群论/对称群

定义（对称群）:

设 $X$ 为一个集合。那么 $X$ 的 **对称群** 定义为

\operatorname {Sym} (X):=\operatorname {Aut} _{\textbf {Set}}(X)

;

也就是说，它是所有从 $X$ 到自身的双射函数的集合，以合成作为运算。

定义（置换）:

根据定义，**置换** 是 $\operatorname {Sym} (X)$ 的一个元素。

命题（对称群本质上只取决于基础集的基数）:

设 $X,Y$ 为具有相同基数的集合。那么存在一个群同构

\operatorname {Sym} (X)\cong \operatorname {Sym} (Y)

.

**证明：** 假设 $\phi :X\to Y$ 是一个双射函数。那么群同构由以下给出

\operatorname {Sym} (X)\ni f\mapsto \phi \circ f\circ \phi ^{-1}

;

事实上，逆由以下给出

\operatorname {Sym} (Y)\ni g\mapsto \phi ^{-1}\circ g\circ \phi

.

\Box

定义（有限对称群）:

设 $n\in \mathbb {N}$ . 那么 ** $n$ 阶对称群**，记为 $S_{n}$ ，定义为

S_{n}:=\operatorname {Sym} (\{1,\ldots ,n\})

.

定理（凯莱定理）:

设 $G$ 为一个有限群，并设 $n:=|G|\in \mathbb {N}$ . 那么 $S_{n}$ 中存在一个子群同构于 $G$ .

证明： $G$ 在集合范畴中通过左乘自身传递。这意味着我们有一个群同态 $\rho :G\to \operatorname {Aut} _{\textbf {Set}}(G)\cong S_{n}$ 。此外，这个同态是单射的；实际上，只有 $G$ 中的单位元才能诱导出 $S_{n}$ 中的单位元。因此，结论由第一个 Noether 同构定理得出。 $\Box$

定义（排列的矩阵表示）:

在域 $\mathbb {F}$ 上的向量空间范畴中， $S_{n}$ 的表示为

\rho :S_{n}\to \operatorname {Aut} (\mathbb {F} ^{n}),\sigma \mapsto [(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})]

被称为包含在 $S_{n}$ 中的排列的矩阵表示。

定义（符号）:

令 $\sigma \in S_{n}$ 是一个排列。那么 $\sigma$ 的符号，记为 $\operatorname {sgn}(\sigma )$ ，定义为 $(-1)^{k}$ ，其中存在 $k$ 个对换 $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ 使得 $\sigma =\tau _{1}\tau _{2}\cdots \tau _{k}$ 。

以下命题表明这个概念是定义良好的

命题（排列符号的等价刻画）:

定义（交错群）:

令 $n\in \mathbb {N}$ 。那么交错群， $S_{n}$ 的一个子群，定义为

A_{n}:=\ker \operatorname {sgn} =\{g\in S_{n}|\operatorname {sgn}(g)=1\}

.

命题（交错群在对称群中是极大且正规的）:

令 $n\in \mathbb {N}$ 。那么 $A_{n}\triangleleft S_{n}$ ，并且 $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的一个极大子群。

特别地， $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 中的一个极大正规子群（即在所有正规子群中是极大的）。

证明： 首先注意到 $A_{n}$ 作为群同态的核是正规的。然后我们有 $\operatorname {sgn}$ 是从 $S_{n}$ 到 $\mathbb {Z} _{2}$ 的群同态，根据第一个 Noether 同构定理， $Z_{2}\cong S_{n}/A_{n}$ 。特别地，只有 $A_{n}$ 的两个陪集。假设存在一个子群 $A_{n}\lneq H\lneq S_{n}$ 。然后根据度数公式，我们将有 $[S_{n}:H][H:A_{n}]=2$ ，因此要么 $[S_{n}:H]=1$ 或者 $[H:A_{n}]=1$ 。在这两种情况下，其中一个包含关系不是严格的，这与我们的假设相矛盾。 $\Box$