群论/群对象和扭子

定义（群对象）:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有终对象的范畴，我们将其记为 $I$。 ${\mathcal {C}}$ 的**群对象**由以下部分组成：

1. 一个 ${\mathcal {C}}$ 中的对象 $G$，使得范畴乘积 $G\times G$，$G\times (G\times G)$ 和 $(G\times G)\times G$ 存在
2. 一个态射 $\mu :G\times G\to G$，看作乘法态射，
3. 一个态射 $\eta :T\to G$，看作恒等映射（即使 $G$ 可能甚至不是一个集合）
4. 以及一个态射 $\iota :G\to G$，看作反演态射

它们满足以下方程

1. $\mu \circ (\iota ,\operatorname {Id} _{G})=\mu \circ (\operatorname {Id} _{G},\iota )=\operatorname {Id} _{G}$（单位律）
2. $\mu \circ (\operatorname {Id} _{G},\iota )\circ \Delta =\mu \circ (\iota ,\operatorname {Id} _{G})\circ \Delta =\eta \circ t$，其中 $\Delta$ 表示 $G$ 的对角线，而 $t:G\to T$ 是由终对象定义（逆律）给出的唯一态射。
3. $\eta \circ (\eta ,\operatorname {Id} _{G})=\eta \circ (\operatorname {Id} _{G},\eta )\circ \alpha$，其中 $\alpha :(G\times G)\times G\to G\times (G\times G)$ 是规范的同构（结合律）。

这里，我们用 $(f,g):A\times B\to C\times D$ 表示由两个映射 $f:A\to C$ 和 $g:B\to D$ 诱导的态射，并由乘积的泛性质确定，从 $A\times B$ 到 $C$ 的映射由 $f\circ \pi _{A}$ 给出，而从 $A\times B$ 到 $D$ 的映射由 $g\circ \pi _{B}$ 给出。

定义（群对象的作用）:

设 ${\mathcal {C}}$ 是一个具有终对象的范畴，设 $G$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的一个群对象。设 $X$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的另一个对象。一个 $G$ 的 **作用**