一般拓扑学/度量空间

定义（度量）:

设 $M$ 为一个集合。在 $M$ 上的度量是一个函数 $d:M\times M\to \mathbb {R}$，满足以下条件：

1. $\forall x,y\in M:d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
3. $\forall x,y\in M:d(x,y)=d(y,x)$ ("对称性")
4. $\forall x,y,z\in M:d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ("三角不等式")

定义（度量空间）:

设 $M$ 为一个集合，以及在它上面定义的度量 $d$。则 $M$ 与 $d$ 构成一个度量空间。

定义（开球）:

设 $(M,d)$ 为一个度量空间，$x\in M</mathand<math>\epsilon >0$。以 $x$ 为中心、大小为 $\epsilon$ 的开球定义为集合

$B_{\epsilon }(x):=\{y\in M|d(x,y)<\epsilon$.

定义（度量空间的拓扑）:

令 $(M,d)$ 是一个度量空间。 $(M,d)$ 的拓扑，即集合 $M$ 上的拓扑，定义为

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://127.0.0.1:6011/en.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \left\{ U \subseteq M \middle| \forall x \in U: \exists \epsilon > 0: B_\epsilon(x) \subseteq U \right\}} .

该定义是合理的。

命题（度量诱导拓扑）:

令 $(M,d)$ 是一个度量空间。 定义 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(M)$ 如下

Failed to parse (unknown function "\middle"): {\displaystyle \tau := \left\{ U \subseteq M \middle| \forall x \in U: \exists \epsilon > 0: B_\epsilon(x) \subseteq U \right\}}

则 $\tau$ 是 $M$ 上的拓扑。

备注（开球是开的）:

注意，每个开球都是上述拓扑下底层度量空间的开子集，因为只要 $y\in B_{\epsilon }(x)$，我们可以选择 $\delta :=\epsilon -d(x,y)>0$ 并得到 $B_{\delta }(y)\subseteq B_{\epsilon }(x)$，这是因为对于 $z\in B_{\delta }(y)$，有 $d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<\delta +d(x,y)=\epsilon$。

证明： 这种拓扑正是 用邻域来刻画拓扑 时，当我们选择一个点的邻域 $N(x)$ 为那些包含 $B_{\epsilon }(x)$ 的集合，其中 $\epsilon >0$ 足够小。很明显，这样定义的邻域满足定义的 1.-3.，并且根据 上面的话，它们也满足 4.，因为开球是它每一个点的邻域。 $\Box$

现在，度量空间的子集又是度量空间（很容易验证），并且较大空间的度量限制所诱导的拓扑是子空间拓扑。

命题（度量子空间具有子空间拓扑）:

设 $(M,d)$ 为度量空间，$S\subseteq M$ 为一个子集。那么 $S$ 上由 $S$ 上的度量所诱导的拓扑，即 $d|_{S\times S}$，是子空间拓扑。

证明：我们只需要证明它们具有相同的开集。 $V\subseteq S$ 在子空间拓扑中是开集意味着存在 $U\subseteq M$ 开集使得 $U\cap S=V$。如果是这种情况，选择 $x\in V$ 为任意点。由 $U$ 的开性，选择 $\epsilon =\epsilon (x)$ 足够小使得 $B_{\epsilon }(x)\subseteq U$，其中球体是关于 $M$ 上的度量取的。然后注意到，只要 $y\in S$ 满足 $d|_{S\times S}(x,y)<\epsilon$，那么 $d(x,y)<\epsilon$，因为根据限制的定义，$d|_{S\times S}(x,y)=d(x,y)$。因此，只要 $d(x,y)<\epsilon$ 对 $y\in S$ 成立，我们有 $y\in S\cap B_{\epsilon }(x)\subseteq S\cap U=V$。对于另一个方向，假设 $V\subseteq S$ 在由 $d|_{S\times S}$ 在 $S$ 上诱导的度量拓扑中是开集。 $\Box$

命题（度量空间是正规的）:

设 $(M,d)$ 是一个度量空间。那么 $M$ 以及由度量 $d$ 诱导的拓扑是正规的。

证明： 设 $A,B$ 是 $(M,d)$ 中的两个不相交的闭集。对于每个 $x\in A$，定义 $\delta _{x}>0$ 足够小，使得 $B_{\delta _{x}}(x)\cap B=\emptyset$，类似地，对于 $y\in B$ 也是如此。然后定义

$U:=\bigcup _{x\in A}B_{\delta _{x}/2}(x)$，$V:=\bigcup _{y\in B}B_{\delta _{y}/2}(y)$.

请注意 $A\subseteq U$，$B\subseteq V$。假设 $z\in U\cap V$，并选择 $x\in A$ 和 $y\in B$ 使得 $d(x,z)\leq \delta _{x}/2$ 或者 $d(y,z)\leq \delta _{y}/2$。两种情况 $\delta _{x}\leq \delta _{y}$ 和 $\delta _{y}\leq \delta _{x}$ 通过三角不等式会导致矛盾。 $\Box$

通常，通过选择 $\delta _{x}$，$\delta _{y}$ 最大，选择所有满足条件的开球的并集，可以避免选择公理。

命题（度量空间是完全正规的）:

令 $(M,d)$ 是一个度量空间。那么 $(M,d)$ 以及它的子空间拓扑是完全正规的。

证明： 令 $S\subseteq M$ 是 $M$ 的任何子集。如上所述，$S$ 具有度量空间的结构，并且 一般拓扑/度量空间#度量空间是正规的。此外，它的子空间拓扑等于由其度量诱导的拓扑，因此它在子空间拓扑中是正规的。因此，$M$ 是遗传正规的，即完全正规的。 $\Box$

定义（真空间）:

如果且仅如果度量空间 $(M,d)$ 的所有闭球都是紧致的，则称该度量空间为 **完备** 度量空间。

命题（完备空间中存在闭点投影）:

设 $(M,d)$ 是一个完备度量空间，设 $A\subset M$ 是闭集，设 $x\in M\setminus A$。那么存在一点 $y\in A$，它到 $x$ 的距离在 $A$ 中所有点中是最短的。

**证明：** 注意到根据实数下 infimum 的存在性，该值

$\eta :=\inf _{z\in A}d(x,z)$

存在。现在定义对于 $n\in \mathbb {N}$

无法解析 (SVG (MathML可以通过浏览器插件启用): 从服务器 "https://127.0.0.1:6011/en.wikibooks.org/v1/" 收到无效响应 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle K_n := \left\{z \in A \middle| d(x, z) \le \eta + \frac{1}{n} \right\}} ;

注意对于所有 $n\in \mathbb {N}$，$K_{n}\neq \emptyset$（否则 $x$ 到 $A$ 的最小距离将大于 $\eta$），并且 $K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq \cdots$。此外，每个 $K_{n}$ 作为 Hausdorff 空间的闭子集，都是紧致的。因此，我们可以应用 Cantor 交集定理 来得到

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}\neq \emptyset$。因此，令 $y\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}$。

注意，对于每个 $z\in A$，$d(z,x)\geq \eta$ 根据下确界的定义。此外，对于每个 $n\in \mathbb {N}$，$d(x,y)\leq \eta +{\frac {1}{n}}$ 根据 $K_{n}$ 的定义，因此 $d(x,y)=\eta$。 $\Box$

命题（度量空间是一致空间）:

令 $(M,d)$ 是度量空间，并定义

Failed to parse (unknown function "\middle"): {\displaystyle U_n :=\left\{ (x, y) \in M \times M \middle| d(x, y) < \frac{1}{n} \right\}} ，然后 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://127.0.0.1:6011/en.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \mathcal U := \left\{ U_n \middle| n \in \mathbb N \right\}} 。

那么 ${\mathcal {U}}$ 是 $M\times M$ 上的陪集滤子的基。

证明： 显然，${\mathcal {U}}$ 的每个子集都包含对角线。此外，由于计算

$U_{n}\cap U_{m}=U_{\max\{m,n\}}$;

这意味着我们确实有一个过滤基。最后，令 $V$ 为一个 entourage。选取 $n\in \mathbb {N}$ 使得 $U_{n}\subseteq V$。首先注意到 $U_{n}$ 是对称的，因为 $d$ 是对称的。然后，选择 $m:=2n$。假设 $(x,z)\in U_{m}$ 且 $(z,y)\in U_{m}$，那么 $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<{\frac {2}{2n}}={\frac {1}{n}}$。 $\Box$

命题（度量可以选取为有界的）:

令 $(M,d)$ 为一个度量空间，令 $\tau$ 为 $d$ 在 $M$ 上诱导的拓扑。那么在定义

$d'(x,y):={\frac {d(x,y)}{d(x,y)+1}}$,

之后，我们得到 $d'$ 是一个 *有界* 度量，它在 $M$ 上诱导的拓扑与 $d$ 相同。

证明： 很明显，对于所有 $x,y\in M$，$d'(x,y)\leq 1$。现在假设 $x,y,z\in M$。那么

$d'(x,y)+d'(y,z)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}+{\frac {d(y,z)}{1+d(y,z)}}={\frac {d(x,y)(1+d(y,z))+d(y,z)(1+d(x,y))}{(1+d(x,y))(1+d(y,z))}}={\frac {2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)}{d(x,y)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)+1}}$,

因此，$d'(x,y)+d'(y,z)\geq d'(x,z)$ 等价于

${\begin{aligned}(1+d(x,z))[2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)]&\geq d(x,z)[d(x,y)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)+1]\\\Leftrightarrow 2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)+d(x,y)d(y,z)d(x,z)&\geq d(x,z)\\\end{aligned}}$

证明了三角不等式，这是证明 $d'$ 是一个度量所需要证明的唯一非平凡的部分。 $\Box$

命题（度量空间的可数乘积是度量空间）:

令 $(M_{n},d_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是度量空间的序列，并考虑（先验仅是拓扑的）空间 $M:=\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$，该空间带有乘积拓扑。则 $M$ 是可度量的，并且可能的度量是

$d((x_{n})_{n\in \mathbb {N} },(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }):=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}{\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}$.

例子（无限维实空间）:

考虑空间 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$，它是可数个 $\mathbb {R}$ 的乘积，并带有 $\mathbb {R}$ 上欧几里得拓扑诱导的乘积拓扑。

定义（真空间）:

真空间 是一个度量空间 $X$，使得它的所有闭球都是紧致的。

命题（真空间中闭子空间中存在最近元素）:

令 $X$ 是一个度量为 $d$ 的度量空间，令 $A\subseteq X$ 是闭集并且是真空间，令 $x\in A$。则存在 $y\in A$ 使得

$d(x,y)=\inf _{z\in A}d(x,z)$.

证明：令

$r:=\inf\{s>0|B_{s}(x)\cap A\neq \emptyset \}$.

则集合

$K_{n}:=B_{r+1/n}(x)\cap A$ ($n\in \mathbb {N}$)

形成一个非空紧集和闭集的递减族，因为紧集的闭子集是紧集，并且Hausdorff 空间的紧子集是闭集。因此，康托尔交集定理证明存在

$y\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}$.

但对于每个$n\in \mathbb {N}$，$d(x,y)\leq s+1/n$，因此实际上

$d(x,y)=s=\inf _{z\in A}d(x,z)$. $\Box$

练习

1. 令$M$ 为一个紧拓扑空间，其拓扑由两个度量$d$ 和 $d'$ 导出。证明对于每个$\epsilon >0$，存在$\delta >0$ 使得$d(x,y)<\delta$ 蕴含$d'(x,y)<\epsilon$（然后通过对称性，反之亦然）。