泛函分析/C*-代数

泛函分析
第 5 章：C^*-代数

(2008 年 5 月 27 日). 注意本章尚未完成草稿。

一个在 $\mathbf {C}$ 上的 Banach 空间 ${\mathcal {A}}$ 被称为 Banach 代数，如果它是一个代数并且满足

\|xy\|\leq \|x\|\|y\|

.

我们假设每个 Banach 代数都有单位元 $1$ ，除非另有说明。

由于 $\|x_{n}y_{n}-xy\|\leq \|x_{n}\|\|y_{n}-y\|+\|x_{n}-x\|\|y\|\to 0$ 当 $x_{n},y_{n}\to 0$ 时，映射

(x,y)\mapsto xy:{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}

是连续的。

对于 $x\in {\mathcal {A}}$ ，令 $\sigma (x)$ 是所有复数 $\lambda$ 的集合，使得 $x-\lambda 1$ 不可逆。

5 定理 对于每个 $x\in {\mathcal {A}}$ ， $\sigma (x)$ 非空且闭合，并且

\sigma (x)\subset \{s\in \mathbf {C} ||s|\leq \|x\|\}

.

此外，

r(x){\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup\{|z||z\in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}

( $r(x)$ 称为 $x$ 的 _谱半径_)
证明：设 $G\subset {\mathcal {A}}$ 是单位元群。定义 $f:\mathbf {C} \to A$ 为 $f(\lambda )=\lambda 1-x$ 。（在整个证明中 $x$ 是固定的）。如果 $\lambda \in \mathbf {C} \backslash \sigma (x)$ ，则根据定义， $f(\lambda )\in G$ 或 $\lambda \in f^{-1}(G)$ 。类似地，我们有： $G\subset f(\sigma (x))$ 。因此， $x\in f^{-1}(G)\subset \sigma (x)$ 。由于 $f$ 显然是连续的， $\mathbf {C} \backslash \sigma (x)$ 是开的，因此 $\sigma (x)$ 是闭的。假设对于 $s\in \mathbf {C}$ ，有 $|s|>\|x\|$ 。根据几何级数（由定理2.xx成立），我们有

\left(1-{x \over s}\right)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({x \over s}\right)^{n}

因此， $1-{x \over s}$ 是可逆的，也就是说， $s1-x$ 是可逆的。因此， $s\not \in \sigma (x)$ 。这完成了第一个断言的证明，并给出

r(x)\leq \|x\|

由于 $\sigma (x)$ 是紧的，因此存在一个 $a\in \sigma (x)$ 使得 $r(x)=a$ 。由于 $a^{n}\in \sigma (x^{n})$ （用归纳法来证明这一点），

r(x)^{n}\leq \|x^{n}\|

接下来，我们断言序列 ${x^{n} \over s^{n+1}}$ 当 $|s|>r(x)$ 时是有界的。根据一致有界性原理，我们只需证明 $g\left({x^{n} \over s^{n+1}}\right)$ 对每个 $g\in A^{*}$ 都是有界的。但是由于

\lim _{n\to \infty }g\left({x^{n} \over s^{n+1}}\right)=0

,

实际上情况确实如此。因此，存在一个常数 $c$ 使得 $\|x^{n}\|\leq c|s|^{n+1}$ 对每个 $n$ 成立。由此得出

r(x)\leq \lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}\leq \lim _{n\to \infty }c^{1/n}|s|=|s|

.

对所有 $|s|>r(x)$ 求下确界完成了谱半径公式的证明。最后，反证法，假设 $\sigma (x)$ 为空。则对于每个 $g\in A^{*}$ ，映射

s\mapsto g((x-s)^{-1})

在 $\mathbf {C}$ 上是解析的。由于 $\lim _{s\to \infty }g((x-s)^{-1})=0$ ，根据刘维尔定理，我们有： $g((x-s)^{-1})=0$ 。因此， $(x-s)^{-1}=0$ 对于所有 $s\in \mathbf {C}$ 成立，矛盾。 $\square$

5 推论（Gelfand-Mazur 定理） 如果 ${\mathcal {A}}$ 中每个非零元素都可逆，那么 ${\mathcal {A}}$ 同构于 $\mathbf {C}$ 。
证明：令 $x\in {\mathcal {A}}$ 为非零元素。由于 $\sigma (x)$ 不为空，那么我们可以找到 $\lambda \in \mathbf {C}$ 使得 $\lambda 1-x$ 不可逆。但是，根据假设， $\lambda 1-x$ 是可逆的，除非 $\lambda 1=x$ 。 $\square$

令 ${\mathfrak {m}}$ 为 Banach 代数中的极大理想。（这样的 ${\mathfrak {m}}$ 通过抽象代数中涉及 Zorn 引理的常用论证存在）。由于 ${\mathfrak {m}}$ 的补集由可逆元素组成， ${\mathfrak {m}}$ 是闭合的。特别地， ${\mathcal {A}}/{\mathfrak {m}}$ 是带有通常商范数的 Banach 代数。根据以上推论，因此我们有同构

{\mathcal {A}}/{\mathfrak {m}}\simeq \mathbf {C}

实际上，还有更多内容成立。令 $\Delta ({\mathcal {A}})$ 为所有非零同胚映射 $\omega :{\mathcal {A}}\to \mathbf {C}$ 的集合。（ $\Delta ({\mathcal {A}})$ 的成员被称为特征。）

5 定理 $\Delta ({\mathcal {A}})$ 与 ${\mathcal {A}}$ 的所有极大理想的集合是一一对应的。

5 引理 令 $x\in {\mathcal {A}}$ . 那么 $x$ 可逆当且仅当对于所有的 $\omega \in \Delta ({\mathcal {A}})$ 有 $\omega (x)\neq 0$

5 定理 $\omega (x)=\omega ({\hat {x}})$

一个对合是反线性映射 $x\to x^{*}:A\to A$ ，使得 $x^{**}=x$ . 典型的例子是函数的复共轭和取线性算子的伴随操作。这些例子解释了为什么我们需要对合是反线性的。

现在，本章的研究重点。具有对合的巴拿赫代数被称为 C*-代数，如果它满足

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}

(C*-恒等式)

从 C*-恒等式可推出

\|x^{*}\|=\|x\|

,

因为 $\|x\|^{2}\leq \|x^{*}\|\|x\|$ ，以及将 $x^{*}$ 代替 $x$ 后的同理。特别是， $\|1\|=1$ (如果 $1$ 存在)。此外， $C^{*}$ -恒等式等价于条件： $\|x\|^{2}\leq \|x^{*}x\|$ ，因为这个条件和

\|x^{*}x\|\leq \|x^{*}\|\|x\|

意味着

\|x\|=\|x^{*}\|

，因此

\|x\|^{2}\leq \|x^{*}x\|\leq \|x\|^{2}

.

对于每个 $x\in {\mathcal {A}}$ ，令 $C^{*}(x)$ 为 $\{1,y_{1}y_{2}...y_{n}|y_{j}\in \{x,x^{*}\}\}$ 的线性跨度。换句话说， $C^{*}(x)$ 是包含 $x$ 的最小 C*-代数。关键在于 $C^{*}(x)$ 是可交换的。此外，

定理 令 $x\in {\mathcal {A}}$ 为正规的。则 $\sigma _{A}(x)=\sigma _{C^{*}(x)}(x)$

在 $C^{*}$ -代数 ${\mathcal {A}}$ 上的一个状态是一个正线性泛函 f，满足 $\|f\|=1$ （或等价地， $f(1)=1$ ）。由于 $S$ 是凸且闭的， $S$ 是弱-* 闭的。（这是定理 4.something）。由于 $S$ 包含在 ${\mathcal {A}}$ 的对偶空间的单位球中， $S$ 是弱-* 紧的。

5 定理 每个 C^*-代数 ${\mathcal {A}}$ 与 $C_{0}(X)$ *-同构，其中 $X$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的谱。

5 定理 如果 $C_{0}(X)$ 与 $C_{0}(Y)$ 同构，那么可以得出结论： $X$ 和 $Y$ 是同胚的。

3 引理 设 $T$ 是希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ 上的一个连续线性算子。那么 $TT^{*}=T^{*}T$ 当且仅当对于所有 $x\in {\mathcal {H}}$ ， $\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ 。

满足上述等价条件的连续线性算子被称为正规算子。例如，正交投影就是一个正规算子。有关更多示例和上述引理的证明，请参见w:正规算子。

3 引理 令 $N$ 为一个正规算子。如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $N$ 的不同特征值，那么 $\alpha$ 和 $\beta$ 的相应特征空间彼此正交。
证明：令 $I$ 为单位算子， $x,y$ 为 $\alpha ,\beta$ 的任意特征向量。由于 $\alpha I$ 的伴随算子是 ${\bar {\alpha }}I$ ，我们有

0=\|(N-\alpha I)x\|=\|(N-\alpha I)^{*}x\|=\|N^{*}x-{\bar {\alpha }}x\|

.

也就是说， $N^{*}x={\bar {\alpha }}x$ ，因此我们有

{\bar {\alpha }}\langle x,y\rangle =\langle N^{*}x,y\rangle =\langle x,Ny\rangle ={\bar {\beta }}\langle x,y\rangle

如果 $\langle x,y\rangle$ 不为零，则必须有 $\alpha =\beta$ 。 $\square$

5 练习 令 ${\mathcal {H}}$ 是一个具有正交基 $e_{1},e_{2},...$ 的希尔伯特空间， $x_{n}$ 是一个满足 $\|x_{n}\|\leq K$ 的序列。证明存在 $x_{n}$ 的一个子序列，该子序列弱收敛于某个 $x$ ，并且 $\|x\|\leq K$ 。（提示：由于 $\langle x_{n},e_{k}\rangle$ 有界，根据康托尔对角线法，我们可以找到一个序列 $x_{n_{k}}$ 使得 $\langle x_{n_{k}},e_{k}\rangle$ 对每个 $k$ 都是收敛的。）