一般拓扑/一致空间

定义（一致结构）:

令$X$ 为一个集合。 $X$ 上的一致结构是 $X\times X$ 的一个滤子${\mathcal {U}}$，使得

1. $\forall U\in {\mathcal {U}}:\Delta (X)\subseteq U$，$\Delta (X):=\{(x,x)\mid x\in X\}$ 为 $X$ 的对角线
2. $\forall U\in {\mathcal {U}}:U^{-1}\in {\mathcal {U}}$，其中$U^{-1}:=\{(x,y)\mid (y,x)\in U\}$
3. $\forall U\in {\mathcal {U}}:\exists V\subseteq U:V\circ V\subseteq U$，其中$V\circ W:=\{(x,z)\mid (x,y)\in V\wedge (y,z)\in W\}$ 对一般 $V,W\subseteq X\times X$ 成立。

定义（一致空间）:

一致空间是一个集合$X$，以及在其上的一个一致结构。

在这个定义中，如果 $(x,y)$ 被包含在一个足够小的陪伴中，它们就被认为彼此“接近”。也就是说，一致结构提供了一种方法来确定两个任意点 $x,y\in X$ 何时接近。这就是这个定义背后的直觉。一致空间的一个非常重要的特例是 度量空间，我们将在下一章中学习它们。一致空间是度量空间的推广，许多概念和定理从度量空间推广到一致空间，我们将立即以最普遍的方式处理它们。

定义（陪伴）:

令 $X$ 是一个具有一致结构 ${\mathcal {U}}$ 的集合。一个 **陪伴** 就是 ${\mathcal {U}}$ 中的一个元素。

定义（陪伴诱导的邻域）:

令 $X$ 是一个一致空间，并且 $V$ 是 $X$ 的一个陪伴。对于 $x\in X$，定义

$V(x):=\{y|(x,y)\in V\}$.

一致结构在其空间上诱导出拓扑。

命题（一致结构诱导出拓扑）:

令 $X$ 是一个具有一致结构 ${\mathcal {U}}$ 的空间。那么，在 $X$ 上存在一个唯一的拓扑，使得点 $x$ 的每个邻域滤子的基底由 $V(x)$ 给出，其中 $V$ 在所有陪伴上变化。

证明：定义 $N(x)$ 为由集合 $V(x)$ 生成的滤子，其中 $V$ 在所有陪伴上变化，并观察到这些集合确实是滤子子基底，因为它们都包含 $x$，使得 滤子子基底的刻画 适用。声称 $N(x)$ 满足 由其邻域刻画拓扑 的 1.-4.。

1. 由于 $\Delta \subseteq V$ 对于所有邻域 $V$ ($\Delta =\{(x,x)|x\in X\}$), $x\in N(x)$
2. 由于 $V_{1}(x)\cap \cdots \cap V_{n}(x)=(V_{1}\cap \cdots \cap V_{n})(x)$, $N(x)$ 在有限交集下是封闭的。
3. $N(x)$ 根据定义，在超集下是封闭的。
4. 令 $M\in N(x)$。选择 $V\in N(x)$ 使得 $V\subseteq M$，然后 $W\subseteq V$ 使得 $W\circ W\subseteq V$。对于所有 $y\in W(x)$，我们有 $W(y)\subseteq V(x)$，所以 $V(x)$ 在 $N(y)$ 中 $\Box$

今后，我们将把一个一致空间视为具有此拓扑的拓扑空间。

定义（V-小）:

令 $X$ 为一致空间，令 $V$ 为 $X$ 的一个邻域。子集 $A\subseteq X$ 被称为 $V$-小当且仅当对于所有 $x,y\in A$，我们有 $(x,y)\in V$.

命题（每个一致空间都是正则的）:

令 $X$ 为一致空间（一致性为 ${\mathcal {U}}$）。那么 $X$ 是正则的。

证明：令 $A\subset X$ 为闭集，$x\in X\setminus A$。由于 $A$ 是闭集，$X\setminus A$ 是 $x$ 的一个开邻域。因此，选择一个对称邻域 $V\in {\mathcal {U}}$ 使得 $V(x)\subset X\setminus A$，然后选择另一个对称邻域 $W$ 使得 $W\circ W\subseteq V$。那么 $W(x)$ 和

$W(A):=\bigcup _{y\in A}W(y)$

是分离的，因为否则，如果$z\in W(x)\cap W(A)$，则存在$\alpha \in A$ 使得$(z,\alpha )\in W$ 并且$(z,x)\in W$，因此$(x,\alpha )\in W\circ W\subseteq V$，这与$V(x)\cap A=\emptyset$矛盾。 $\Box$

定义（柯西滤子）:

设$X$ 为一致空间。柯西滤子是$X$ 上的滤子 $\phi$，使得对于$X$ 的任何邻域 $V$，都存在$A\in \phi$ 使得$x,y\in A\Rightarrow (x,y)\in V$，即 $A$ 是$V$-小的。

定义（完备性）:

设$X$ 为一致空间。$X$ 称为完备 当且仅当$X$ 上的每个柯西滤子 $\phi$ 都收敛到$X$ 中的某个点。

定义（完全有界性）:

设 $X$ 是一个一致空间，并设 ${\mathcal {U}}$ 是其伴随滤子。 $X$ 是 **全有界** 的当且仅当对于每个 $V\in {\mathcal {U}}$，都存在有限多个点 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ 使得

$X=\bigcup _{j=1}^{n}V(x_{j})$.

以下是 Heine-Borel 定理的推广。

定理（紧致当且仅当全有界且完备）:

设 $X$ 是一个一致空间，$S\subseteq X$ 是一个子集。 $S$ 是紧致的当且仅当它是全有界且完备的。

（关于超滤子引理的条件）

证明： 首先假设 $S$ 是紧致的，并令 $V$ 是一个任意的陪集。注意 $(V(x)\cap S)_{x\in S}$ 是 $S$ 的一个开覆盖，因此我们可以选择一个有限子覆盖以达到完全有界性。然后令 ${\mathcal {F}}$ 是 $S$ 的子集的柯西滤子，并假设 ${\mathcal {F}}$ 不收敛于 $S$ 中的任何点。对于每个 $x\in S$，选择一个非空的陪集集 $\{V_{x,\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda _{x}}$ 足够小，使得 $V_{x,\lambda }(x)\cap S\notin {\mathcal {F}}$ 对于所有 $\lambda \in \Lambda _{x}$ 成立，然后 $W_{x,\lambda }$ 足够小，使得 $W_{x,\lambda }\circ W_{x,\lambda }\subseteq V_{x,\lambda }$。然后根据紧致性选择一个有限子覆盖 $S=(S\cap W_{x_{1},\lambda _{1}}(x_{1}))\cup \cdots \cup (S\cap W_{x_{n},\lambda _{n}}(x_{n}))$（其中 $\lambda _{j}\in \Lambda _{x_{j}}$ 对于 $j\in [n]$ 成立，并定义

$V:=V_{x_{1},\lambda _{1}}\cap \cdots \cap V_{x_{n},\lambda _{n}}$, $W:=W_{x_{1},\lambda _{1}}\cap \cdots \cap W_{x_{n},\lambda _{n}}$.

由于 ${\mathcal {F}}$ 是一个柯西滤波器，它将包含一个 $W$-小集 $A$。然后选择 $x_{0}\in A$ 为任意值，并选择 $j\in [n]$ 使得 $x_{0}\in W_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})$。那么对于 $z\in A$，我们将有 $(z,x_{0})\in W$ 和 $(x_{0},x_{j})\in W_{x_{j},\lambda _{j}}$，所以 $(z,x_{j})\in V_{x_{j},\lambda _{j}}$，也就是说，$z\in V_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})$，我们得出结论 $A\subseteq V_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})$ 且 $V_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})\in {\mathcal {F}}$，矛盾。

Suppose now that $S$ is not compact. By the characterisation of compactness by filter convergence, pick a filter $\phi$ on $S$ which does not admit a refinement that converges to a point of $S$ (note that this does not use the axiom of choice). By the ultrafilter lemma, pick a maximal filter $\phi _{\infty }$ that contains $\phi$. Upon proving that $\phi _{\infty }$ is Cauchy, we obtain a contradiction, since Cauchy filters converge in $S$ as $S$ is complete. Let hence $V$ be any entourage of $X$, and pick $W\subseteq V$ so that $W\circ W\subseteq V$. Then $W(x)$ is $V$-small for all $x\in X$. By definition of the subspace topology and since $S$ is totally bounded, pick $x_{1},\ldots ,x_{n}\in S$ so that $S\subseteq W(x_{1})\cup \cdots \cup W(x_{n})$. Suppose that for all $j\in [n]$, there existed $F_{j}\in \phi _{\infty }$ so that $F_{j}\cap W(x_{j})=\emptyset$. Then set $F:=F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}$ and observe that $F\cap W(x_{j})=\emptyset$ for all $j\in [n]$, and taking the union over all $j$ we get that $F\cap (W(x_{1})\cup \cdots \cup W(x_{n}))=F=\emptyset$, a contradiction to $\phi _{\infty }$ being a filter. Hence, pick $j\in [n]$ so that $F\cap W(x_{j})\neq \emptyset$ for all $F\in \phi _{\infty }$ and observe that $W(x_{j})\in \phi _{\infty }$, for otherwise we could properly extend $\phi _{\infty }$ by extending $\phi _{\infty }$ by $W(x_{j})$. But $W(x_{j})$ is $V$-small, so that $\phi _{\infty }$ is Cauchy. $\Box$

定义（一致连续性）:

令 $X,Y$ 为一致空间，其一致结构分别为 ${\mathcal {U}}$ 和 ${\mathcal {V}}$。如果且仅当函数 $f:X\to Y$ 满足以下条件，则称其为 **一致连续** 的:

$\forall V\in {\mathcal {V}}:\exists U\in {\mathcal {U}}:((x,y)\in U\Rightarrow (f(x),f(y))\in V)$.

命题（一致连续蕴含连续）:

令 $f:X\to Y$ 为一致连续函数，其中 ${\mathcal {U}}$ 是 $X$ 的一致结构，而 ${\mathcal {V}}$ 是 $Y$ 的一致结构。则 $f$ 是连续的。

Proof: Let $\phi$ be a filter of $X$ that converges to a point $x\in X$, so that $N(x)\subseteq \phi$. Let ${\mathcal {G}}$ be the filter on $Y$ that is generated by $f(\phi )$, and let $M\in N(y)$ be a neighbourhood of $y\in Y$. By definition of the topology on $Y$ induced by the uniform structure, pick $V\in {\mathcal {V}}$ so that $V(y)\subseteq M$. By uniform continuity, pick $U\in {\mathcal {U}}$ so that $(z,w)\in U\Rightarrow (f(z),f(w))\in V$. Then $U(x)\in \phi$, so that $f(U(x))\in f(\phi )$, but for $z\in X$ we have $(f(x),f(z))=(y,f(z))\in V$ so that $f(z)\in V(y)$, and we get $f(U(x))\subseteq V(y)$. $\Box$

定义（邻域系的基）:

令 $X$ 为一致空间，其一致结构为 ${\mathcal {U}}$。**邻域系的基** 是 ${\mathcal {U}}$ 的一个滤子基。

命题（一致结构的逆像生成一致结构）:

令 $X$ 为集合，令 $Y$ 为一致空间（其一致结构为 ${\mathcal {V}}$），并令 $f:X\to Y$ 为函数。则

${\mathcal {B}}:=(f\times f)^{-1}({\mathcal {V}})$

是一个均匀结构${\mathcal {U}}$ 在 $X$ 上的滤子基。

证明： 首先注意到，当$U\in {\mathcal {B}}$ 时，$U$ 包含对角线，因为我们有$U=(f\times f)^{-1}(V)$ 对于某个 $V\in {\mathcal {V}}$，也就是说，

$U=\{(x,x')|(f(x),f(x'))\in V\}$,

and clearly, for $x=x'$, we have $(f(x),f(x'))\in V$. Therefore, every $U\in {\mathcal {U}}$ also contains the diagonal (as it contains a set of ${\mathcal {B}}$). Further, ${\mathcal {B}}$ is a filter base, since taking preimages commutes with intersections, and ${\mathcal {V}}$ is closed under finite intersections, being a filter itself. Then let $U\in {\mathcal {U}}$, and pick $U'\in {\mathcal {B}}$ so that $U'\subseteq U$. Pick $V\in {\mathcal {V}}$ so that $U'=(f\times f)^{-1}(V)$. Then pick $W\in {\mathcal {V}}$ so that $W\circ W\subseteq V$. We claim that if we set $W':=(f\times f)^{-1}(W)$, then $W'\circ W'\subseteq U'$ ($\subseteq U$). Indeed, if $(x,x')\in W'$ and $(x',x'')\in W'$, then $(f(x),f(x''))\in V$, so that $(x,x'')\in U'$. Finally, $(f\times f)^{-1}(V^{-1})=(f\times f)^{-1}(V)^{-1}\subseteq U^{-1}$. $\Box$

命题（均匀结构的上确界）:

设 $X$ 是一个集合，并设 $({\mathcal {U}}_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $X$ 上的均匀结构族。那么存在 $X$ 上的（唯一的）上确界均匀结构 ${\mathcal {U}}$，即由

${\mathcal {B}}:=\left\{U_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap U_{\alpha _{n}}|\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A,\forall j\in [n]:U_{\alpha _{j}}\in {\mathcal {U}}_{\alpha _{j}}\right\}$,

并且由此诱导的拓扑与拓扑$\tau _{\alpha }$在$X$上的最小上界拓扑一致，这些拓扑是由${\mathcal {U}}_{\alpha }$诱导的。

Proof: First we claim that ${\mathcal {U}}$ as given above is a uniform structure. Indeed, ${\mathcal {B}}$ is closed under finite intersections and hence forms a filter base. Further, suppose that $U\in {\mathcal {U}}$, and pick $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A$ and $U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}$ in ${\mathcal {U}}_{\alpha _{1}}$ resp. ${\mathcal {U}}_{\alpha _{2}}$ resp. ... resp. ${\mathcal {U}}_{\alpha _{n}}$. Then for each $j\in [n]$, observe for one that $U_{\alpha _{j}}^{-1}\in {\mathcal {U}}_{\alpha _{j}}$ (so that $U^{-1}\in {\mathcal {U}}$), and then pick $V_{\alpha _{j}}\in {\mathcal {U}}_{\alpha _{j}}$ so that $V_{\alpha _{j}}\circ V_{\alpha _{j}}\subseteq U_{\alpha _{j}}$. Then $(V_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap V_{\alpha _{n}})\circ (V_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap V_{\alpha _{n}})\subseteq U_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap U_{\alpha _{n}}\subseteq U$. $\Box$

定义（初始一致结构）:

令$X$为一个集合，令$(Y_{\alpha })_{\alpha \in A}$为具有一致结构${\mathcal {V}}_{\alpha }$的一致空间族，令$f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$为函数。$X$上的初始一致结构定义为由一致结构$f_{\alpha }$诱导的最小上界一致结构。

命题（用陪伴分离开集中的紧致子集）:

令$X$为具有一致性${\mathcal {U}}$的一致空间。令$U\subseteq X$为开集，令$K\subseteq U$为紧致集。那么存在一个对称陪伴$V\in {\mathcal {U}}$使得$V(K)\subseteq U$，其中

$V(K):=\{x\in X|\exists y\in K:(x,y)\in V\}$.

证明：对于每个 $x\in K$，选择一个对称的邻域 $V_{x}$，使得 $V_{x}(x)\subseteq U$（通过并集来避免选择公理）然后是一个对称的邻域 $W_{x}$，使得 $W_{x}\circ W_{x}\subseteq V_{x}$。$\Box$

练习

1. 令 $X$ 为一个集合，令 ${\mathcal {U}}$ 和 ${\mathcal {V}}$ 为 $X$ 上的统一结构，使得它们产生相同的拓扑 $\tau$ 且 $X$ 关于 $\tau$ 是紧致的。证明事实上 ${\mathcal {U}}={\mathcal {V}}$。
2. 设 $X$ 是一个拓扑空间，其拓扑是由两个一致结构 ${\mathcal {U}}$ 和 ${\mathcal {V}}$ 共同诱导的。假设 $X$ 关于由 ${\mathcal {U}}$ 诱导的一致结构是完备的。证明 $X$ 关于由 ${\mathcal {V}}$ 诱导的一致结构也是完备的。