交通信号灯 交通信号 是人们熟悉的交叉口控制方式之一。通过固定或自适应的信号调度，交通信号灯允许交叉口的部分区域通行，同时阻止其他区域通行，并通过一套彩色信号灯（通常为标准的红-黄（琥珀色）-绿灯格式）向驾驶员传递指令。交通信号的几个目的包括：（1）提高整体安全性，（2）减少通过交叉口的平均旅行时间，以及（3）使所有或大多数交通流的服务质量均衡。交通信号灯提供有序的交叉口交通通行，能够灵活应对交通流的变化，并可以优先处理某些交通流或车辆，例如紧急服务车辆。然而，它们可能会在非高峰时段增加延误，并增加某些事故的发生概率，例如追尾事故。此外，如果配置不当，可能会造成驾驶员烦躁。对于繁忙的交叉口，交通信号灯通常是一种被广泛接受的交通控制方式，并且仍在不断部署。其他交叉口控制策略包括标志（停车和让行）和环岛。车流量大的交叉口可以采用立交桥。
交通信号可以是预定时的、半感应的或全感应的。预定时的交叉口具有固定的循环周期。这易于实施，但在某些交叉口可能会导致过度延误。半感应交叉口在支路设有车辆探测器。当车辆在支路上接近时，探测器会收到信号，将信号灯转换为绿灯。在全感应交叉口中，所有路径都设有探测器。每个相位都有一个初始绿灯时间间隔，为正在通行的车辆提供通过交叉口的时间。如果路径上的探测器检测到有车辆通过交叉口，则这个初始时间将延长。如果在一定时间内没有车辆通过交叉口，信号灯将会改变。这被称为“间隙结束”。当绿灯时间达到最大限度后，即使还有车辆通过交叉口，信号灯也会改变。这被称为“最大限度结束”。
典型信号调度和交通流示意图，南北跨市（1929）摘自交通控制计划信号定时调度，1929 年 6 月 15 日。尝试“绿波”：市场上 8.5 英里/小时；50 瓦拉区：南北 10.5 英里/小时，东西 14.5 英里/小时；100 瓦拉区：南北 14.5 英里/小时，东西 20.5 英里/小时。 在某些路径被禁止通行的交叉口，排队现象不可避免。在各种排队模型中，D/D/1 排队模型是最常见和最简单的模型之一。该模型假设到达和离开是确定的 (D)，并且存在一个离开通道。D/D/1 模型非常直观，易于求解。使用这种形式的排队，到达率为 λ {\displaystyle \lambda } μ {\displaystyle \mu }
一个重要的信息是给定路径的排队持续时间。这个时间值可以通过以下公式计算：
t c = ρ r 1 − ρ {\displaystyle t_{c}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\rho r}{1-\rho }}\,\!}
其中
t c {\displaystyle t_{c}} ρ {\displaystyle \rho } r {\displaystyle r} 有了这个，就可以计算出各种与排队相关的比例。第一个是确定循环周期中出现排队的比例。
P q = r + t c C {\displaystyle P_{q}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {r{\rm {}}+{\rm {}}t_{c}}{C}}{\rm {}}\,\!}
其中
P q {\displaystyle P_{q}} C {\displaystyle C} 同样，可以计算出停止车辆的比例。
P s = λ ( r + t C ) λ ( r + g ) = r + t C C = P q {\displaystyle P_{s}={\frac {\lambda \left({r+t_{C}}\right)}{\lambda \left({r+g}\right)}}={\frac {r+t_{C}}{C}}=P_{q}\,\!}
P s = λ ( r + t C ) λ ( r + g ) = μ t C λ C = t C ρ C {\displaystyle P_{s}={\frac {\lambda \left({r+t_{C}}\right)}{\lambda \left({r+g}\right)}}={\frac {\mu t_{C}}{\lambda C}}={\frac {t_{C}}{\rho C}}\,\!}
其中
P s {\displaystyle P_{s}} g {\displaystyle g} 因此，可以找到队列中的最大车辆数。
Q max = λ r {\displaystyle Q_{\max }{\rm {}}={\rm {}}\lambda r\,\!}
已经提出了各种孤立交叉口交叉口延误模型，将排队论与各种到达率和放电时间的经验观察相结合（Webster 和 Cobbe 1966；Hurdle 1985；Hagen 和 Courage 1992）。干线上的交叉口是更复杂的现象，包括信号进展和相邻交叉口之间队列溢出等因素。延误分为两部分：均匀延误 ，这是如果到达模式均匀，将发生的延误；以及溢出延误 ，是由到达模式的随机变化引起的，当到达率超过交叉口服务流量一段时间时，就会出现这种延误。
了解到达率、离开率和红灯时间可以计算延误。从图形上看，总延误是所有队列在它们存在的期间的乘积。
D t = λ r 2 2 ( 1 − ρ ) {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda r^{2}}{2\left({1-\rho }\right)}}{\rm {}}\,\!}
类似地，可以计算每个周期的平均车辆延误。
d a v g = λ r 2 2 ( 1 − ρ ) 1 λ C {\displaystyle d_{avg}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda r^{2}{\rm {}}}{2\left({1-\rho }\right)}}{\frac {1}{\lambda C}}{\rm {}}\,\!}
d a v g = r 2 2 C ( 1 − ρ ) {\displaystyle d_{avg}{\rm {}}={\frac {r^{2}}{2C\left({1-\rho }\right)}}\,\!}
由此，可以找到任何车辆的最大延误。
d max = r {\displaystyle d_{\max }{\rm {}}={\rm {}}r\,\!}
为了评估信号化交叉口的性能，基于定量性能指标评估了一个称为服务水平 (LOS) 的定性评估。对于 LOS，使用的性能指标是每辆车的平均控制延误。确定 LOS 的一般程序是计算车道组容量、计算延误，然后进行判断。
车道组容量可以通过以下公式计算
c = s g C {\displaystyle c=s{\frac {g}{C}}\,\!}
其中
c {\displaystyle c} s {\displaystyle s} g {\displaystyle g} C {\displaystyle C} 因此，车辆平均控制延误可以通过将前面提到的各种延误类型加总来计算。
d = ( d 1 ( P F ) ) + d 2 + d 3 {\displaystyle d=(d_{1}(PF))+d_{2}+d_{3}\,\!}
如果您的交叉路口是 D/D/X： d = ( ( d 1 ( P F ) ) + d 3 {\displaystyle d=((d_{1}(PF))+d_{3}}
这是因为没有随机到达。
如果您的交叉路口是 M/D/X： d = ( d 1 ( P F ) ) + d 2 + d 3 {\displaystyle d=(d_{1}(PF))+d_{2}+d_{3}}
您可能认为由于交叉路口是 M/D/X，因此不会有确定性到达，但是，这是不正确的。d_1 可以被认为是交叉路口的基线。
其中
d {\displaystyle d} d 1 {\displaystyle d_{1}} D T {\displaystyle D_{T}} P F {\displaystyle PF} d 2 {\displaystyle d_{2}} d 3 {\displaystyle d_{3}} 均匀延误可以通过以下公式计算： d 1 = 0.5 C ( 1 − g C ) 2 1 − [ min ( 1 , X ) g C ] {\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}\,\!}
其中
X {\displaystyle X} 类似地，可以计算随机延误
d 2 = 900 T [ ( X − 1 ) + ( X − 1 ) 2 + 8 k I X c T ] {\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]\,\!}
其中
T {\displaystyle T} k {\displaystyle k} I {\displaystyle I} 溢出延时通常仅适用于人口稠密的城市走廊，因为在此情况下，排队车辆有时会溢出到前一个交叉路口。由于这种情况并不常见（通常是交叉路口时序不良、交通需求突然增加或紧急车辆经过区域所导致），因此在简单问题中通常不会考虑溢出延时。
可以针对特定方向或车道组的单个车辆计算延时。可以使用以下公式计算方向 A 上每辆车的平均延时。
d A = ∑ i d i v i ∑ i v i {\displaystyle d_{A}={\frac {\sum \limits _{i}{d_{i}v_{i}}}{\sum \limits _{i}{v_{i}}}}\,\!}
其中
d A {\displaystyle d_{A}} d i {\displaystyle d_{i}} v i {\displaystyle v_{i}} 然后可以计算整个交叉路口每辆车的平均延时。
d I = ∑ A d A v A ∑ A v A {\displaystyle d_{I}={\frac {\sum \limits _{A}{d_{A}v_{A}}}{\sum \limits _{A}{v_{A}}}}\,\!}
其中
d I {\displaystyle d_{I}} d A {\displaystyle d_{A}} v A {\displaystyle v_{A}} 对于车道组运动的任何组合，一个车道组将在特定相位期间决定必要的绿灯时间。这个车道组称为关键车道组。该车道组具有最高的交通强度（v/s），并且每个相位的绿灯时间的分配是基于该比率的。
关键车道组的流量比率之和可用于计算合适的循环周期长度。
Y c = ∑ i = 1 n ( v s ) c i {\displaystyle Y_{c}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({\frac {v}{s}}\right)}_{ci}\,\!}
其中
Y c {\displaystyle Y_{c}} ( v / s ) c i {\displaystyle (v/s)_{ci}} n {\displaystyle n} 类似地，循环周期的总损失时间也是循环周期长度计算中的一个要素。
L = ∑ i = 1 n ( t L ) c i {\displaystyle L=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({t_{L}}\right)_{ci}}\,\!}
其中
L {\displaystyle L} ( t L ) c i {\displaystyle (t_{L})_{ci}} 循环长度是通过将各个相位长度相加计算出来的。使用前面的公式作为辅助，可以很容易地计算出车道组流量和相位计划所需的最小循环长度。
C m i n = L ∗ X c X c − ∑ i = 1 n Y i {\displaystyle C_{min}={\frac {L*X_{c}}{{\rm {X}}_{\rm {c}}{\rm {-}}\sum \limits _{{\rm {i}}={\rm {1}}}^{\rm {n}}{\rm {Yi}}}}{\rm {}}\,\!}
其中
C m i n {\displaystyle C_{min}} X c {\displaystyle X_{c}} ( v / s ) c i {\displaystyle (v/s)_{ci}} n {\displaystyle n} 此等式计算出交叉口在可接受水平下运行所需的最小循环长度，但它不一定能使车辆平均延迟最小化。通常存在一个更优化的循环长度，可以使平均延迟最小化。Webster (1958) 提出了一个用于计算循环长度的等式，该等式旨在使车辆延迟最小化。下面列出了这个最佳循环长度公式。
C o p t = [ ( 1.5 L ) + 5 ] ( 1.0 − ∑ i = 1 n Y i ) {\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}\,\!}
其中
C o p t {\displaystyle C_{opt}} 确定循环长度后，下一步是确定分配给每个相位的绿灯时间。存在多种绿灯时间分配策略。其中一种较为流行的策略是将绿灯时间分配到关键车道组中，使 v/c 比率相等化。同样，也可以使用绿灯时间的预定值找到 v/c 比率。
X i = v i c i = v i s i ∗ g i / C = v i / s i g i / C {\displaystyle X_{i}={\frac {v_{i}}{c_{i}}}={\frac {v_{i}}{s_{i}*g_{i}/C}}={\frac {v_{i}/s_{i}}{g_{i}/C}}\,\!}
其中
X i {\displaystyle X_{i}} 了解循环长度、损失时间和 v/s 比率后，就可以找到交叉口的饱和度。
X c = ∑ v i s i C C − L {\displaystyle X_{c}=\sum {{\frac {v_{i}}{s_{i}}}{\frac {C}{C-L}}}\,\!}
其中
X c {\displaystyle X_{c}} 由此，可以计算出所有相位的总有效绿灯时间。
∑ g i = ∑ v i s i C X c = C − L {\displaystyle \sum {g_{i}}=\sum {{\frac {v_{i}}{s_{i}}}{\frac {C}{X_{c}}}}=C-L\,\!}
另一种计算给定循环的有效红灯和绿灯时间的方法是最小化路口的总延误。假设路口控制基于 D/D/1 排队，可以使用上述总延误方程。由于信号灯将包含至少两个或更多个方向，因此必须计算每个方向的总延误，然后将它们加在一起以确定路口的总延误。对于有两个方向的交通灯 a 和 b 的路口
D t = λ a r a 2 2 ( 1 − ρ a ) + λ b r b 2 2 ( 1 − ρ b ) {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda _{a}r_{a}^{2}}{2\left({1-\rho _{a}}\right)}}+{\rm {}}{\frac {\lambda _{b}r_{b}^{2}}{2\left({1-\rho _{b}}\right)}}{\rm {}}\,\!}
此外，有效红灯时间等于循环长度减去其他方向的有效绿灯时间。
C = r a + g a {\displaystyle C{\rm {}}=r_{a}+g_{a}{\rm {}}\,\!}
g a = r b {\displaystyle g_{a}{\rm {}}=r_{b}{\rm {}}\,\!}
将上述两个循环长度和有效红灯时间方程代入总延误方程，就可以用一个红灯时间变量来表示。
D t = λ a r a 2 2 ( 1 − ρ a ) + λ b ( C − r a ) 2 2 ( 1 − ρ b ) {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda _{a}r_{a}^{2}}{2\left({1-\rho _{a}}\right)}}+{\rm {}}{\frac {\lambda _{b}(C-r_{a})^{2}}{2\left({1-\rho _{b}}\right)}}{\rm {}}\,\!}
对上述方程求导并令其等于零，就可以计算出最小有效红灯时间。然后，可以使用上述两个包含循环长度的方程来计算其他方向的有效红灯时间和每个方向的有效绿灯时间。
问题 问题
一个预定信号灯控制的路口的一个进路，到达率为 0.1 veh/sec，饱和流量为 0.7 veh/sec。在一个 60 秒的循环中，给出了 20 秒的有效绿灯时间。假设 D/D/1 排队，对路口进行分析。
示例 解决方案
交通强度， ρ {\displaystyle \rho }
ρ = λ μ = 0.1 0.7 = 0.14 {\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {0.1}{0.7}}=0.14\,\!}
红灯时间为 40 秒（C - g = 60 - 20）。其余感兴趣的值很容易找到。
有效绿灯开始后排队清理时间
t c = ρ r 1 − ρ = 0.14 ( 40 ) 1 − 0.14 = 6.51 s {\displaystyle t_{c}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\rho r}{1-\rho }}={\frac {0.14(40)}{1-0.14}}=6.51\ s\,\!}
排队占循环比例
P q = r + t c C = 40 + 6.51 60 = 0.775 {\displaystyle P_{q}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {r{\rm {}}+{\rm {}}t_{c}}{C}}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {40{\rm {}}+{\rm {}}6.51}{60}}{\rm {}}=0.775\,\!}
车辆停止比例
P s = λ ( r + t C ) λ ( r + g ) = 0.1 ( 40 + 6.51 ) 0.1 ( 40 + 20 ) = 0.775 {\displaystyle P_{s}={\frac {\lambda \left({r+t_{C}}\right)}{\lambda \left({r+g}\right)}}={\frac {0.1\left({40+6.51}\right)}{0.1\left({40+20}\right)}}=0.775\,\!}
队列中车辆最大数量
Q max = λ r = 0.1 ( 40 ) = 4 {\displaystyle Q_{\max }{\rm {}}={\rm {}}\lambda r={\rm {}}0.1(40)=4\,\!}
每个循环的总车辆延误
D t = λ r 2 2 ( 1 − ρ ) = 0.1 ( 40 2 ) 2 ( 1 − 0.14 ) = 93 v e h − s {\displaystyle D_{t}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {\lambda r^{2}}{2\left({1-\rho }\right)}}{\rm {}}={\rm {}}{\frac {0.1(40^{2})}{2\left({1-0.14}\right)}}{\rm {}}=93veh-s\,\!}
每辆车的平均延误
d a v g = r 2 2 C ( 1 − ρ ) = ( 40 ) 2 2 ( 60 ) ( 1 − 0.14 ) = 15.5 s {\displaystyle d_{avg}{\rm {}}={\frac {r^{2}}{2C\left({1-\rho }\right)}}={\frac {(40)^{2}}{2(60)\left({1-0.14}\right)}}=15.5\ s\,\!}
任何车辆的最大延误
d max = r = 40 s {\displaystyle d_{\max }{\rm {}}={\rm {}}r={\rm {}}40\ s\,\!}
问题 问题
计算一个 60 秒循环周期的十字路口在特定条件下的平均进场延误，该十字路口有 20 秒的绿灯时间，v/c 比为 0.7，前进中性状态（PF=1.0），并且没有交叉口溢出延误（溢出延误）的可能性。假设交通流量考虑高峰 15 分钟期间，车道容量为 840 辆/小时，并且该十字路口是孤立的。
示例 解决方案
均匀延误
d 1 = 0.5 C ( 1 − g C ) 2 1 − [ min ( 1 , X ) g C ] = 0.5 ( 60 ) ( 1 − 20 60 ) 2 1 − [ min ( 1 , 0.7 ) 20 60 ] = 17.39 s {\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}={\frac {0.5(60)\left({1-{\frac {20}{60}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,0.7}\right){\frac {20}{60}}}\right]}}=17.39\ s\,\!}
随机延误
T = 0.25 {\displaystyle T=0.25\,\!}
X = 0.7 {\displaystyle X=0.7\,\!}
k = 0.5 {\displaystyle k=0.5\,\!}
I = 1.0 {\displaystyle I=1.0\,\!}
c = 840 {\displaystyle c=840\,\!}
d 2 = 900 T [ ( X − 1 ) + ( X − 1 ) 2 + 8 k I X c T ] = 900 ( 0.25 ) [ ( 0.7 − 1 ) + ( 0.7 − 1 ) 2 + 8 ( 0.5 ) ( 1 ) ( 0.7 ) 840 ( 0.25 ) ] = 4.83 s {\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]=900(0.25)\left[{\left({0.7-1}\right)+{\sqrt {\left({0.7-1}\right)^{2}+{\frac {8(0.5)(1)(0.7)}{840(0.25)}}}}}\right]=4.83\ s\,\!}
溢出延误
溢出延误为零，因为假设没有溢出。
d 3 = 0 {\displaystyle d_{3}=0\,\!}
总延误
d = d 1 ( P F ) + d 2 + d 3 = 17.39 ( 1 ) + 4.83 + 0 = 22.22 s {\displaystyle d=d_{1}(PF)+d_{2}+d_{3}=17.39(1)+4.83+0=22.22\ s\,\!}
平均总延误为 22.22 秒。
问题 问题
已知关键 v/c 比为 0.9，两个关键方向的 v/s 比为 0.3，损失时间为 15 秒，计算橡树街和华盛顿大道的交叉路口的最小和最佳循环长度。
示例 解决方案
最小循环长度
C m i n = L ∗ X c X c − ∑ i = 1 n Y i = 15 ∗ 0.9 [ 0.9 − ( 2 ( 0.3 ) ) ] = 45 s {\displaystyle C_{min}={\frac {L*X_{c}}{{\rm {X}}_{\rm {c}}{\rm {-}}\sum \limits _{{\rm {i}}={\rm {1}}}^{\rm {n}}{\rm {Yi}}}}{\rm {}}={\frac {15*0.9}{[0.9-(2(0.3))]}}=45\ s\,\!}
最佳循环长度
C o p t = [ ( 1.5 L ) + 5 ] ( 1.0 − ∑ i = 1 n Y i ) = 1.5 ( 15 ) + 5 1.0 − 2 ( 0.3 ) = 68.75 s {\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}={\frac {1.5(15)+5}{1.0-2(0.3)}}=68.75\ s\,\!}
最小循环长度为 45 秒，最佳循环长度为 68.75 秒。
问题
为什么信号交叉口不能比无信号交叉口运行得更有效率？
解决方案
每次信号变化带来的固有损失时间是浪费的时间，而在无信号交叉口不会出现这种浪费。这对西方世界来说可能很令人惊讶，因为那里有很多交通信号灯，但实际上有些交叉口在没有任何控制的情况下也能很好地运作。YouTube 上有一个著名的视频展示了印度的一个无信号交叉口，司机们在繁忙而混乱的环境中也能平稳高效地行驶。[ 1]
问题 (解决方案 )
作业
t c {\displaystyle t_{c}} ρ {\displaystyle \rho } r {\displaystyle r} P q {\displaystyle P_{q}} P s {\displaystyle P_{s}} c {\displaystyle c} s {\displaystyle s} g {\displaystyle g} C {\displaystyle C} d {\displaystyle d} d 1 {\displaystyle d_{1}} P F {\displaystyle PF} d 2 {\displaystyle d_{2}} d 3 {\displaystyle d_{3}} X {\displaystyle X} T {\displaystyle T} k {\displaystyle k} I {\displaystyle I} d A {\displaystyle d_{A}} d i {\displaystyle d_{i}} v i {\displaystyle v_{i}} d I {\displaystyle d_{I}} v A {\displaystyle v_{A}} Y c {\displaystyle Y_{c}} ( v / c ) c i {\displaystyle (v/c)_{ci}} n {\displaystyle n} C m i n {\displaystyle C_{min}} X c {\displaystyle X_{c}} ( v / s ) c i {\displaystyle (v/s)_{ci}} C o p t {\displaystyle C_{opt}} X i {\displaystyle X_{i}} X c {\displaystyle X_{c}} 延误
总延误
平均延误
均匀延误
随机延误
溢出延误
循环周期长度
v/c 比
v/s 比
饱和流量率
红灯时间
有效绿灯
最小循环长度
最佳循环长度
关键车道组
饱和度
前进调整因子
损失时间
排队 使用 STREET 网站 上的 GAME 软件了解如何协调交通信号以减少延误。
使用 STREET 网站 上的 OASIS 软件研究在给定有关时间相关车辆到达的信息时信号如何变化。
Hagen, Lawrence T. and Courage, Kenneth. (1992). “Comparison of Macroscopic Models for Signalized Intersection Analysis.” Transportation Research Record. 1225: 33-44.
Hurdle, V. F. (1982). “Signalized Intersections: A Primer for the Uninitiated.” Transportation Research Record 971:96-105.
Webster, F.V. (1958). Traffic Signal Settings. Road Research Technical Paper No. 39. London: Great Britain Road Research Laboratory.
Webster, F.V. and Cobbe, B. M. (1966). Traffic Signals. Road Research Technical Paper No. 56. HMSO London UK. 
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![{\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a1debf65437ab2b7240edaa3498eed59b73595)
![{\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d55f58926047a0c8a8efde50fe57cb57f98702)
![{\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5fb008a4ab0954cf160026ef7366e808e17d64)
![{\displaystyle d_{1}={\frac {0.5C\left({1-{\frac {g}{C}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,X}\right){\frac {g}{C}}}\right]}}={\frac {0.5(60)\left({1-{\frac {20}{60}}}\right)^{2}}{1-\left[{\min \left({1,0.7}\right){\frac {20}{60}}}\right]}}=17.39\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df3fae1546f2b52b1e5c441f0c7435d5451c9a)
![{\displaystyle d_{2}=900T\left[{\left({X-1}\right)+{\sqrt {\left({X-1}\right)^{2}+{\frac {8kIX}{cT}}}}}\right]=900(0.25)\left[{\left({0.7-1}\right)+{\sqrt {\left({0.7-1}\right)^{2}+{\frac {8(0.5)(1)(0.7)}{840(0.25)}}}}}\right]=4.83\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e91e58fdf3e777253e94a695de2c5b6c3bbf4f1)
![{\displaystyle C_{min}={\frac {L*X_{c}}{{\rm {X}}_{\rm {c}}{\rm {-}}\sum \limits _{{\rm {i}}={\rm {1}}}^{\rm {n}}{\rm {Yi}}}}{\rm {}}={\frac {15*0.9}{[0.9-(2(0.3))]}}=45\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379482f182dfb16c068a516d31dd22a8c49b40b6)
![{\displaystyle C_{opt}={\frac {\left[{\left({1.5L}\right)+5}\right]}{\left({1.0{\rm {}}-{\rm {}}\sum \limits _{i=1}^{n}{Y_{i}}}\right)}}{\rm {}}={\frac {1.5(15)+5}{1.0-2(0.3)}}=68.75\ s\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a98bb11a945e4d400e0c3be26c6d8c4c9da8cdb)
