,{\overline {\mathcal {M}}}\rangle \subset {\overline {\langle x,{\mathcal {M}}\rangle }}$。（这里，$\langle x,E\rangle$ 表示集合 $E$ 在映射 $y\mapsto \langle x,y\rangle$ 下的像）。这给出

${\mathcal {M}}^{\bot }={\overline {\mathcal {M}}}^{\bot }$ 因此，${\mathfrak {H}}={\overline {\mathcal {M}}}\oplus {\mathcal {M}}^{\bot }$

通过正交分解。(i) 随之得出。类似地，我们有

${\mathfrak {H}}={\mathcal {M}}^{\bot }\oplus {\mathcal {M}}^{\bot \bot }={\mathcal {M}}^{\bot }\oplus {\overline {\mathcal {M}}}$.

因此，(ii)。$\square$

3.8 定理（表示定理） 希尔伯特空间 ${\mathfrak {H}}$ 上的每一个连续线性泛函 $f$ 都有以下形式：

$f(x)=\langle x,y\rangle$ 其中 $y\in {\mathcal {M}}$ 是唯一的，且 $\|f\|=\|y\|_{\mathfrak {H}}$

证明：令 ${\mathcal {M}}=f^{-1}(\{0\})$。由于 $f$ 是连续的，${\mathcal {M}}$ 是闭集。如果 ${\mathcal {M}}={\mathfrak {H}}$，则取 $y=0$。否则，根据推论 3.6，存在一个非零的 $z\in {\mathfrak {H}}$ 与 ${\mathcal {M}}$ 正交。将 $z$ 替换为 $z\|z\|^{-1}$，我们可以假设 $\|z\|=1$。对于任何 $x\in {\mathfrak {H}}$，由于 $zf(x)-f(z)x$ 在 $f$ 的核中，因此与 $z$ 正交，我们有

$0=\langle zf(x)-f(z)x,z\rangle =\langle z,z\rangle f(x)-\langle f(z)x,z\rangle$

因此

$f(x)=\langle x,{\overline {f(z)}}z\rangle$

由于对于所有$x\in {\mathfrak {H}}$，有$\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle$，这意味着$y_{1}-y_{2}\in {\mathfrak {H}}^{\bot }=\{0\}$。最后，我们有恒等式

$\|y\|=|\langle {y \over \|y\|},y\rangle |\leq \|f\|\leq \|y\|$

其中最后一个不等式是施瓦茨不等式。$\square$

3.9 练习 使用引理 1.6 给出上述定理的另一种证明。

根据定理 3.5，对于每个$x\in {\mathfrak {H}}$，我们可以写出：$x=y+z$，其中$y\in {\mathcal {M}}$ 是${\mathfrak {H}}$ 的一个闭子空间，$z\in {\mathcal {M}}^{\bot }$。用 $\pi (x)$ 表示由$x$ 唯一确定的每个$y$。函数$\pi$ 然后被证明是一个线性算子。事实上，对于给定的$x_{1},x_{2}\in {\mathfrak {H}}$，我们写出

$x_{1}=y_{1}+z_{1},x_{2}=y_{2}+z_{2}$ 和 $x_{1}+x_{2}=y_{3}+z_{3}$

其中 $y_{j}\in {\mathcal {M}}$ 且 $z_{j}\in {\mathcal {M}}^{\bot }$ 对 $j=1,2,3$ 成立。根据分解的唯一性

$\pi (x_{1})+\pi (x_{2})=y_{1}+y_{2}=y_{3}=\pi (x_{1}+x_{2})$.

类似的推理表明 $\pi$ 与标量可交换。现在，对于 $x=y+z\in {\mathfrak {H}}$（其中 $y\in {\mathcal {M}}$ 且 $z\in {\mathcal {M}}^{\bot }$），我们有

$\|x\|^{2}=\|\pi (x)\|^{2}+\|z\|^{2}\geq \|\pi (x)\|^{2}$

也就是说，$\pi$ 是连续的，且满足 $\|\pi \|\leq 1$。特别地，当 ${\mathcal {M}}$ 是非零空间时，存在 $x_{0}\in {\mathcal {M}}$ 使得 $\pi (x_{0})=x_{0}$ 且 $\|x_{0}\|=1$，因此 $\|\pi \|=1$。这种 $\pi$ 被称为 *正交投影*（到 ${\mathcal {M}}$ 上）。

下一个定理给出了 Hahn-Banach 定理的另一种证明。

3 定理 设 ${\mathcal {M}}$ 是希尔伯特空间的线性（不一定闭）子空间。在 ${\mathcal {M}}$ 上的每一个连续线性泛函都可以唯一地扩展到 ${\mathfrak {H}}$ 上的连续线性泛函，该泛函具有相同的范数，并且在 ${\mathcal {M}}^{\bot }$ 上消失。
证明：由于 ${\mathcal {M}}$ 是巴拿赫空间 ${\overline {\mathcal {M}}}$ 的稠密子集，根据定理 2.something，我们可以 *唯一地* 扩展 $f$ 使其在 ${\overline {\mathcal {M}}}$ 上连续。定义 $g=f\circ \pi _{\overline {\mathcal {M}}}$。根据定理 2.something (Hahn-Banach) 的证明中使用的相同论证以及 $\|\pi _{\mathcal {F}}\|=1$ 的事实，我们得到 $\|f\|=\|g\|$。由于 $g=0$ 在 ${\mathcal {M}}^{\bot }$ 上，现在需要证明唯一性。为此，令 $h$ 是另一个具有所需性质的扩展。由于 $f-h$ 的核是闭集，因此包含 ${\overline {\mathcal {M}}}$，$f=h$ 在 ${\overline {\mathcal {M}}}$ 上。因此，对于任何 $x\in {\mathfrak {H}}$，

$h(x)=(h\circ \pi _{\overline {\mathcal {M}}})x=(f\circ \pi _{\overline {\mathcal {M}}})x=g(x)$.

因此，扩展$g$ 是唯一的。 $\square$

定理 3 设${\mathcal {M}}_{n}$ 是闭子空间的递增序列，并且${\mathcal {M}}$ 是${\mathcal {M}}_{1}\cup {\mathcal {M}}_{2}\cup ...$ 的闭包。 如果$\pi _{\mathcal {M}}$ 是到${\mathcal {M}}$ 的正交投影，那么对于每个$x\in {\mathcal {M}}$ $\pi _{{\mathcal {M}}_{n}}(x)\to x$。
证明：设${\mathcal {N}}=\{x\in {\mathcal {M}};\pi _{{\mathcal {M}}_{n}}(x)\to x(n\to \infty )\}$。 那么${\mathcal {N}}$ 是闭合的。 事实上，如果$x_{j}\in {\mathcal {N}}$ 并且$x_{j}\to x$，那么

$\|\pi _{{\mathcal {M}}_{n}}(x)-x\|\leq 2\|x-x_{j}\|+\|\pi _{{\mathcal {M}}_{n}}(x_{j})-x_{j}\|$

因此，$x\in {\mathcal {N}}$。由于${\mathcal {M}}\subset {\overline {\mathcal {N}}}$，证明完成。$\square$

令$({\mathfrak {H}}_{j},\|\cdot \|_{j}=\langle \cdot ,\cdot \rangle _{j})$ 为希尔伯特空间。定义${\mathfrak {H}}_{1}\oplus {\mathfrak {H}}_{2}$ 的直和如下：令${\mathfrak {H}}_{1}\oplus {\mathfrak {H}}_{2}=\{(x_{1},x_{2});x_{1}\in {\mathfrak {H}}_{1},x_{2}\in {\mathfrak {H}}_{2}\}$ 并定义

$\langle x_{1}\oplus x_{2},y_{1}\oplus y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle _{1}+\langle x_{2},y_{2}\rangle _{2}$.

然后很容易验证$({\mathfrak {H}}_{1}\oplus {\mathfrak {H}}_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ 是一个希尔伯特空间。很明显，这个定义可以推广到希尔伯特空间的有限直和。（关于希尔伯特空间的无限直和，参见第 5 章。）

回顾上一章，巴拿赫空间之间的等距满射称为“酉”变换。

3 引理（希尔伯特伴随） 定义 $V:{\mathfrak {H}}_{1}\oplus {\mathfrak {H}}_{2}\to {\mathfrak {H}}_{2}\oplus {\mathfrak {H}}_{1}$ 为 $V(x_{1}\oplus x_{2})=-x_{2}\oplus x_{1}$。 (显然，$V$ 是一个酉算子)。那么 $(V\operatorname {gra} T)^{\bot }$ 是一个图（某个线性算子的图）当且仅当 $T$ 是稠密定义的。
证明：设 ${\mathcal {M}}=(V\operatorname {gra} T)^{\bot }$。令 $u\in (\operatorname {dom} T^{*})^{\bot }$。那么

$0=\langle 0,-Tv\rangle _{2}+\langle u,v\rangle _{2}=\langle 0\oplus u,-Tv\oplus v\rangle$ 对每个 $v$ 成立。

也就是说，$0\oplus u\in {\mathcal {M}}$，根据假设，这是一个线性算子的图。因此，$u=0$。反之，假设 $f\oplus u_{1},f\oplus u_{2}\in {\mathcal {M}}$。那么

$0=\langle f\oplus u_{j},-Tv\oplus v\rangle =\langle f,-Tv\rangle _{2}+\langle u_{j},v\rangle _{1}\qquad$ $(j=1,2)$

因此 $\langle u_{1}-u_{2},v\rangle _{1}=0$ 对 $T$ 定义域中的每一个 $v$ 都成立。因为 $T$ 的定义域稠密，所以 $u_{1}=u_{2}$，并且 ${\mathcal {M}}$ 是某个函数的图像，例如，$S$。可以用类似的方式检验 $S$ 的线性。 $\square$

备注：在引理的证明中，$T$ 的线性从未用到。

对于稠密定义的 $T$，我们因此获得了一个线性算子，我们称之为 $T^{*}$。它由以下公式唯一确定

$0=\langle f,-Tu\rangle _{2}+\langle T^{*}f,u\rangle _{1}=\langle f\oplus T^{*}f,V(u\oplus Tu)\rangle$ 对每一个 $u$ 都成立，

或者，更常见的是，

$\langle Tu,f\rangle _{2}=\langle u,T^{*}f\rangle _{1}$ 对每一个 $u$ 都成立。

此外，$T^{*}f$ 有定义当且仅当

$u\mapsto \langle Tu,f\rangle$

对于每个 $u\in \operatorname {dom} T$，$T$ 是连续的。算子 $T^{*}$ 称为 $T$ 的 希尔伯特伴随（或简称为伴随）。如果 $T$ 除了具有稠密定义域之外还封闭，那么

$(V'\operatorname {gra} T^{*})^{\bot }=(V'(V\operatorname {gra} T)^{\bot })^{\bot }=\operatorname {gra} T^{\bot \bot }=\operatorname {gra} T$

这里，$V'(x_{2},x_{1})=-x_{1}\oplus x_{2}$。根据上面的引理，$T^{*}$ 是稠密定义的。更一般地，如果一个稠密定义算子 $T$ 具有一个封闭延拓 $S$（即，$\operatorname {gra} T\subset \operatorname {gra} S={\overline {\operatorname {gra} S}}$），那么 $S$ 和 $S^{*}$ 都是稠密定义的。由此可得：$\operatorname {gra} S^{*}\subset \operatorname {gra} T^{*}$。也就是说，$T^{*}$ 是稠密定义的，并且 $T^{**}$ 存在。$S=T^{**}$ 由下一个定理得出。

3 定理 设 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 是一个稠密定义的算子。如果 $T^{*}$ 也是稠密定义的，则

${\overline {\operatorname {gra} T}}=\operatorname {gra} T^{**}=\operatorname {gra} S$

对于任何 $T$ 的闭扩张 $S$。
证明：如上所述，

$(V'\operatorname {gra} T^{*})^{\bot }=\operatorname {gra} T^{\bot \bot }$

这里，左侧是 $T^{**}$ 的图。对于第二个等式，由于 $\operatorname {gra} S$ 是一个希尔伯特空间，因此只需证明 $\operatorname {gra} T^{\bot }\cap \operatorname {gra} S=\{0\}$。但这可以从引理 3.something 中得出。$\square$

下一个推论是显而易见的，但在应用中很重要。

3 推论 设 ${\mathfrak {H}}_{1},{\mathfrak {H}}_{2}$ 是希尔伯特空间，且 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 是一个闭稠密定义的线性算子。则 $u\in \operatorname {dom} T$ 当且仅当存在某个 $K>0$ 使得：

$\|\langle T^{*}f,u\rangle \|\leq K\|f\|$ 对于每个 $f\in \operatorname {dom} T^{*}$

3 引理 设 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 为一个稠密定义的线性算子。则 $\operatorname {ker} T^{*}=(\operatorname {ran} T)^{\bot }.$
证明：$f$ 属于等式左侧或右侧当且仅当

$0=\langle T^{*}f,u\rangle =\langle f,Tu\rangle$ 对任意 $u$ 成立。

(注意，对任意 $u$ 有 $\langle f,Tu\rangle =0$ 意味着 $f\in \operatorname {dom} T^{*}$.) $\square$

特别是，闭稠密定义的算子具有闭核。作为应用，我们将证明下一个定理。

3 定理 设 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 为一个闭稠密定义的线性算子。则 $T$ 是满射当且仅当存在一个 $K>0$ 使得

$\|f\|_{2}\leq K\|T^{*}f\|_{1}$ 对任意 $f\in \operatorname {dom} T^{*}$ 成立。

证明：假设 $T$ 是满射的。由于 $T$ 的值域是闭集，因此只需证明对于 $f\in (\operatorname {ker} T^{*})^{\bot }=\operatorname {ran} T$ 的估计式。设 $u\in (\operatorname {ker} T)^{\bot }$ 且 $Tu=f$。用 $G$ 表示 $T$ 在 $(\operatorname {ker} T)^{\bot }$ 上的逆，我们有

$\|f\|_{2}^{2}\leq \|T^{*}f\|_{1}\|Gf\|_{1}\leq \|T^{*}f\|\|G\|\|f\|_{2}$

最后一个不等式成立，因为根据闭图像定理，$G$ 是连续的。为了证明反过来，设 $g\in {\mathfrak {H}}_{2}$ 为已知。由于 $T^{*}$ 是单射的，我们可以定义一个线性泛函 $L$ 为 $L(T^{*}f)=\langle f,g\rangle _{2}$，对于 $f\in {\mathfrak {H}}_{2}$。

$|L(T^{*}f)|=|\langle f,g\rangle _{2}|\leq K\|T^{*}f\|$ 对于所有 $f\in \operatorname {dom} T^{*}$ 成立。

因此，$L$ 在 $T^{*}$ 的范围内是连续的。根据 Hahn-Banach 定理，我们可以假设 $L$ 在 ${\mathfrak {H}}_{1}$ 上是定义且连续的。因此，根据定理 3.something，我们可以写成 $L(\cdot )=\langle \cdot ,u\rangle _{1}$ 在 ${\mathfrak {H}}_{1}$ 中，其中 $u$ 是一个常数。由于 $L(T^{*}f)$ 对 $f\in \operatorname {dom} T^{*}$ 是连续的，

$L(T^{*}f)=\langle f,g\rangle _{2}=\langle T^{*}f,u\rangle _{1}=\langle f,T^{**}u\rangle _{2}$ 对每个 $f\in \operatorname {dom} T^{*}$ 成立。

因此，$Tu=T^{**}u=g$。 $\square$

3 推论 令 $T,{\mathfrak {H}}_{1},{\mathfrak {H}}_{2}$ 如前定理所述。则 $\operatorname {ran} T$ 是闭的当且仅当 $\operatorname {ran} T^{*}$ 是闭的。
证明：定义 $S:{\mathfrak {H}}_{1}\to \operatorname {ran} T$ 为 $S=T$。因此，只需证明 $S^{*}$ 在 $T$ 的值域闭合时（等价于 $S$ 是满射）是满射。假设 $S^{*}f_{j}$ 收敛。前面的定理给出

$\|f_{j}-f_{k}\|_{2}\leq K\|S^{*}(f_{j}-f_{k})\|_{1}\to 0$ 当 $j,k\to \infty$。

因此，$f_{j}\oplus S^{*}f_{j}$ 在 $S^{*}$ 的图像中是柯西序列，该图像为闭集。因此，$S^{*}f_{j}$ 在 $S^{*}$ 的值域内收敛。反之成立，因为 $T^{**}=T$。 $\square$

现在我们来考虑一些稠密定义的线性算子的具体例子。

3 定理 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 是连续的当且仅当 $T^{*}$ 是连续的。此外，当 $T$ 是连续的，

$\|T\|^{2}=\|T^{*}T\|=\|TT^{*}\|=\|T^{*}\|^{2}$.

证明: 很明显 $T^{*}$ 在所有地方都定义了，它的连续性是封闭图定理的结果。反之，如果 $T^{*}$ 是连续的，那么 $T^{**}$ 是连续的，并且 $T=T^{**}$。对于第二部分，

$\|T^{*}f\|_{1}^{2}=|\langle TT^{*}f,f\rangle |\leq \|T\|\|T^{*}f\|_{2}\|f\|_{2}$ 对于每个 $f$ 成立。

因此，$T^{*}$ 是连续的，并且有 $\|T^{*}\|\leq \|T\|$。特别是，$T^{*}T$ 是连续的，所以

$\|T^{*}f\|_{1}^{2}\leq \|TT^{*}\|\|f\|_{2}^{2}$ 对于每个 $f$ 成立。

也就是说，$\|T^{*}\|^{2}\leq \|TT^{*}\|\leq \|T\|^{2}$。将此结果应用于 $T^{*}$ 代替 $T$ 完成了证明。

定理中的恒等式表明 $B({\mathcal {H}})$ 是一个 $C^{*}$-代数，这是一个在第六章中讨论的话题。

引理 3 设 $S,T\in B({\mathfrak {H}})$。如果 $\langle Tx,x\rangle =\langle Sx,x\rangle$ 对所有 $x\in {\mathfrak {H}}$ 成立，则 $S=T$。
证明：设 $R=T-S$。我们有 $0=\langle R(x+y),x+y\rangle =\langle Rx,y\rangle +\langle Ry,x\rangle$ 以及 $0=i\langle R(x+iy),x+iy\rangle =\langle Rx,y\rangle +i^{2}\langle Ry,x\rangle$。将这两个式子相加，我们得到：$0=2\langle Rx,y\rangle$ 对所有 $x,y\in {\mathfrak {H}}$ 成立。取 $y=Rx$ 可得 $0=\|Rx\|^{2}$ 对所有 $x\in {\mathfrak {H}}$ 成立，或 $R=0$。 $\square$

注：如果底层域是$\mathbf {R}$，上述引理是错误的。

回想一下，等距满射被称为酉。

3 推论 线性算子$U:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 是酉的当且仅当 $U^{*}U$ 和 $UU^{*}$ 是单位元。
证明：由于$(U^{*}Ux\mid x)=\|Ux\|^{2}=(x\mid x)>$，我们看到$U^{*}U$ 是单位元。由于$UU^{*}U=U$，$UU^{*}$ 是 U 的值域上的单位元，该值域因满射而为 ${\mathcal {H}}_{2}$。反之，由于$\|Ux\|_{2}^{2}=\langle U^{*}Ux,x\rangle _{1}=\|x\|_{1}^{2}$，$U$ 是等距的。 $\square$

奇怪的是，可以省略对 线性 的假设

3 定理 如果$U:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}$ 是一个 函数 这样

$\|U(x)-U(y)\|_{2}=\|x-y\|_{1}$

对于每个x和y，以及$U(0)=0$，则$U$ 是一个线性算子（因此是酉算子）。
证明：注意U是连续的。由于$\|U(x)\|=\|U(x)-U(0)\|=\|x\|$，我们有

$\|x-y\|_{1}^{2}=\|U(x)-U(y)\|_{2}^{2}=\|x\|_{1}^{2}-2\operatorname {Re} (U(x)\mid U(y))+\|y\|_{1}^{2}$.

因此，

$\operatorname {Re} (x\mid y)_{1}=\operatorname {Re} (U(x),U(y))_{2}$

现在可以得出

$\|U(\alpha x+y)-\alpha U(x)-U(y)\|_{2}^{2}=\|U(\alpha x+y)-U(\alpha x)\|_{2}^{2}-2\operatorname {Re} (y\mid y)+\|U(y)\|_{2}^{2}=\|y\|_{1}^{2}-2\|y\|_{1}^{2}+\|y\|_{1}^{2}=0$

对于任何$x,y\in {\mathcal {H}}_{1}$和标量$\alpha$。$\square$

对于巴拿赫空间也有类似的结果。例如，参见 http://www.helsinki.fi/~jvaisala/mazurulam.pdf)

3 练习 构造一个例子，以证明等距算子（即保持范数的线性算子）不一定是酉算子。（提示：移位算子。）

一个稠密定义的线性算子$T$ 被称为“对称”的，如果$\operatorname {gra} T\subset \operatorname {gra} T^{*}$。如果上面的等式成立，则$T$ 被称为“自伴的”。根据定理 3.something，每个自伴算子都是闭的且稠密定义的。如果$T$ 是对称的，那么由于 $T^{**}$ 是 $T$ 的一个扩展，

$\operatorname {gra} T\subset \operatorname {gra} T^{*}\cap \operatorname {gra} T^{**}$.

3 定理 令 $T_{j}:{\mathfrak {H}}_{j}\to {\mathfrak {H}}_{j+1}$ 是稠密定义的线性算子，其中 $j=1,2$。那么 $\operatorname {gra} T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*}\subset \operatorname {gra} (T_{2}\circ T_{1})^{*}$，当 $T_{j}^{**}=T_{j}$ $(j=1,2)$ 且 $T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*}$ 是闭的且稠密定义的。
证明：令 $u\in \operatorname {dom} (T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*})$。那么

$\langle T_{2}\circ T_{1}v,u\rangle =\langle T_{1}v,T_{2}^{*}u\rangle =\langle v,T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*}u\rangle$ 对所有 $v\in \operatorname {dom} (T_{2}\circ T_{1})$ 成立。

但是，根据定义，$(T_{2}\circ T_{1})^{*}u$ 表示 $T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*}u$。因此，$(T_{2}\circ T_{1})^{*}$ 是 $T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*}$ 的扩展。对于第二部分，我们刚刚证明的事实表明

$\operatorname {gra} T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*}\subset \operatorname {gra} (T_{2}\circ T_{1})^{*}=\operatorname {gra} (T_{2}^{**}\circ T_{1}^{**})^{*}\subset \operatorname {gra} (T_{1}^{*}\circ T_{2}^{*})^{**}$。$\square$

3 定理 令 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 为希尔伯特空间。如果 $T:{\mathfrak {H}}_{1}\to {\mathfrak {H}}_{2}$ 是一个闭稠定义算子，那么 $T^{*}T$ 是一个自伴算子（特别是，稠定义且闭合。）
证明：根据前面的定理，只需证明 $T^{*}T$ 是闭合的。令 $u_{j}\in \operatorname {dom} T^{*}T$ 为一个序列，使得 $(u_{j},T^{*}Tu_{j})$ 收敛到极限 $(u,v)$。由于

$\|Tu_{j}-Tu_{k}\|_{2}\leq 2(\|T^{*}T(u_{j}-u_{k})\|_{1}+\|u_{j}-u_{k}\|_{1})$,

存在一个$f\in {\mathfrak {H}}_{2}$，使得：$\|Tu_{j}-f\|_{2}\to 0$。由于$T^{*}$ 是闭运算符，所以 $T^{*}f=v$。由于$\|u_{j}-u\|_{1}+\|Tu_{j}-f\|_{2}\to 0$ 且 $T$ 是闭运算符，所以 $T^{*}Tu=T^{*}f=v$。 $\square$

3 定理 令$T$ 为对称稠密定义算子。如果 $T$ 是满射的，则 $T$ 是自伴的且单射的，$T^{-1}$ 是自伴的且有界的。
证明：如果 $Tu=0$，

$\langle Tu,v\rangle =\langle u,Tv\rangle$ 且 $u=0$

如果 $T$ 的值域稠密（例如，它是满射的）。因此，$T$ 是单射的。由于 $T^{-1}$ 是闭的（根据引理 2.something）并且 $\operatorname {ran} T={\mathfrak {H}}_{2}$，$T^{-1}:{\mathfrak {H}}_{2}\to \operatorname {dom} T$ 是一个连续的线性算子。最后，我们有

$\operatorname {gra} T^{-1}=V\operatorname {gra} T\subset V\operatorname {gra} T^{*}=\operatorname {gra} (T^{*})^{-1}=\operatorname {gra} (T^{-1})^{*}$.

这里，$V(x_{1}\oplus x_{2})=x_{2}\oplus x_{1}$，等式成立是因为 $T$ 和 $T^{*}$ 的定义域重合。因此，$T^{-1}$ 是自伴的。由于我们刚刚证明了自伴算子的逆也是自伴的，所以我们有：$(T^{-1})^{-1}$ 是自伴的。$\square$

3 定理 令 ${\mathcal {M}}$ 是希尔伯特空间 ${\mathfrak {H}}$ 的闭线性子空间。那么 $\pi$ 是到 ${\mathcal {M}}$ 的正交投影当且仅当 $\pi =\pi ^{*}=\pi ^{2}$ 且 $\pi$ 的值域是 ${\mathcal {M}}$。
证明：除了 $\pi =\pi ^{*}$ 之外，直接部分是清晰的。但我们有

$\langle \pi (x),x\rangle =\|\pi (x)\|^{2}$

由于 $\pi (x)$ 和 $x-\pi (x)$ 是正交的。因此， $\pi$ 是实数，因此也是自伴的。反之，我们只需要验证 $x-\pi (x)\in {\mathcal {M}}^{\bot }$ 对所有 $x$ 成立。但我们有： $\pi (x-\pi (x))=0$ 和 $\operatorname {ker} (\pi )=\operatorname {ker} (\pi ^{*})=(\operatorname {ran} (\pi ))^{\bot }={\mathcal {M}}^{\bot }$. $\square$

现在我们将注意力转向紧自伴算子的谱分解。令 $T:{\mathfrak {H}}\to {\mathfrak {H}}$ 为一个紧算子。