群论/交换子、可解群和幂零群

定义（交换子）:

设$G$ 是一个群，设 $a,b\in G$。那么 $a$ 和 $b$ 的交换子定义为元素

$[a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab\in G$.

{{definition|交换子

命题（交换子构成一个子群）:

设$G$ 是一个群。那么集合$\{[a,b]|a,b\in G\}$ 构成$G$ 的一个子群。

证明：根据子群判别法，只需证明对于$a,b,c,d\in G$，元素$[a,b][c,d]^{-1}$ 是$[e,f]$ 的形式，其中 $e,f\in G$ 是合适的。实际上，

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定义（交换子群）:

设$G$ 是一个群。那么$G$ 的交换子群定义为$[G,G]$.

定义（完全群）:

群$G$ 称为完全群当且仅当 $[G,G]=G$.

命题（完全群的次直积正规积是直积）:

令 $H_{1},\ldots ,H_{n}$ 是完美群，并令

$N\trianglelefteq H_{1}\times \cdots \times H_{n}$

是 子直积，同时也是它们外直积的正规子群。 那么事实上 $N=H_{1}\times \cdots \times H_{n}$.

证明：只要证明，无论何时 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 且 $g,h\in H_{k}$，那么

$(1,\ldots ,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g^{-1}h^{-1}gh}},1\ldots ,1)\in N$,

因为 $H_{k}$ 是完美群。 因此，令 $h\in H_{k}$ 为任意元素，并选择 $(h_{1},\ldots ,h_{n})\in N$，其中 $h_{j}\in H_{j}$ 对于所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$，使得 $h_{k}=h$。 因为 $N$ 是子群且为正规子群，元素

$(1,\ldots ,1,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g^{-1}}},1,\ldots ,1)(h_{1}^{-1},\ldots ,h_{n}^{-1})(1,\ldots ,1,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g}},1,\ldots ,1)(h_{1},\ldots ,h_{n})=(1,\ldots ,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g^{-1}h^{-1}gh}},1\ldots ,1)$

位于 $N$ 中。 $\Box$

定义（可解）:

命题（群可解当且仅当最大正规子群可解）:

设 $G$ 是一个群，设 $H\triangleleft G$ 是一个最大正规子群。则 $G$ 可解当且仅当 $H$ 可解。