微积分/偏微分方程

一阶

任何形式为

$h_{1}{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+h_{2}{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\cdots +h_{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=b$

其中h₁，h₂ … h_n和b都是u和Rⁿ的函数，可以简化为一组常微分方程。

为了了解如何做到这一点，我们将首先考虑一些更简单的问题。

特殊情况

我们将从简单的 PDE 开始

$u_{z}(x,y,z)=u(x,y,z)\quad (1)$

因为u只对z进行微分，对于任何固定的x和y，我们可以将其视为 ODE，du/dz=u。该 ODE 的解为ce^z，其中c是z=0时u的值，对于固定的 x 和 y

因此，PDE 的解为

$u(x,y,z)=u(x,y,0)e^{z}$

我们没有简单的积分常数，而是有一个任意函数。这将适用于任何 PDE。

注意解的形状，xy平面中点的任意函数，该平面垂直于 'z' 轴，以及 'z' 方向上 ODE 的解。

现在考虑稍微复杂一些的 PDE

$a_{x}u_{x}+a_{y}u_{y}+a_{z}u_{z}=h(u)\quad (2)$

其中 h 可以是任何函数，每个a都是一个实常数。

我们认识到左侧是a·∇，因此该方程表示u在a方向上的微分是h(u)。将此与第一个方程进行比较表明，该解可以写成垂直于a的平面上任意函数与 ODE 解的组合。

从 微积分/向量 中记住，任何向量r都可以拆分为平行于和垂直于a的分量，

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}=\left(\mathbf {r} -{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |^{2}}}\right)+{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |^{2}}}$

我们将使用此来以 (1) 中的类比所暗示的方式拆分r的分量。

让我们写

$\mathbf {r} =(x,y,z)=\mathbf {r} _{\perp }+s\mathbf {a} \quad s={\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$

并将此代入 (2)，使用链式法则。因为我们只在 **a** 方向上微分，所以将垂直向量的任何函数加到 s 中不会有任何区别。

首先我们计算 grad s，用于链式法则，

$\nabla s={\frac {\mathbf {a} }{a^{2}}}$

代入 (2) 后，我们得到，

$h(u)=\mathbf {a} \cdot \nabla s{\frac {d}{ds}}u(s)={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}{\frac {d}{ds}}u(s)={\frac {du}{ds}}$

这是一个常微分方程，其解为

$s=c(\mathbf {r} _{\perp })+\int ^{u}{\frac {dt}{h(t)}}$

常数 c 可以取决于垂直分量，但不能取决于平行坐标。用 s 的单调标量函数替换 s 会使 ODE 乘以 s 的函数，这不会影响解。

示例

$u(x,t)_{x}=u(x,t)_{t}$

对于这个方程，**a** 是 (1, -1)，s=x-t，垂直向量是 (x+t)(1, 1)。简化的 ODE 为 du/ds=0，所以解为

u=f(x+t)

为了找到 f，我们需要 u 的初始条件。对初始条件有什么限制吗？

考虑，如果我们给定

• u(x,0)，这正是 f(x)，
• u(3t,t)，这是 f(4t) 并且 f(t) 立即得出
• u(t³+2t,t)，这是 f(t³+3t) 并且 f(t) 可以通过求解三次方程得到。
• u(-t,t)，那么这是 f(0)，所以如果给定的函数不是常数，我们就会出现不一致，如果它是常数，则解不会在初始线之外指定。

类似地，如果我们在任何与直线 x+t=c 仅相交一次并且没有与这些直线相切的曲线上给定 u，我们就可以推断出 f。

对于任何具有常系数的一阶偏微分方程，都将是如此。我们将有一组平行于 r=at 的直线，沿着这些直线，解可以通过在某个曲面上进行积分来得到，该曲面是直线不与之相切的曲面。

如果我们看看它是如何工作的，我们会发现我们实际上没有使用 **a** 的常数性，所以让我们放弃这个假设，看看是否存在类似的解。

要点是解的形式为 u=f(x(s),y(s))，其中 (x(s),y(s)) 是我们沿着其进行积分的曲线——在前面的情况中是一条直线。我们可以将积分的常数函数加到 s 中，而不会改变这种形式。

考虑一个偏微分方程，

$a(x,y)u_{x}+b(x,y)u_{y}=c(x,y,u)$

对于建议的解，u=f(x(s),y(s))，链式法则给出

${\frac {du}{ds}}={\frac {dx}{ds}}u_{x}+{\frac {dy}{ds}}u_{y}$

然后比较系数得到

${\frac {dx}{ds}}=a(x,y)\quad {\frac {dy}{ds}}=b(x,y)\quad {\frac {du}{ds}}=c(x,y,u)$

所以我们将原来的偏微分方程简化为一组联立常微分方程。这个过程可以反转。

曲线 (x(s),y(s)) 称为该方程的 *特征*。

示例：求解 $yu_{x}=xu_{y}$，已知u=f(x) 对于 x≥0，这个常微分方程是

${\frac {dx}{ds}}=y\quad {\frac {dy}{ds}}=-x\quad {\frac {du}{ds}}=0$

在s=0处满足初始条件：

$x(0)=r\quad y(0)=0\quad u(0)=f(r)\quad r\geq 0$

这个常微分方程很容易求解，得到

$x(s)=r\cos s\quad y(s)=r\sin s\quad u(s)=f(r)$

所以特征线是围绕原点的同心圆，在极坐标中，u(r,θ)=f(r)

考虑到这种方法的逻辑，我们看到a和b与u的无关性并没有被用到，所以这个假设也可以被放弃，从而得到这种拟线性形式方程的通用方法。

拟线性

总结上一节的结论，要解一个偏微分方程

$a_{1}(u,\mathbf {x} ){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+a_{2}(u,\mathbf {x} ){\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\cdots +a_{n}(u,\mathbf {x} ){\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=b(u,\mathbf {x} )$

在曲面上满足初始条件： (x₁(r₁,…,r_n-1, …x_n(r₁,…,r_n-1), u=f(r₁,…,r_n-1) -- 这是初始曲面的任意参数化 --

• 我们将方程转化为等价的常微分方程组，

${\frac {dx_{1}}{ds}}=a_{1}\ \ldots \ {\frac {dx_{n}}{ds}}=a_{n}\quad {\frac {du}{ds}}=b$

满足初始条件

$x_{i}(0)=f(r_{1},\ldots ,r_{n-1})\quad u=f(r_{1},r_{2},\ldots r_{n-1})$

• 求解常微分方程组，得到x_i关于s和r_i的函数关系。
• 反解得到s和r_i关于x_i的函数关系。
• 将这些反函数代入第二步得到的u关于s和r_i的表达式中。

第二步和第三步都可能很麻烦。

常微分方程组通常是非线性的，没有解析解。甚至可能比直接处理偏微分方程更容易。

在第三步中，r_i和s一起构成一个适用于偏微分方程的坐标系。只有当变换到笛卡尔坐标系的雅可比矩阵不为零时，我们才能进行反解。

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial r_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial r_{n-1}}}&a_{1}\\\vdots &\ddots &&\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial r_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}}{\partial r_{n-1}}}&a_{n}\end{vmatrix}}\neq 0$

这等价于说向量 (a₁, &hellip:, a_n) 从未在常数s曲面的切平面上。

如果当s=0时，这个条件不为假，当积分方程时，它可能变得为假。 我们很快就会考虑处理由此产生的问题的方法。

即使在技术上可以反转代数方程，但这样做显然很不方便。

示例

为了了解如何在实践中实现这一点，我们将
a/ 考虑 PDE，

$uu_{x}+u_{y}+u_{t}=0$

带有通用的初始条件，

$u=f(x,y){\mbox{ on }}t=0$

为了方便以后使用，给变量命名，相应的 ODE 为

${\frac {dx}{d\tau }}=u\quad {\frac {dy}{d\tau }}=1\quad {\frac {dt}{d\tau }}=1\quad {\frac {du}{d\tau }}=0\quad$

服从 τ=0 时的初始条件

$x=r\quad y=s\quad t=0\quad u=f(r,s)$

这些 ODE 很容易求解，得到

$x=r+f(r,s)\tau \quad y=s+\tau \quad t=\tau \quad u=f(r,s)$

这些是一组直线的参数方程，即特征线。

该坐标变换的雅可比矩阵的行列式为

${\begin{vmatrix}1+\tau {\frac {\partial f}{\partial r}}&\tau {\frac {\partial f}{\partial s}}&f\\0&1&1\\0&0&1\end{vmatrix}}=1+\tau {\frac {\partial f}{\partial r}}$

当t=0时，该行列式为 1，但如果f_r 存在负值，该行列式最终将为零，该解失效。

在这种情况下，失效是因为表面$sf_{r}=-1$ 是特征线的包络面。

对于任意f，我们可以反转变换并获得u 的隐式表达式

$u=f(x-tu,y-x)$

如果f 已知，则可以求解u。

1/ $f(x,y)=ax$，隐式解为

$u=a(x-tu)\Rightarrow u={\frac {ax}{1+at}}$

这是u-x平面上的直线，随着t的增大而顺时针旋转。如果a为负数，这条直线最终会变为垂直线。如果a为正数，这条直线会趋近于u=0，并且该解对所有t都成立。

对于f(x,y)=x² 隐式解为

$u=(x-tu)^{2}\Rightarrow u={\frac {1+2tx-{\sqrt {1+4tx}}}{2t^{2}}}$

当$1+4tx<0$时，该解显然失效，此时正好是$sf_{r}=-1$。对于任何t > 0，都会发生这种情况。随着t的增大，失效点会向原点移动。

注意，u=0的点保持固定。对于该方程的所有解，对于f的所有值，情况都是如此。

我们将在后面看到，如果我们考虑不连续解，我们可以在此时间之后找到解。我们可以将其视为冲击波。

3/ $f(x,y)=\sin(xy)$
隐式解为

$u(x,y,t)=\sin \left((x-tu)(y-x)\right)$

我们无法显式地求解u。我们能做的最好的就是对该方程进行数值解。

我们还可以考虑与之密切相关的偏微分方程

$uu_{x}+u_{y}+u_{t}=y$

相应的常微分方程组为

${\frac {dx}{d\tau }}=u\quad {\frac {dy}{d\tau }}=1\quad {\frac {dz}{d\tau }}=1\quad {\frac {du}{d\tau }}=y\quad$

服从 τ=0 时的初始条件

$x=r\quad y=s\quad t=0\quad u=f(r,s)$

这些 ODE 很容易求解，得到

$x=r+\tau f+{\frac {1}{2}}s\tau ^{2}+{\frac {1}{6}}\tau ^{3}\quad y=s+\tau \quad t=\tau \quad u=f+s\tau +{\frac {1}{2}}\tau ^{2}$

将f用u、s和τ表示，然后代入x的方程，得到隐式解

$u(x,y,t)=f(x-ut+{\frac {1}{2}}yt^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3},y-t)+yt-{\frac {1}{2}}t^{2}$

在某些特殊情况下，可以求解u，但通常情况下我们只能对该方程进行数值解。然而，我们可以从进一步的分析中了解解的全局属性。

特征初值问题

如果初始条件是在特征曲线上给出的，在特征曲线的包络线上给出的，还是在具有孤立特征切点的曲面上给出的呢？

不连续解

到目前为止，我们只考虑了偏微分方程的光滑解，但这过于限制。我们可能会遇到非光滑的初始条件，例如：

$u_{t}=cu_{x}\quad u(x,0)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.$

如果我们只是简单地对光滑初始条件使用该方程的通解，

$u(x,t)=u(x+ct,0)\,$

我们会得到

$u(x,t)=\left\{{\begin{matrix}1,&x+ct\geq 0\\0,&x+ct<0\end{matrix}}\right.$

这似乎是原始方程的解。然而，由于偏微分在特征线x+ct=0 上是未定义的，因此在这一点上说方程成立的含义变得不清楚。

我们需要进一步调查，首先考虑可能的间断类型。

如果我们看一下上面的推导，我们会发现我们从未使用过任何二阶或更高阶导数，因此它们是否连续并不重要，上面的结果仍然适用。

下一个最简单的例子是函数是连续的，但一阶导数不连续，例如|x|。我们最初将自己限制在二维情况下，u(x, t) 对应于一般方程。

$a(x,t)u_{x}+b(x,t)u_{t}=c(u,x,t)\quad (1)$

通常，间断不局限于单点，而是由某条曲线上的所有点共享，(x₀(s), t₀(s) )

然后我们有

${\begin{matrix}x>x_{0}&\lim _{x\rightarrow x_{0}}=u_{+}\\x<x_{0}&\lim _{x\rightarrow x_{0}}=u_{-}\end{matrix}}$

然后我们可以比较这条曲线两侧的u 及其导数。

给间断处的跳跃 命名将很有用。我们说

$[u]=u_{+}-u_{-}\quad [u_{x}]=u_{x+}-u_{x-}\quad [u_{t}]=u_{t+}-u_{t-}$

现在，由于方程 (1) 在间断的双方都成立，我们可以看到u₊ 和u_- 作为解的极限，本身必须满足方程。也就是说，

${\begin{matrix}a(x,t)u_{+x}+b(x,t)u_{+t}&=&c(u_{+},x,t)\\a(x,t)u_{-x}+b(x,t)u_{-t}&=&c(u_{-},x,t)\end{matrix}}{\mbox{ where }}{\begin{matrix}x=x_{0}(s)\\t=t_{0}(s)\end{matrix}}$

减去它们就得到了一个关于微分跳跃的方程

$a(x,t)[u_{x}]+b(x,t)[u_{t}]=0\,$

我们正在考虑u 本身是连续的情况，因此我们知道 [u]=0。对它关于s 求导将得到一个关于微分跳跃的第二个方程。

${\frac {dx_{0}}{ds}}[u_{x}]+{\frac {dt_{0}}{ds}}[u_{t}]=0$

最后两个方程只有在其中一个为另一个的倍数时才能同时成立，但将 *s* 乘以一个常数也会将第二个方程乘以相同的常数，同时保持间断曲线不变，因此我们可以在不失一般性的情况下定义 *s* 为：

${\frac {dx_{0}}{ds}}=a\quad {\frac {dt_{0}}{ds}}=b$

但这些是特征方程，即**间断沿特征传播。**我们可以使用此属性作为特征的另一种定义。

我们可以通过首先将方程写成*守恒形式*来处理间断函数，之所以这样称呼，是因为守恒定律总是可以写成这种形式。

$(au)_{x}+(bu)_{t}=a_{x}u+b_{t}u+c\quad (1)$

注意，左侧可以看作是 ( *au* , *bu* ) 的散度。将方程写成这种形式使我们能够使用矢量微积分的定理。

考虑一个窄条，其边平行于间断，宽度为 *h*

我们可以将 (1) 的两边在 R 上积分，得到

$\int _{R}(au)_{x}+(bu)_{t}\,dxdt=\int _{R}(a_{x}+b_{t})u+c\,dxdt$

接下来，我们使用格林定理将左侧转换为线积分。

$\oint _{\partial R}audt-budx=\int _{R}(a_{x}+b_{t})u+c\,dxdt$

现在我们让条带的宽度降至零。右侧也趋于零，但左侧简化为沿 R 边界平行于曲线的两部分的两个积分之间的差值。

$\int au_{+}dt-bu_{+}dx-\int au_{-}dt-bu_{-}dx=0$

沿 R 的相对边的积分符号不同，因为它们的方向相反。

为了使最后一个方程始终成立，被积函数必须始终为零，即

$\left(a{\frac {dt_{0}}{ds}}-b{\frac {dx_{0}}{ds}}\right)[u]=0$

由于假设 [ *u* ] 不为零，因此另一个因子必须为零，这立即意味着间断曲线是特征。

再一次，*间断沿特征传播。*

上面，我们只考虑了两个变量的函数，但将其扩展到 *n* 个变量的函数很简单。

初始条件在 *n* -1 维曲面上给出，该曲面沿着特征演化。初始条件中的典型间断将位于嵌入初始曲面内的 *n* -2 维曲面上。该间断曲面将沿着穿过初始间断的特征传播。

跳跃本身服从常微分方程，就像 *u* 本身在特征上一样。在二维情况下，对于连续但不平滑的 *u*，一些代数运算表明

${\frac {d[u_{x}]}{ds}}=[u_{x}]\left({\frac {\partial c}{\partial u}}+a{\frac {b_{x}}{b}}-a_{x}\right)$

而 *u* 遵循与之前相同的方程，

${\frac {du}{ds}}=c$

我们可以对这些方程进行积分，以查看不连续性如何随着我们沿特征线移动而演变。

我们可能会发现，对于未来某个 *s*，[ *u*_*x* ] 会穿过零。在这样的点，不连续性就消失了，从那时起，我们可以将该函数视为该特征线上平滑的。

反之，我们可以预期平滑函数在适当的条件下会变得不连续。

为了实际了解这一切是如何运作的，我们将考虑以下方程的解

$u_{t}+uu_{x}=0\quad u(x,0)=f(x)$

用于三个不同的初始条件。

使用前面概述的技术，一般解为

$u=f(x-tu)\,\!$

*u* 在特征线上是常数，特征线是直线，其斜率取决于 *u*。

首先考虑 *f* 使得

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&x>a\\{\frac {x}{a}}&a\geq x>0\\0&x\leq 0\end{matrix}}\right.\quad a>0$

虽然 *u* 是连续的，但它的导数在 *x*=0（其中 *u*=0）和 *x*=a（其中 *u*=1）处是不连续的。穿过这些点的特征线将解划分为三个区域。

所有位于穿过 *x*=a、*t*=0 的特征线右侧的特征线都与 *x* 轴的交点位于 *x*=1 右侧，其中 *u*=1，所以 *u* 在所有这些特征线上都为 1，即当且仅当 *x*-*t*>a 时。

类似地，穿过原点的特征线是直线 *x*=0，在其左侧，*u* 保持为零。

我们可以通过以下两种方法之一找到位于这两个特征线之间的某个点的 *u* 值：找到它所在的中间特征线，并将其追溯到初始线，或者通过一般解。

无论哪种方式，我们都会得到

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&x-t>a\\{\frac {x}{a+t}}&a+t\geq x>0\\0&x\leq 0\end{matrix}}\right.$

在较大的 *t* 处，解 *u* 比在 *t*=0 处分布得更广，但仍然具有相同的形状。

我们还可以考虑当 *a* 趋于 0 时会发生什么，这样 *u* 本身在 *x*=0 处是不连续的。

如果我们将 PDE 写成守恒形式，然后使用格林定理，正如我们在线性情况下所做的那样，我们会得到

$[u]{\frac {dx_{0}}{ds}}={\frac {1}{2}}[u^{2}]{\frac {dt_{0}}{ds}}$

[ *u*² ] 是两个平方差，所以如果我们取 *s*=*t*，我们会得到

${\frac {dx_{0}}{dt}}={\frac {1}{2}}(u_{-}+u_{+})$

在这种情况下，不连续性的行为就像它上的 *u* 值是两侧极限值的平均值一样。

但是，有一个注意事项。

由于左侧的极限值为 *u*_-，因此不连续性必须位于该特征线上，类似地，对于 *u*₊ 也是如此；即 *跳跃不连续性必须位于特征线的交点上*，在该点上，*u* 否则将是多值的。

对于这个 PDE，特征线只有在以下情况下才能在不连续性上相交

$u_{-}>u_{+}\,$

如果这不是真的，不连续性就不能传播。必须发生其他事情。

极限 *a*=0 是跳跃不连续性的一个例子，对于该例子，此条件不成立，因此我们可以通过研究它来了解在这种情况下会发生什么。

对上面推导出的解取极限得到

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&x>t\\{\frac {x}{t}}&t\geq x>0\\0&x\leq 0\end{matrix}}\right.$

如果我们取任何其他趋于相同极限的初始条件序列的极限，我们将得到一个微不足道的等价结果。

观察这个解的特征，我们看到在u取0到1之间所有值的跳跃不连续特征上，所有特征都相交。

在稍后的时间，有两个斜率不连续，在x=0和x=t处，但没有跳跃不连续。

这种行为在这种情况下是典型的。跳跃不连续变成一对斜率不连续，解在它们之间取所有适当的值。

现在，让我们考虑具有以下初始条件的相同方程

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&x\leq 0\\1-{\frac {x}{a}}&a\geq x>0\\0&x>a\end{matrix}}\right.\quad a>0$

它在x=0和x=a处有斜率不连续，将解分成三个区域。

这些区域之间的边界由穿过这些初始点的特征给出，即两条线

$x=t\quad x=a$

这些特征在t=a处相交，因此解的性质必须在此时发生变化。

在这两个不连续之间，穿过t=0处的x=b的特征显然是

$x=\left(1-{\frac {b}{a}}\right)t+b\quad 0\leq b\leq a$

所有这些特征都在同一点 (x,t)=(a,a) 相交。

我们可以使用这些特征或一般解来写出t<a时的u

$u(x,t)=\left\{{\begin{matrix}1&x\leq t\\{\frac {a-x}{a-t}}&a\geq x>t\\0&x>a\end{matrix}}\right.\quad a>t\geq 0$

当t趋于a时，它变成一个阶跃函数。由于u在不连续左侧比右侧大，因此它满足上面推导的传播条件，所以对于t>a，u是一个以两侧平均速度移动的阶跃函数。

$u(x,t)=\left\{{\begin{matrix}1&x\leq {\frac {a+t}{2}}\\0&x>{\frac {a+t}{2}}\end{matrix}}\right.\quad t\geq a\geq 0$

这与我们之前考虑的初始条件相反，两个斜率不连续合并成一个阶跃不连续，而不是反过来。实际发生的情况完全取决于初始条件。事实上，可以给出既有合并又有分裂的例子。

在上面的两个例子中，我们从一个不连续开始，研究它如何演变。对于最初是光滑的解也可能出现不连续。

例如，我们之前看到对于这个特定的偏微分方程，具有初始条件u=x²的解在2xt+1=0时崩溃。在这些点，解变得不连续。

通常，任何偏微分方程的解中的不连续性（不仅仅是一阶的）都是以这种方式出现的，当解以这种方式崩溃并以类似的方式传播时，就会合并和分裂。

完全非线性偏微分方程

可以扩展前几节的方法，将任何形式的方程

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},u_{x_{2}},\ldots ,u_{x_{n}})=0$

简化为一组常微分方程，适用于任何函数F。

我们在这里不证明，但相应的ODE是

${\frac {dx_{i}}{d\tau }}={\frac {\partial F}{\partial u_{i}}}\quad {\frac {du_{i}}{d\tau }}=-\left({\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}+u_{i}{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)\quad {\frac {du}{d\tau }}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial F}{\partial u_{i}}}$

如果u在由r₁…r_n参数化的曲面上给出，那么我们有，和之前一样，在n个x_i上n个初始条件

$\tau =0\quad x_{i}=f_{i}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n-1})$

由参数化给出，以及u本身的一个初始条件

$\tau =0\quad u=f(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n-1})$

但是，因为我们有n个关于u_i的额外ODE，我们需要额外的n个初始条件。

这些是，n-1个一致性条件

$\tau =0\quad {\frac {\partial f}{\partial r_{i}}}=\sum _{j=1}^{n-1}u_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial r_{j}}}$

它们指出u_i是u在初始曲面上的偏导数，以及一个初始条件

$\tau =0\quad F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},u,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})=0$

说明PDE本身在初始曲面上成立。

这些关于u_i的n个初始条件将是一组代数方程，它们可能有多个解。每个解将给出PDE的不同解。

示例

考虑

$u_{t}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2},\quad u(x,y,0)=x^{2}+y^{2}$

τ=0时的初始条件是

${\begin{matrix}x=r&y=s&t=0&u=r^{2}+s^{2}\\u_{x}=2r&u_{y}=2s&u_{t}=4(r^{2}+s^{2})&\end{matrix}}$

ODE是

${\begin{matrix}{\frac {dx}{d\tau }}=-2u_{x}&{\frac {dy}{d\tau }}=-2u_{y}&{\frac {dt}{d\tau }}=1&{\frac {du}{d\tau }}=u_{t}-2(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})\\{\frac {du_{x}}{d\tau }}=0&{\frac {du_{y}}{d\tau }}=0&{\frac {du_{t}}{d\tau }}=0&\end{matrix}}$

请注意，偏导数在特征线上是常数。当 PDE 只包含偏导数时，这总是会发生，从而简化了过程。

这些方程很容易解出，得到

$x=r(1-4\tau )\quad y=s(1-4\tau )\quad t=\tau \quad u=(r^{2}+s^{2})(1-4\tau )$

消去参数，得到解：

$u={\frac {x^{2}+y^{2}}{1-4t}}$

这很容易验证。abc

二阶

假设我们给定一个二阶线性 PDE 来求解

$a(x,y)u_{xx}+b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}=d(x,y)u_{x}+e(x,y)u_{y}+p(x,y)u+q(x,y)\quad (1)$

根据我们对常微分方程和简单代数方程的经验，自然的方法是尝试分解。让我们看看这将如何引导我们。

我们希望将 (1) 的左侧分解，得到一个等价的形式：

$a(x,y)(D_{x}+\alpha _{+}(x,y)D_{y})(D_{x}+\alpha _{-}(x,y)D_{y})u\,$

我们立即可以除以 *a*。这表明这些特殊的一阶导数组合将扮演特殊的角色。

现在，在研究一阶 PDE 时，我们看到这些组合等效于沿特征曲线的导数。实际上，我们改变了由特征曲线和初始曲线定义的坐标系。

这里，我们有两组一阶导数组合，每个组合都可能定义一条不同的特征曲线。如果是这样，两组特征曲线将定义问题的自然坐标系，就像一阶情况一样。

在新坐标中，我们将有

$D_{x}+\alpha _{+}(x,y)D_{y}=D_{r}\quad D_{x}+\alpha _{-}(x,y)D_{y}=D_{s}$

每个因子都变成了沿其各自特征曲线的微分，左侧将简单地变为 *u*_*rs*，给我们一个形式的方程：

$u_{rs}=A(r,s)u_{r}+B(r,s)u_{s}+C(r,s)u+D(r,s)\,$

如果 A、B 和 C 都恰好为零，则解是显而易见的。如果不是，我们可以希望左侧较简单的形式能让我们取得进展。

但是，在我们能做到这一切之前，我们必须看看 (1) 是否真的可以分解。

展开因子得到

$u_{xx}+{\frac {b(x,y)}{a(x,y)}}u_{xy}+{\frac {c(x,y)}{a(x,y)}}u_{yy}=u_{xx}+(\alpha _{+}+\alpha _{-})u_{xy}+\alpha _{+}\alpha _{-}u_{yy}$

比较系数，并解出 α，我们可以看到它们是以下二次方程的根

$a(x,y)\alpha ^{2}+b(x,y)\alpha +c(x,y)=0\,$

由于我们正在讨论实函数，我们只对实根感兴趣，因此所需分解的存在与否将取决于此二次方程的判别式。

• ${\mbox{If }}b(x,y)^{2}>4a(x,y)c(x,y)$

那么我们有两个因子，可以按照上面概述的程序进行操作。像这样的方程被称为双曲

• ${\mbox{If }}b(x,y)^{2}=4a(x,y)c(x,y)$

那么我们只有一个因子，给我们一个特征曲线。使用这些曲线的距离作为其中一个坐标将很自然，但是第二个坐标必须由其他因素决定。

与之前相同的论证表明，以这种方式使用特征曲线会产生一个形式为 u_rr 的二阶项，其中我们只对两个坐标中的一个进行了二阶导数。像这样的方程被称为抛物线

• ${\mbox{If }}b(x,y)^{2}<4a(x,y)c(x,y)$

那么我们没有实因子。在这种情况下，我们所能做的就是将二阶项简化为满足此不等式的最简单形式，即 u_rr+u_ss

可以证明，这种简化始终是可能的。像这样的方程被称为椭圆

可以证明，与一阶偏微分方程一样，间断沿着特征传播。由于椭圆方程没有实特征，这意味着它们可能具有的任何间断都将被限制在孤立点；也就是说，解在几乎所有地方都是光滑的。

这对双曲线方程并不适用。它们的行为在很大程度上受其特征曲线的形状控制。

这些差异意味着需要不同的方法来研究三种类型的二阶方程。幸运的是，根据上述分解进行变量变化使我们能够将任何二阶偏微分方程简化为二阶项系数为常数的方程，这意味着只需要考虑三个标准方程。

$u_{xx}+u_{yy}=0\quad u_{xx}-u_{yy}=0\quad u_{xx}-u_{y}=0$

我们也可以考虑这些方程右侧是给定函数的情况，或者与 u 或其一阶导数之一成比例的情况，但所有关于双曲线、抛物线和椭圆方程的基本属性都由这三个标准形式证明。

虽然我们只演示了二维的简化，但类似的简化适用于更高维度，导致类似的分类。我们得到，作为二阶项的简化形式，

$a_{1}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+a_{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}$

其中每个 a_i 都等于 0、+1 或 -1。

如果所有 的 a_i 具有相同符号，则该方程为椭圆形

如果任何 a_i 为零，则该方程为抛物线形

如果恰好一个 a_i 的符号与其他符号相反，则该方程为双曲线形

在 2 维或 3 维中，这些是唯一的可能性，但在 4 维或更高维中，还有第四种可能性：至少两个 a_i 为正，并且至少两个 a_i 为负。

这类方程被称为超双曲线形。它们不像其他三种类型那样常见，因此在此不会进行研究。

当系数不为常数时，方程在 xy 平面的某些区域可能是双曲线形的，而在其他区域可能是椭圆形的。如果是这样，则必须在两个区域中使用不同的方法来求解。

椭圆形

标准形式，拉普拉斯方程

$\nabla ^{2}h=0$

用球坐标系和柱坐标系表示方程，并给出笛卡尔坐标系和柱坐标系的完整解。注意平均属性。评论物理意义，拉普拉斯算子的旋转不变性。

双曲线形

标准形式，波动方程

$\nabla ^{2}h=c^{2}h_{tt}$

解，任何形式为以下函数之和的函数

$h=f(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)\quad \omega =|\mathbf {k} |c$

这些是波。与分离变量的解进行比较。依赖域等。

抛物线形

典型的抛物线形方程是扩散方程

$\nabla ^{2}h=h_{t}$

这里，我们将考虑一维情况下的一些简单解。

该方程的性质在许多方面介于双曲线形方程和椭圆形方程之间。

与双曲线形方程一样，但与椭圆形方程不同，如果在初始曲面 t=0 上给定值，则解表现良好。

但是，该方程的特征曲面是常数 t 的曲面，因此没有办法使不连续性传播到正 t。

因此，与椭圆形方程一样，但与双曲线形方程不同，即使初始条件不连续，解通常也是平滑的。

此外，在 h 的局部最大值处，其拉普拉斯算子为负，因此 h 随 t 递减，而在局部最小值处，拉普拉斯算子为正，h 将随 t 递增。因此，h 的初始变化将随着 t 的增大而平滑。

在一维中，我们可以通过对两边进行积分来了解更多信息

${\begin{matrix}\int _{-a}^{b}h_{t}dt&=&\int _{-a}^{b}h_{xx}dx\\{\frac {d}{dt}}\int _{-a}^{b}h\,dt&=&\left[h_{x}\right]_{-a}^{b}\end{matrix}}$

只要 h_x 对于较大的 x 趋于零，我们就可以在 a 和 b 趋于无穷大的情况下取极限，推导出

${\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }h\,dt$

因此，h 在整个空间上的积分是常数。

这意味着该偏微分方程可以被认为是描述某种守恒量，该守恒量最初是集中的，但会随着时间的推移而扩散或扩散。

最后的结果可以使用向量微积分的定理扩展到两个或多个维度。

我们还可以对任何解关于任何坐标进行微分以获得另一个解。例如，如果 h 是一个解，那么

$\nabla ^{2}h_{x}=\partial _{x}\nabla ^{2}h=\partial _{x}\partial _{t}h=\partial _{t}h_{x}$

因此，h_x 也满足扩散方程。

相似解

观察这个方程，我们可能会注意到，如果我们进行变量替换

$r=\alpha x\quad \tau =\alpha ^{2}t$

那么这个方程将保持相同的形式。这表明变量x²/t 的组合可能很重要，因为这个组合不受变量变化的影响。

因此，我们假设这个方程有一个特殊形式的解

$h(x,t)=f(\eta ){\mbox{ where }}\eta ={\frac {x}{t^{1 \over 2}}}$

那么

$h_{x}=\eta _{x}f_{\eta }=t^{-{1 \over 2}}f_{\eta }\quad h_{t}=\eta _{t}f_{\eta }=-{\frac {\eta }{2t}}f_{\eta }$

并将它们代入扩散方程，最终得到

$f_{\eta \eta }+{\frac {\eta }{2}}f_{\eta }=0$

这是一个常微分方程。

积分一次得到

$f_{\eta }=Ae^{-{\frac {\eta ^{2}}{4}}}$

回到h，我们发现

${\begin{matrix}h_{x}&=&{\frac {A}{\sqrt {t}}}e^{-{\frac {\eta ^{2}}{4}}}\\h&=&{\frac {A}{\sqrt {t}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-s^{2}/4t}ds+B\\&=&A\int _{-\infty }^{x/2{\sqrt {t}}}e^{-z^{2}}dz+B\end{matrix}}$

最后一个积分无法用基本函数表示，但它的值是众所周知的。

特别是，h 在无穷远处的极限值为

$h(-\infty ,t)=B\quad h(\infty ,t)=B+A{\sqrt {\pi }},$

当t 趋于零时取极限得到

$h=\left\{{\begin{matrix}B&x<0\\B+A{\sqrt {\pi }}&x>0\end{matrix}}\right.$

我们可以看到，初始的不连续性被立即平滑掉了。以后时刻的解保持相同的形状，但更加伸展。

这个解关于x 的导数为

$h_{x}={\frac {A}{\sqrt {t}}}e^{-x^{2}/4t}$

本身就是一个解，其中h从其初始峰值扩展，并在该方程的进一步分析中起着重要作用。

相同的相似性方法也可以应用于一些非线性方程。

分离变量

我们也可以通过分离变量来获得该方程的一些解。

$h(x,t)=X(x)T(t)\Rightarrow X^{\prime \prime }T=X{\dot {T}}$

给了我们两个常微分方程

${\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+k^{2}X=0\quad {\frac {dT}{dt}}=-kT$

以及一般形式的解

$h(x,t)=Ae^{-kt}\sin(kx+\alpha )\,$