结合代数/四元数

威廉·罗温·汉密尔顿的实数四元数 H 和双四元数 B 分别由一对除法二元数或双二元数构成。这些操作定义如下

{\text{Multiplication:}}\ (w,x)(y,z)=(wy-xz^{*},\ wz+xy^{*}),

{\text{Conjugation:}}\ (w,x)^{*}=(w^{*},-x),

{\text{so that}}\ N(w,x)=(w,x)(w^{*},-x^{*})=ww^{*}+xx^{*}=N(w)+N(x).

第三种四元数代数 Q = 分裂四元数 是 H 的变体，也是 B 的子代数。下一章通过练习来探讨分裂四元数。

H 和 B 都由 W. R. 汉密尔顿在他的《四元数讲义》（1853 年）中描述。AC 代数 Q 由詹姆斯·科克尔描述，被称为共四元数。在一段时间内，H、B 和 Q 在作为 AC 代数的使用中具有特殊地位，但 20 世纪开发了矩阵环来为它们提供线性表示，从而将它们纳入线性代数的更广泛研究中。事实上，Q 与 M(2,R) 同构，即 2 × 2 实矩阵，B 与 M(2,C) 同构，即 2 x 2 复矩阵。H 的表示使用 B 中的上下文。在线性代数中，组合的概念在矩阵的行列式中可见，行列式具有类似的性质。

除法四元数

在汉密尔顿的记号中，当 $w=a+bi,\ z=c+di,$ ，(w,z) 写作 a + bi + cj + dk，其中乘积 $ij=k=-ji,\ jk=i=-kj,\ ki=j=-ik$ 可以确认，并注意到其反交换性。在运动学、力学和物理科学的表示中，集合 {i, j, k} 被用作空间的基底。

此外， $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1.$ 实际上，

(q\in H\land q^{2}=-1)\equiv (q=xi+yj+zk\land x^{2}+y^{2}+z^{2}=1),

因此在 H 中存在一个虚数单位的球面 S²。

假设u 是其中之一，那么欧拉公式的复数运算给出 $e^{au}=\cos a+u\sin a.$ 在四元数上下文中，e^au 是一个Versor，Versor 是椭圆空间的点，椭圆空间是一个专门用于旋转的几何。 W. K. 克利福德是椭圆几何的倡导者，以及更多，直到他在 34 岁时离开人世。

对于 V ⊂ H 中的向量，反交换性意味着垂直性

\forall a,b\in H\ \ ab+ba=0\equiv (a,b\in V\land a\perp b).

引理：如果 a 和 b 是负一的平方根且 a ⊥ b，那么 aba = b。

证明：

0=a(ab+ba)=a^{2}b+aba=-b+aba.

引理：在相同假设下，a ⊥ ab 且 b ⊥ ab。

证明：

(a\perp ab):\ \ a(ab)+(ab)a=-b+aba=0.

令 u = exp(θ r) 为一个versor。存在一个由 u 决定的对 H 的群作用

versor 对向量的共轭

假设 HxH 中一对 (a,b)，它们不全为零，并且一对 (c,d) 通过一个非零四元数 q 相关联，其中 qa=c 且 qb=d。该关系用 (a,b) ~ (c,d) 表示。这是一个等价关系，HxH/~ 是一个四元数射影直线。该射影直线的单应变换由 M(2,H) 中的矩阵给出。例如，

(q,1){\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=(qu,u)\thicksim (u^{-1}qu,1).

(a,b) 的等价类写成 [a,b]。映射 $q\mapsto u^{-1}qu$ 称为 q 被 u 共轭，通常取为一个 versor。 q 的实部在共轭变换下是不变的，但它适用于向量部分。下面的四元数算术计算表明向量绕 versor 的轴旋转，并且旋转角度是其角度的两倍

注意 $u=e^{r\theta }$ 与平面 $\{x+yr:x,y\in R\}.$ 中的所有元素交换。从 S² 上垂直于 r 的大圆上选择 s。那么根据第一个引理，rsr = s。现在计算 s 被 u 共轭的结果

u^{-1}su\ =\ (\cos \theta -r\sin \theta )s(\cos \theta +r\sin \theta )

=\ (s\cos \theta \ -rs\sin \theta )(\cos \theta +r\sin \theta )

=\ (\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )s+(2\sin \theta \cos \theta )sr

=\ s\cos 2\theta +sr\sin 2\theta ,

这是在 (s, sr) 平面上以 2 theta 旋转。

螺旋位移

可以用四元数的线性分数变换来演示一个运动学的练习：给定一个绕 i 轴旋转 2 θ（用 versor exp(θ i) 的内自同构），以及一个在 j-k 平面上期望的平移，求出旋转对平移产生效果的平行于 i 轴的轴的位置。

这个问题可以用 t = xj + yk 来表述，变换首先将 t 拉回原点，然后进行旋转，最后恢复 t 的位置

[q,1]{\begin{pmatrix}1&0\\-t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},

其中 $z=tu-ut=2\sin \theta (xk-yj).$

假设所需的平移是在 j 方向上距离为 a，因此 0 的所需图像为 aj

[q,1]{\begin{pmatrix}u&0\\uaj&u\end{pmatrix}}=[qu+uaj,u]=[u^{-1}qu+aj,1].

设置 z = uaj 并比较 j 和 k 坐标。 k 分量方程导致 x = a/2，并表明 t 必须位于从 0 到 aj 的线段的垂直平分线上（因此到 0 和 aj 的半径相同）。 j 分量方程导致 $y=-{\tfrac {1}{2}}\cot \theta$ ，它对应于 y 在平分线上且 a/2 作为对边的直角三角形，给出 $\tan \theta =a/2y.$

旋转通过适当地移动旋转轴来提供平移的想法是由 Mozzi 在 1763 年和 Chasles 在 1830 年描述的，它被认为是欧几里得运动和运动学的特征。该命题被表述为螺旋位移足以实现适当等距的欧几里得群。螺旋位移是三维空间中的旋转，它具有一个旋转轴，并且螺旋运动包括沿旋转轴的平移。关于充分性的通知分别归因于 Mozzi 和 Chasles。