群论/特征子群

定义（特征子群）:

令 $G$ 为一个群。$G$ 的特征子群是指一个子群 $H\leq G$，满足对于所有 $\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)$ 都有 $\varphi (H)=H$。

命题（特征子群是正规子群）:

群 $G$ 的任何特征子群都是 $G$ 的正规子群。

证明： 因为映射 $j\mapsto g^{-1}jg$ 是 $G$ 的群自同构。 $\Box$

定义（特征单群）:

群 $G$ 称为特征单群当且仅当其唯一的特征子群为 $G$ 和 $\{e\}$，其中 $e$ 表示 $G$ 的单位元。

命题（特征单群）:

设 $G$ 是一个特征单有限群，设 $H$ 是它的任何一个极小正规子群。那么 $G$ 同构于 $H$ 的多个副本的乘积，也就是说，$G\cong \prod _{\alpha \in A}H$，其中 $A$ 是一个索引集（有限基数）。

证明：设 $M$ 是 $G$ 的一个子群，它满足以下两个条件且为极大子群

1. $M$ 是 $H$ 在 $\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)$ 下的像的直和
2. $M$ 是正规子群

假设 $M\neq G$。注意，群 $\langle \varphi (H)|\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)\rangle$ 是特征群，因此它等于整个 $G$。因此，我们发现 $\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)$ 使得 $\varphi (H)$ 不是 $M$ 的子群。由于 $\varphi$ 是一个自同构，$\varphi (H)\triangleleft G$，因此 $M\cap \varphi (H)=\{e\}$。由于 正规子群的乘积是正规的，我们得出结论，乘积子群 $M\varphi (H)\triangleleft G$ 是一个正规子群，它是 $H$ 在 $G$ 中的同态像的直积，这与 $M$ 具有这些性质的最大性相矛盾。因此，$M=G$，我们完成了。 $\Box$

命题（特征单群的极小正规子群是单群）:

设 $G$ 是一个特征单群，设 $H\triangleleft G$ 是 $G$ 的极小正规子群。那么 $H$ 是单群。

证明： $\Box$

命题（特征单群的幂是特征单群）:

我们得出结论

定理（有限特征单群的结构定理）:

有限特征单群就是单群的幂。

证明：我们已经看到，每个特征单有限群都是其任何极小正规子群的同构像的直接积，并且后者在特征单群中总是单群。我们得出结论，每个有限特征单群都是单群的幂。反之，设$H$ 是一个单群，$n\in \mathbb {N}$，并设置

$G:=H^{n}:=\overbrace {H\times \cdots \times H} ^{n{\text{ times}}}$. $\Box$

练习

1. 证明 $\mathbb {Z} _{6}$ 的所有子群都是特征子群。
2. 设$H,L$ 是两个有限单群，使得$|L|$ 可被一个素数 $p$ 整除，该素数不能整除$|H|$。利用特征单群的结构定理证明$H\times L$ 不是特征单群。
3. 证明特征单群的子群不一定是特征单群。
4. 证明最小正规子群不同构的特征单子群的乘积不是特征单群。