游戏开发指南/理论/数学/对数

这是一个对数图的例子，它是指数图在直线 y=x 上的反射。

关于

对数是回答这个问题的答案：“我需要将这个已知数提高到多少次幂才能得到另一个已知数？”

问题的例子

$2^{x}=32$

改写成对数

$\log _{2}(32)=x$

你会把它读作“以2为底的对数32”。

从图中可以看出，对数不能为负数。仔细想想，这很有道理，因为它是一个指数图的反射。当您有一个正数，并将它提高到任何数的幂时，结果始终为正数，永不为 0；因此，对数的定义域如下：$\log _{a}(x),x>0$.

组合对数

在组合对数时，您应该了解 3 条规则。

$\log _{k}a+\log _{k}b=\log _{k}ab$

$\log _{k}a-\log _{k}b=\log _{k}{\frac {a}{b}}$

$a\log _{k}(b)=\log _{k}(b^{a})$

展开对数

在展开对数时，您只需执行组合对数的逆操作即可。

示例 1

$\log _{4}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{5^{3}y}}{\bigg )}=\log _{4}(x^{2})-\log _{4}(5^{3}y)=\log _{4}(x^{2})-\log _{4}(5^{3})+\log _{4}(y)=2\log _{4}(x)-3\log _{4}(5)+\log _{4}(y)$

示例 2（需要了解指数）

$\log _{9}{\bigg (}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{5}}}{\bigg )}=\log _{9}{\bigg (}{\frac {1}{5^{\frac {1}{3}}}}{\bigg )}=\log _{9}(5^{-{\frac {1}{3}}})=-{\frac {1}{3}}\log _{9}5$

对数与指数的抵消

还有几个你需要知道的规则。

$\log _{a}a^{x}=x$

$a^{\log _{a}x}=x$

$\log _{a}b={\frac {\log _{n}a}{\log _{n}b}}$ 其中 $n$ 可以是任何数字。

$\log _{a}1=0$

注意：如果您使用计算机进行复杂的算法，请尝试以 2 为底的对数表示您的答案，因为无论您输入什么底数，计算机都会将其转换为 2 为底。这样操作是为了避免计算机每次都进行转换，从而使算法运行速度更快。

使用这些规则平衡方程

因此，当您有一个普通方程时，您可以使用诸如“将两边乘以 2”或“将两边加上 3”之类的规则。使用对数和指数，您可以做类似的事情。

你现在可以

• “将两边以某个数字为底数进行指数运算”。
  • 示例使用

$log_{3}x=5\rightarrow 3^{log_{3}x}=3^{5}\rightarrow x=3^{5}$

• “将两边取对数（以相同底数）”。
  • 示例使用

$4^{x}=7\rightarrow \log _{4}(4^{x})=log_{4}7\rightarrow x=log_{4}7$

记号

数学常数 $e$ 通常与对数一起使用，因为它被称为对数的自然底数。

$e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995\dots$

对数已经开发出某些简写符号，如下所示

$\log _{e}(x)=\ln(x)$

$\log _{2}(x)=$ lb $(x)$

$\log _{10}(x)=\log(x)$

数量级

对于这个数量级，我们将使用 10 作为底数，因为我们使用的是十进制系统。

$\log _{10}1=0$

$\log _{10}10=1$

$\log _{10}100=2$

$\log _{10}1000=3$

$\log _{10}10000=4$

注意：请记住这是一个对数尺度，这意味着 10 和 100 之间的中间值 (55) 不会产生中间值 ($\log _{10}55\neq 1.5,\log _{10}55\approx 1.74$）。