群论/群、子群和构造

定义（群）:

一个群是一个集合 $G$，以及三个 运算，即

1. 一个零元运算 $e$，称为单位元，
2. 一个一元运算 $~^{-1}$，称为求逆运算，
3. 以及一个二元运算 $*$，称为群运算（也常被称为群的“运算”）

使得以下公理对 $G$ 的所有元素 $x,y,z$ 成立

1. $e*x=x$ (单位元 公理)
2. $x*x^{-1}=e$ (求逆 公理)
3. $(x*y)*z=x*(y*z)$ (结合律 公理)

定义（阿贝尔群）:

一个阿贝尔群是一个群 $G$，其运算（通常用 $+$ 表示）是 交换的。

命题（在群中计算的基本规则）:

设 $G$ 是一个群，群运算为 $*$，设 $x,y,z\in G$。那么我们有以下计算规则

1. $x*y=x*z\Rightarrow y=z$ 和 $y*x=z*x\Rightarrow y=z$（“消去律”）
2. $x^{-1}*x=e$
3. $x*e=x$

证明：首先要注意，当 $x*y=x*z$，我们可以在左侧使用 $*$ 乘以 $x^{-1}$，从而得到 $y=z$，利用单位公理和 $x^{-1}*x=e$得到左消去律，而右消去律的证明类似。然后，我们注意到，通过在左侧用 $x^{-1}$ 乘以逆公理 $x*x^{-1}=e$ 并使用单位公理，我们得到 $x^{-1}*x*x^{-1}=x^{-1}$，因此，由于单位公理表明 $e*x^{-1}=x^{-1}$，我们可以应用消去律得出 $x^{-1}*x=e$，证明了 2. 最后，$x*e=x*(x^{-1}*x)=(x*x^{-1})*x=e*x=x$。 $\Box$

今后，我们将有时将群的群运算简称为“运算”。

定义（相反群）:

设 $(G,*)$ 为一个群，其中 $*$ 表示 $G$ 的运算。 那么 $G$ 的 **对偶群** $G^{o}$ 被定义为与 $G$ 具有相同底集的群，但其群运算 $*'$ 由 $a*'b=b*a$ 给出，对于 $a,b\in G$ （反元素和单位元从 $G$ 中继承而来）。

命题（对偶群是群）:

只要 $G$ 是一个群，$G^{o}$ 也是一个群。

**证明：** 我们需要检查给定运算的公理是否满足。 首先注意到 $x*'x^{-1}=x^{-1}*x=e$ 以及 $e*'x=x*e=x$，根据 上面推导出的规则。 最后，$(x*'y)*'z=z*(y*x)=(z*y)*x=x*'(y*'z)$。 $\Box$

定义（子群）:

设 $G$ 为一个群。一个子集 $H\subseteq G$ 被称为 $G$ 的 **子群** 当且仅当它与 $G$ 的群运算一起本身是一个群（特别地，对于所有的 $h,h'\in H$ 我们必须有 $h*h'\in H$）。

注意：通常，群运算的显式符号被省略，两个元素的乘积仅用并置表示。

具有包含映射 $\iota :H\to G$ 的子群表示群的 子对象。

命题（子群判别法）:

设 $G$ 为一个群，$H\subseteq G$ 为一个子集。则 $H$ 为 $G$ 的子群当且仅当 $a\in H\wedge b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H$。

证明：首先假设 $H$ 是一个子群。那么该条件直接由 $H$ 对求逆运算和群运算封闭得到。另一方面，如果满足该条件，令 $a=1$，则表明 $H$ 对求逆运算封闭，令 $b=c^{-1}$，则表明它对群运算封闭。最后，令 $b=a$，则表明 $H$ 包含单位元。结合律和单位元必须满足的定律是从 $G$ 的群运算中自动继承的。 $\Box$

练习

1. 明确右消去律的证明（“右消去律”意味着 $y*x=z*x\Rightarrow y=z$）。
2. 令 $G$ 是一个群，令 $H,J\leq G$ 是子群，使得既不满足 $H\subseteq J$ 也不满足 $J\subseteq H$。证明 $H\cup J$ 不是 $G$ 的子群。
3. 令 $G=\{1,-1\}$ 以及运算 $1*1=1=-1*-1$，$1*-1=-1*1=-1$。
   1. 详细证明 $G$ 与运算 $*$ 构成一个群。
   2. 证明在 $G\times G$ 中，存在一个子群，它不等于 $H\times L$，其中 $H,L\leq G$ 是 G 的子群。