几何/双曲几何和椭圆几何
总共有三种不同的三维常曲率几何类型：欧几里得几何、双曲几何和椭圆几何。这三种几何都建立在相同的最初四个公理之上，但每种几何都拥有第五公理的独特版本，第五公理也被称为平行公理。尤金尼奥·贝尔特拉米（1835 - 1900）在 1868 年的《关于非欧几里得几何的解释论文》中证明了两种非欧几里得几何，双曲几何和椭圆几何，的逻辑一致性。
平行公理对于相应的几何如下。
欧几里得几何：普莱费尔的版本：“给定一条直线l和不在l上的点P，存在一条唯一的直线m经过P，且平行于l。”欧几里得的版本：“假设一条直线l与另外两条直线m和n相交，使得l一侧的内角之和小于 180°。那么m和n在l的那一侧的某一点相交。”这两个版本是等价的；虽然普莱费尔的版本可能更容易理解，但欧几里得的版本通常在证明中很有用。
双曲几何：给定任意一条无限直线l和不在l上的任意点P，存在两条或更多条不同的直线穿过P，并且平行于l。
椭圆几何：给定任意一条无限直线l和不在l上的任意点P，不存在一条直线穿过P，并且平行于l。
双曲几何也被称为鞍形几何或罗巴切夫斯基几何。它在许多方面与欧几里得几何不同，通常会导致相当反直觉的结果。这种几何独特的第五公理的一些显著结果包括
1. 三角形中三个内角之和严格小于 180°。此外，两个不同三角形的角和不一定是相同的。
2. 具有相同内角的两个三角形具有相同的面积。
以下是描述双曲空间的四种最常见模型。
1. 庞加莱圆盘模型。也被称为共形圆盘模型。在这个模型中，双曲平面用一个圆的内部表示，直线用与边界圆正交的圆弧和边界圆的直径表示。
2. 克莱因模型。也被称为贝尔特拉米-克莱因模型或投影圆盘模型。在这个模型中，双曲平面用一个圆的内部表示，直线用圆的弦表示。这个模型对角的大小给出了误导性的视觉表示。
3. 庞加莱半平面模型。双曲平面用欧几里得平面的一半表示，如由给定欧几里得直线l定义的那样，其中l不属于双曲空间。直线用与l正交的半圆或垂直于l的射线表示。
4. 双曲面模型。双曲平面在一个双曲面的两个叶片之一上表示。这个模型在现代物理学中用来表示速度空间。
根据这种几何对第五公理的定义，平行意味着什么？以下定义是为这种几何制定的。如果一条直线l和一条直线m在双曲平面上不相交，但在平面的无穷大边界处相交，则称l和m是平行的。如果一条直线p和一条直线q既不在双曲平面上相交，也不在无穷大边界处相交，则称p和q是超平行的。
对于双曲平面中的任意两条直线m和n，如果m和n是超平行的，那么存在一条唯一的直线l，它垂直于m和n。
椭圆几何可以首先被认为是 3D 空间中的旋转几何：每次旋转都有一个轴（例如用单位向量r指定）和一个转动，通常范围从 0 度到 180 度。区间 (180, 360) 中的转动可以解释为关于相反轴 −r，转动取为 360 中的补角。
w:威廉·罗恩·哈密顿 作为一名天文学家，实践天体几何学。他发明了 4D 四元数几何，它有一个 3D 球面，其旋量表示球面三角形的边。旋量代数具有对应于复合旋转的乘积。椭圆几何将这个乘积视为一个球面三角形：三角形的一边是一个旋量，四元数乘法将两边与第三边联系起来，如下所示
要得到一个旋量，从欧拉公式开始
它使用一个“虚数单位”i，其中 i2 = − 1。现在想象一个单位球体 由这些单位组成。将这个球体上的一个通用点称为 *r*，因此 r2 = −1。对于三个相互垂直的点 i、j、k，单位向量可以写成 哈密顿的约定中 i、j 和 k 反交换，因此 ij = −ji，等等。在这个虚数空间中，哈密顿添加了一个实数轴，形成一个实四元数 对于给定的 *r*，它的转向器位于经过 1 和 −1 的圆上。当 *r* 在 S2 上变化时，这些圆形成了三维球体。三维空间中旋转的椭圆几何将这个转向器超球体作为点。为了获得转向器 *v* 和 *w* 之间的距离，首先找到转向器 然后使用它的转向来计算距离。
旋转与转向器算子之间的联系在结合组合代数/四元数 中有说明。