群论/有限表示的基数恒等式

定义（置换表示）:

令 $G$ 是一个群，令 $X$ 是一个集合。 $G$ 在 $S$ 上的**置换表示**是一个表示 $\rho :G\to \operatorname {Aut} (S)$，其中 $S$ 的自同构是在集合范畴中取的（也就是说，它们只是从 $S$ 到自身的双射）。

定义（逐点稳定子）:

令 $G$ 是一个群，令 ${\mathcal {A}}$ 是一个 代数簇，令 $A$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的一个实例。 假设 $\rho :G\to \operatorname {Aut} (A)$ 是由 ${\mathcal {A}}$ 定义的范畴中的表示。 令 $S\subseteq A$。 那么 $S$ 的**逐点稳定子**由下式给出

$G_{S}:=\{g\in G|\forall a\in S:ga=a\}$.

命题（传递置换表示等价于对稳定子商的右乘）:

设 $G$ 为一个群，设 $X$ 为一个集合，并假设我们有一个置换表示 $\pi :G\to \operatorname {Sym} (X)$ 是传递的。设 $x\in X$ 为任意元素，设 $G_{x}\leq G$ 为 $x$ 的逐点稳定子。考虑作用 $\rho :G\to \operatorname {Sym} (G/G_{x})$，通过左乘法，其中 $G/G_{x}$ 是 $G_{x}$ 的左陪集集合（实际上，除非作用是平凡的，否则在这种情况下它永远不会是正规子群，因为 $G_{gx}=g^{-1}G_{x}g$）。那么存在一个 $G$-同构，从 $X$ 到 $G/G_{x}$.

证明： 我们定义 $f:G/G_{x}\to X$ 如下： $gG_{x}$ 将被映射到 $gx$。 首先，我们证明这个映射是良定义的。 事实上，假设我们取 $h\in G_{x}$。 那么 $ghG_{x}$ 被映射到 $ghx=x$。 然后我们注意到，该映射通过传递性是满射的。 最后，它也是单射的，因为只要 $gx=hx$，我们有 $h^{-1}gx=x$，通过在两边应用 $h^{-1}$ 并使用群作用的性质，因此 $h^{-1}g\in G_{x}$，也就是说 $gG_{x}=hG_{x}$。 那么 $f(ghG_{x})=g(hx)$ 直接从定义中得出，因此我们确实得到了一个表示的同构。 $\Box$

我们现在可以推导出置换表示的一些标准公式。

定理（轨道-稳定子定理）:

设 $G$ 是一个群，设 $\pi :G\to \operatorname {Sym} (X)$ 是一个关于集合 $X$ 的置换表示。 那么

$|Gx|=[G:G_{x}]$.

证明： $G$ 在 $Gx$ 上是可传递的。上面的 $G$ -同构，在 $Gx$ 和 $G/G_{x}$ 之间是双射的，因为它在集合范畴中的同构。但是符号 $[G:G_{x}]$ 代表 $|G/G_{x}|$ 。 $\Box$

定理（类方程）:

令 $G$ 为有限群，并令 $\pi :G\to \operatorname {Sym} (X)$ 为有限集 $X$ 上的置换表示。则

$|X|=\sum _{j=1}^{n}[G:G_{x_{j}}]$,

其中 $Gx_{1},\ldots ,Gx_{n}$ 是 $G$ 的轨道，并且 $Gx_{k}\neq Gx_{j}$ 当 $k\neq j$ 时。(我们也说 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 是 $G$ 轨道的代表元系。）

证明： $G$ 在每个轨道上是可传递的，并且轨道对 $X$ 进行划分。因此，根据轨道-稳定子定理，

$|X|=\sum _{j=1}^{n}|Gx_{j}|=\sum _{j=1}^{n}[G:G_{x_{j}}]$. $\Box$

定义（不动点集）:

令 $G$ 是作用于集合 $X$ 上的群，且 $S\subseteq G$ 是 $G$ 的子集。那么 $S$ 的不动点集定义为

$\operatorname {Fix} (S):=\{x\in X|\forall s\in S:sx=x$.