一般工程介绍/误差分析/误差计算

误差在计算中像食物链中的毒素一样积累。例如，假设要使用尺子测量房间的宽度。假设每次尺子测量为 1 英尺 ± 0.1 英尺。假设房间大约 10 英尺宽。这将需要 10 次测量。每次测量都会有 0.1 英尺的误差。在测量 10 次时发生的累积误差将为 10*0.1 = 1 英尺或 10 英尺 ± 1 英尺。它可能介于 9 英尺和 11 英尺之间。卷尺可以更准确地测量相同房间的宽度。

本节的目的是展示如何计算所有方程式的误差累积。这最容易用微积分来完成，但本节的部分内容可以用代数甚至直觉来完成。

这是一个起点。这些技术应该产生诸如如何处理非对称误差？如果误差为负怎么办？这将导致未来的课程。以下技术预测最大、对称误差。仅此而已。未来的分析课程可以根据对实验或项目的更详细了解来减少误差。

使用的符号

• 自变量：x、t 和 z
• 因变量：y
• 误差：$\sigma$
• 常数：C

+-*/^ 触发函数

每个误差分析下面都附有证明。

乘以常数

如果 $y=C*x$，那么 ${\delta _{y}}=C*{\delta _{x}}$ 证明

加减

如果 $y=x+z$ 或 $y=x-z$，那么 $\delta _{y}={\sqrt {\delta _{x}^{2}+\delta _{z}^{2}}}$ 证明

乘除

如果 $y=x*z$，那么 $\delta _{y}={\sqrt {(z\delta _{x})^{2}+(x\delta _{z})^{2}}}$

如果 $y=x/z$，那么 $\delta _{y}={\sqrt {\left({\frac {\delta _{x}}{z}}\right)^{2}+\left({\frac {x\delta _{z}}{z^{2}}}\right)^{2}}}$ 证明

乘方

如果 $y=x^{C}$，那么 $\delta _{y}=C\delta _{x}x^{C-1}$ 证明

三角函数

如果 $y=cos(x)$，那么 $\delta _{y}=\delta _{x}*sin(x)$

如果 $y=sin(x)$，那么 $\delta _{y}=\delta _{x}*cos(x)$

如果 $y=tan(x)$，那么 $\delta _{y}={\frac {\delta _{x}}{(1+x^{2})}}$ *x 以弧度为单位*

一般情况下

一般情况下，需要使用 偏导数 ($\partial$)，这涉及到对每个项进行平方，然后开平方（参见 不确定度传播）。

如果 $y=f(x,t,z)$，那么 $\delta _{y}={\sqrt {\left(\delta _{x}{\frac {\partial f(x,t,z)}{\partial x}}\right)^{2}+\left(\delta _{t}{\frac {\partial f(x,t,z)}{\partial t}}\right)^{2}+\left(\delta _{z}{\frac {\partial f(x,t,z)}{\partial z}}\right)^{2}}}$

例如，假设 $x={\frac {1}{2\pi fc}}$，那么 $\delta _{x}={\sqrt {\left(\delta _{f}{\frac {\partial {\frac {1}{2\pi fc}}}{\partial f}}\right)^{2}+\left(\delta _{c}{\frac {\partial {\frac {1}{2\pi fc}}}{\partial c}}\right)^{2}}}$

计算微分

$\delta _{x}={\sqrt {\left(\delta _{f}{\frac {1}{2\pi f^{2}c}}\right)^{2}+\left(\delta _{c}{\frac {1}{2\pi fc^{2}}}\right)^{2}}}$

可以代入 $x={\frac {1}{2\pi fc}}$

$\delta _{x}={\sqrt {\left(\delta _{f}{\frac {x}{f}}\right)^{2}+\left(\delta _{c}{\frac {x}{c}}\right)^{2}}}$

除以 $x$ 将整个方程转换成最终的百分比形式

${\frac {\delta _{x}}{x}}={\sqrt {\left({\frac {\delta _{f}}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {\delta _{c}}{c}}\right)^{2}}}$

… 这并不完全是两次乘法误差

误差分析四舍五入

通常你的老师会选择要遵循的四舍五入规则。这些规则都没有告诉你应该四舍五入到哪一位或小数点后几位。误差分析会告诉你应该四舍五入到哪一位。

假设你的答案是 3.263 ± .2244。多余的数字让你感觉自己做了额外的工作。实际上，它们会让任何阅读你工作的工程师或科学家感到不安。多余的小数位是毫无意义的。不要以这种形式留下你的答案。没有办法对结果产生直觉。

误差决定了重要的十进制位。首先将误差四舍五入到一位数字。

.2244 → .2

这将设置答案需要四舍五入到的数字。在本例中

3.263 → 3.3

因此答案将是 3.3 ± .2