一般拓扑/定义、特征

定义（拓扑）:

令 $X$ 为任意集合。关于 $X$ 的 **拓扑** 是 $X$ 的幂集的子集 $\tau \subset {\mathcal {P}}(X)$，满足以下三个公理

1. $X\in \tau$ 且 $\emptyset \in \tau$
2. $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau \Rightarrow U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$
3. $(\forall i\in I:U_{i}\in \tau )\Rightarrow \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau$

定义（拓扑空间）:

**拓扑空间** 是一个集合 $X$ 以及关于它的一个拓扑 $\tau$。

示例（欧几里得拓扑）:

令 $n\in \mathbb {N}$ 并考虑集合 $X=\mathbb {R} ^{n}$。 然后我们定义

$\tau :=\{U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid \forall x\in U:\exists \epsilon >0:B_{\epsilon }(x)\subseteq U\}$.

$\tau$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的拓扑，称为欧几里得拓扑。

定义（开集）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，$\tau$ 是它的拓扑。$X$ 的开集是指任何包含在 $\tau$ 中的集合。

定义（闭集）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。一个子集 $A\subset X$ 称为闭集，当且仅当 $X\setminus A$ 是开集，即包含在 $X$ 的拓扑中。

定义（闭开集）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。一个子集 $A\subset X$ 称为闭开集，当且仅当它同时是开集和闭集。

命题（从闭集定义拓扑）:

设 $X$ 是一个集合，设 $\kappa \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的子集的集合，使得以下公理成立

1. $\emptyset \in \kappa$ 且 $X\in \kappa$
2. $F_{1},\ldots ,F_{n}\in \kappa \Rightarrow F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in \kappa$
3. $(\forall \alpha \in A:F_{\alpha }\in \kappa )\Rightarrow \bigcap _{\alpha \in A}F_{\alpha }\in \kappa$

那么存在一个唯一的拓扑$\tau$ 在 $X$ 上，使得 $\kappa$ 精确包含该拓扑的闭集，反之，任何拓扑的闭集满足 1. - 3.

证明: 我们声称，在满足命题中 1.-3. 的集合 $\kappa \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ （称此集合为 ${\mathcal {K}}(X)$）与 $X$ 上的拓扑之间存在一个双射，我们将用 ${\mathcal {T}}(X)$ 表示，因此如果这个双射表示为 $\Phi :{\mathcal {T}}(X)\to {\mathcal {K}}(X)$，那么拓扑 $\tau$ 的闭集由 $\Phi (\tau )$ 精确给出。实际上，这个映射 $\Phi$ 由

$\Phi (\tau ):=\{X\setminus U\mid U\in \tau \}$ 给出，其逆为 $\Phi ^{-1}(\kappa )=\{X\setminus F\mid F\in \kappa \}$.

这些通过直接计算互为逆，并且 $\tau$ 的闭集恰好是 $\Phi (\tau )$。我们必须证明 $\Phi$ 是定义良好的，也就是说，它将 ${\mathcal {T}}(X)$ 映射到 ${\mathcal {K}}(X)$，并且逆映射也是定义良好的，因为它将 ${\mathcal {K}}(X)$ 映射到 ${\mathcal {T}}(X)$。首先令 $\tau$ 为拓扑。由于 $X\setminus \emptyset =X$ 并且 $X\setminus X=\emptyset$，上述条件 1 被满足。现在假设 $F_{1},\ldots ,F_{n}\in \Phi (\tau )$，因此对于 $j\in [n]$，我们有 $F_{j}=X\setminus U_{j}$，对于某个 $U_{j}\in \tau$。由于 $\tau$ 是拓扑，$U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$，此外，根据德摩根定律

$\Phi (U_{1}\cap \cdots \cap U_{n})=F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}$.

最后，假设 $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $\Phi (\tau )$ 中元素的一个族，并且对于 $\alpha \in A$ 再次写出 $F_{\alpha }=X\setminus U_{\alpha }$。由于 $\tau$ 是一个拓扑，$\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in \tau$，并且根据德摩根定律

$\Phi \left(\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\right)=\bigcap _{\alpha \in A}F_{\alpha }$,

和 $\kappa :=\Phi (\tau )$ 满足 1. - 3. 反方向可以通过类似的计算来证明。因此，唯一一个闭集为 $\kappa$ 的拓扑是 $\Phi ^{-1}(\kappa )$，如果 $\tau$ 是一个拓扑，$\Phi (\tau )$，其闭集，满足 1.-3. $\Box$

命题（拓扑按包含关系排序）:

如果 $X$ 是任何集合，并且 $\tau _{1},\tau _{2}$ 是 $X$ 上的拓扑，则 $\tau _{1}\leq \tau _{2}:\Leftrightarrow \tau _{1}\subseteq \tau _{2}$ 在 $X$ 的拓扑上定义了一个序。

证明：这是一种特殊情况，因为幂集的子集按包含排序。 $\Box$

定义（拓扑的比较）:

令 $X$ 为任意集合， $\tau _{1},\tau _{2}$ 为 $X$ 上的拓扑。只要 $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$，我们说 $\tau _{1}$ 比 $\tau _{2}$ **更粗糙**，而 $\tau _{2}$ 比 $\tau _{1}$ **更精细**。

命题（拓扑的交集是一个拓扑）:

令 $(\tau _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为集合 $X$ 上的一族拓扑。那么

$\bigcap _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }$

是 $X$ 上的拓扑。

证明：这从交集保留封闭性质得出，注意到有限交集和任意并集是 ${\mathcal {P}}(X)$ 上的运算（以及整体和空集，即 0 阶运算），并且每个拓扑都对这些运算封闭。 $\Box$

定义（开邻域）:

令 $(X,\tau )$ 为一个拓扑空间，并令 $x\in X$。一个 $x$ 的**邻域**是一个开集 $U$（即 $U\in \tau$），使得 $x\in U$.

定义（邻域）:

令 $(X,\tau )$ 为一个拓扑空间，并令 $x\in X$。一个 $x$ 的**邻域**是一个集合 $N\subset X$，使得存在一个开集 $U\in \tau$，使得 $U\subseteq N$ 并且 $x\in U$。所有 $x$ 的邻域的集合记作 $N(x)$.

定理（用邻域系刻画拓扑结构）:

假设 $X$ 是一个集合，并且对于每个 $x\in X$，我们给定一个集合 $N(x)\subseteq {\mathcal {P}}(X)$，使得 $x\in S$ 对于每个 $S\in N(x)$。那么集合 $N(x)$ 构成 $X$ 上的拓扑结构的邻域当且仅当满足以下条件：

1. $\forall x\in X:X\in N(x)$
2. $\forall x\in X:\forall U,V\in N(x):U\cap V\in N(x)$
3. $\forall x\in X:\forall U\in N(x):\forall S\subseteq X:(U\subseteq S\Rightarrow S\in N(x))$ （超集封闭性）
4. $\forall x\in X:\forall S\in N(x):\exists U\subseteq S:U\in N(x)\wedge \forall y\in U:S\in N(y)$

在这种情况下，$N(x)$ 作为邻域的拓扑由邻域唯一确定，并且等于

$\left\{U\subseteq X\mid \forall x\in U:\exists V\in N(x):V\subseteq U\right\}$.

Proof: Let's first show that whenever the sets $N(x)$ are the neighbourhoods of a topology $\tau$ on $X$, then they satisfy 1. - 4. Indeed, $X$ is an (open) neighbourhood of every of its points. Then, whenever $U,V\in N(x)$ for some $x\in X$, we find open sets $U',V'$ such that $x\in U'\subseteq U$ and $x\in V'\subseteq V$, note that $x\in U'\cap V'\subseteq U\cap V$ and that $U'\cap V'$ is open, as finite intersections of open sets are open. If $S\in N(x)$, $x\in U\subseteq S$ open and $T\supseteq S$ arbitrary, then $x\in U\subseteq T$ so that $T\in N(x)$. Finally, if $S\in N(x)$, choose an open $U$ s.t. $x\in U\subseteq S$, then $U$ is open, hence a neighbourhood of all of its points. Now suppose that for each $x\in X$ we are given $N(x)$ and these neighbourhoods satisfy the conditions 1.-4. Then we define

$\tau :=\left\{U\subseteq X\mid \forall x\in U:\exists V\in N(x):V\subseteq U\right\}$

and claim that $\tau$ is a topology. Indeed, $\emptyset \in \tau$, since then the condition is trivially satisfied, since there are no $x\in \emptyset$. Furthermore, $X\in \tau$, since whenever $x\in X$, $X\subseteq X$ and $X$ is a neighbourhood of $x$. Then, suppose that $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ is a family of sets contained in $\tau$, and set $U:=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$. We claim that $U\in \tau$. Indeed, if $x\in U$, pick $\alpha \in A$ so that $x\in U_{\alpha }$, then $V\in N(x)$ such that $x\in V\subseteq U_{\alpha }$ since $U_{\alpha }\in \tau$, and finally note that $x\in V\subseteq U$. Then, let $U,V\in \tau$ and pick $U',V'\in N(x)$ so that $x\in U'\subseteq U$ and $x\in V'\subseteq V$. Then $x\in U'\cap V'\subseteq U\cap V$, so that $U\cap V\in \tau$, since $U'\cap V'\in N(x)$.

Now we claim that for each $x\in X$, the neighbourhoods of $x$ with respect to $\tau$ are precisely $N(x)$. Indeed, let first a neighbourhood $S$ of $x$ be given. Choose $x\in U\subseteq S$ open. Then by definition of $\tau$, there exists $T\in N(x)$ such that $T\subseteq U$, and since $N(x)$ is closed under supersets, $S\in N(x)$. Conversely, suppose $S\in N(x)$. Define $U:=\{y\in X\mid S\in N(y)\}$, and claim that $U\subseteq S$ and $U$ is open in $\tau$. Indeed, $U\subseteq S$ is clear, since $y\in S$ is necessary for $S$ being a neighbourhood of $y$. Let now $y\in U$. By 4., choose $U'\subseteq S$ so that $U'\in N(y)$ and $S$ is in $N(z)$ for all $z\in U'$. Thus $S\in N(z)$ for all $z\in U'$, so that $U'\subseteq U$, and since $y$ was arbitrary, $U$ is open, and $S$ is a neighbourhood in $\tau$ of $x$.

最后，设$\tau '$ 为任何以$N(x)$ 作为邻域的拓扑，并断言$\tau '=\tau$ 如上定义。事实上，如果$U\in \tau '$，则$U$ 本身就是其每个点的邻域，因此在$\tau$ 中。反之，如果$U\in \tau '$，则对于每个$x\in U$，选择$X$ 的一个邻域$V_{x}\in \tau$ 包含在$U$ 中（为了避免选择公理，选择它们是所有此类集合的并集），并注意

$U=\bigcup _{x\in X}V_{x}\in \tau$. $\Box$

练习

1. 设 $X$ 为一个集合。
   1. 证明 ${\mathcal {P}}(X)$，即幂集，是 $X$ 上的拓扑（称为离散拓扑），并且当 $X$ 具有该拓扑，$f:X\to Y$ 是任意一个函数，其中 $Y$ 是一个拓扑空间，那么 $f$ 自动是连续的。
   2. 证明 $\{\emptyset ,X\}$ 是 $X$ 上的拓扑（称为平凡拓扑），并且当 $X$ 具有该拓扑，$Z$ 是任意一个拓扑空间，$f:Z\to X$ 是任意一个函数，那么 $f$ 是连续的。