高中化学/薛定谔波函数

在上一节课中，你学习了电子，事实上，所有有质量的物体都具有波动性。你可能会倾向于将物质波想象成和海浪、水坑中的波一样，但事实证明，物质波很特殊。不像海浪或水坑里的波，物质波是“被困”在空间中的，因此永远不会消失、逃逸或消失。如果你仔细思考，你会意识到大多数其他熟悉的波都不会这样。你可以用棍子搅动水坑来制造水坑里的波。当你这样做的时候，你会注意到你制造的波实际上是从你的棍子移动到水坑的边缘，然后消失。只要你用棍子扰动水坑，水坑中就会有波。但是只要你让水坑静止，水坑的表面就会变得像玻璃一样平静。物质波不是这样的。不像最终会随着逃逸出水坑而消失的水坑波，物质波永远不会消失，因为物质波不运动。因此，它们永远被困在包含它们的物质中。我们将在下一节中更多地讨论这些特殊的物质波。

课程目标

区分行波和驻波。
解释为什么电子形成驻波，以及这在它们的能量方面意味着什么。
定义电子波函数和电子密度，并将这些术语与在空间中的任何一点找到电子的概率联系起来。

电子被描述为驻波

你可能熟悉的波大多被称为行波，因为它们行进或移动。当你坐在冲浪板上，试图抓住一个好浪时，你经常会向海面望去，希望能发现一个“大浪”（图 6.3）。当你最终发现的时候，你知道，即使大浪可能离你很远，它最终也会到达你的冲浪板，把你带到岸边。当然，这意味着海浪是行波，因为它们实际上在水中移动。同样，如果你在看台观看奥克兰运动家队打球，你可能会发现自己在“浪潮”穿过体育场时跳起来欢呼（图 6.4）。同样，这也是一个行波的例子，因为它从体育场一端的球迷移动到另一端的球迷。然而，还有一些特殊的波会停留在一个地方。科学家称这些波为驻波。

在这本书的前面部分，我们描述了一种波，其中一根绳子被绑在树上，一个人上下抖动绳子的另一端，在绳子上制造了一个波。当一个波沿着绳子传播并遇到一个不可移动的边界（比如一棵树）时，波会从边界反射回来并沿着绳子传播回去。这会导致朝树传播的波和朝人传播的反射波之间发生干涉。如果这个人以合适的节奏调整他的手，他可以安排朝树传播的波的波峰和波谷与反射波的波峰和波谷完全重合。当这种情况发生时，波的明显水平运动会停止，波似乎在绳子的同一个位置“静止”。这被称为驻波。在这种情况下，波峰和波谷将保持在相同的位置，并且将在波峰和波谷之间出现节点，在那里绳子似乎根本没有移动。

在图 6.5 所示的驻波中，波峰和波谷的位置保持不变。波峰和波谷似乎在绳子的中心线上下交换位置。绳子穿过中心轴线的扁平区域被称为节点（零位移的位置）。这些节点位置不会改变。行波似乎在行进，而驻波似乎静止不动。

即使驻波本身不移动，它们实际上是由以相同速度向相反方向传播的行波组成的。当两个以相同速度向相反方向传播的行波组合在一起或相互碰撞时，就会形成驻波。在今天的实验中，你将学习如何通过从相反方向向跳绳输入行波来在跳绳中创建驻波。即使驻波不移动，它仍然可以“消失”。一旦形成驻波的行波消失，驻波本身也会消失。你将在跳绳实验中亲眼看到这一点。当你停止弹跳跳绳时，跳绳会变松，驻波就会消失。

那么，为什么驻波经常与“被困”的波或永不消失的波相关联呢？驻波和被困波之间的联系不是误解或误解。事实证明，驻波几乎总是在行波被“困”在空间的小区域内时形成。想象一下，如果你把一整列行波关起来，扔进监狱会发生什么。那些行波可能会疯狂地跑遍监狱的牢房，试图逃跑。无论它们多么努力，它们最终都会撞到监狱牢房的墙壁。因此，可怜的波会来回、来回地从牢房的一端反弹到另一端。现在，如果在同一牢房中有几列行波被困在同一时间，一组波最终会从左墙反弹，与另一组波同时（和相同速度）从右墙反弹。当然，这正是建立“驻波”所需要的（两个以相同速度向相反方向传播的波）。

你在上一节课中学习到的电子波由于被困在原子内部而形成驻波。你认为是什么可能将电子波囚禁在原子内部？答案当然是因为电子被强烈地吸引到原子核中的质子。利用物理定律来描述电子和质子之间的吸引力，科学家可以计算出任何电子的牢房的大小和形状。令人惊讶的是，通过知道电子的牢房的大小和形状，科学家可以告诉你特定的电子驻波看起来会是什么样子。

通常，科学家使用所谓的电子波函数来描述电子驻波，而不是使用文字。由一个名叫埃尔温·薛定谔的人首次开发的电子波函数是描述电子驻波在空间中的每个点上的大小或“高度”的数学表达式。现在，让我们讨论一下电子能量，电子能量是另一个重要的电子性质，可以用电子驻波及其相关的波函数来解释和预测。

每个波函数都有一个允许的能量值

只要电子被困在原子内部，它们就会形成驻波，因此为了理解和预测电子的行为，了解电子驻波非常重要。电子驻波可以帮助预测的最重要的性质之一是电子能量。原子中电子的能量取决于电子被困在原子内部时的驻波的大小和形状。因此，科学家可以使用波函数或电子驻波的数学描述来计算出电子具有的能量。

虽然波函数有助于预测电子具有多少能量，但它们也有助于预测电子允许具有的能量。在任何有限的空间中，例如盒子、牢房或原子，只有某些驻波是可能的。为什么？为了存在，驻波必须从盒子的一侧开始，并在另一侧结束。那些不在盒子开始的地方开始或不在盒子结束的地方结束的波是不允许的。图 6.6 显示了几种允许的驻波和几种禁止的驻波。请注意，如果波不能完美地“拟合”到盒子中，它就不允许。

现在，将电子描述为驻波，真正奇怪的事情来了。由于只有某些驻波才能完美地拟合到原子中，因此被困在该原子中的电子只能具有一定电子波函数，并具有一定电子能量。换句话说，驻波图解释了为什么某些能量值是“允许的”（与“完美地拟合”到原子中的驻波相关的能量值），而其他能量值是“禁止的”能量值（与不“完美地拟合”到原子中的驻波相关的能量值）。这正是玻尔在开发他的模型来解释原子光谱时所说的！玻尔说电子可以在特定的“允许”能级上存在，但它们不能存在于这些能级之间。然而，玻尔没有解释为什么只允许某些能级。值得注意的是，电子的驻波描述预测了量子化的电子能量，就像玻尔模型一样！

当我们表示原子内的电子时，量子力学要求波必须“拟合”到原子内，以便波在没有重叠的情况下与自身相遇；也就是说，原子内的“电子波”必须是驻波。如果波要以圆形排列以便它与自身相连，则只有当圆形中存在整数个波时，波才能发生。

图 6.7 中左侧的驻波完全拟合到电子云中，因此代表“允许的”能级，而右侧的驻波不拟合到电子云中，因此不是“允许的”能级。只有在波长完全拟合以形成驻波的特定能量（频率）下，才会有这些能量。这些是玻尔模型所建议的相同能级，但现在有一个原因可以解释为什么电子只能具有这些能量。

马克斯·玻恩和概率模式

很少有科学家，如果有的话，能够将电子在化学键合或化学反应过程中的行为可视化为驻波。当化学家被要求描述电子在化学变化过程中的行为时，他们不会描述量子力学的数学方程，也不会讨论驻波。电子在化学反应中的行为最好用粒子的角度来理解。

欧文·薛定谔物质波的波动方程类似于自然界中其他波动运动的已知方程。该方程描述了与电子相关的波如何在空间中变化，因为电子在各种力作用下移动。薛定谔计算出了他的方程对于氢原子的解，结果与玻尔关于这些原子能级的值的计算结果一致。此外，该方程可以应用于更复杂的原子。发现薛定谔方程在几乎所有情况下都能正确描述电子的行为。尽管波动方程在描述电子能量方面取得了巨大成功，但波的真正含义仍然模棱两可。

一位名叫马克斯·玻恩的物理学家能够将一些物理意义赋予量子力学的数学。玻恩利用薛定谔方程的数据，展示了找到电子作为粒子的可能性，在空间中的点上，薛定谔方程得到了解决。玻恩的想法使化学家能够将波动方程的结果可视化为电子位置的概率模式。

假设我们拥有一台快门速度如此快的相机，它可以拍摄电子云中电子的照片，并将其显示为冻结在位置。然后，我们可以对该电子拍摄一千张照片，并在不同的时间找到它在原子中的许多不同位置。然后，我们可以在一张照片上绘制所有不同的电子位置。

图 6.8 显示了在氢原子电子云中绘制单个电子的许多不同位置的结果。查看此图片的一种方式是，它表明您可能在该原子中找到电子的可能性。当然，您必须认识到，这些点不是电子；该原子只有一个电子。这些点是电子在不同时间可以找到的位置。从这张图片可以清楚地看出，电子在原子核附近花费的时间比远离原子核的时间更多。当您远离原子核时，找到电子的可能性越来越小。同样重要的是要注意，该电子云没有边界。也就是说，从原子核到概率变为零的距离不存在。

在我们将对原子进行的大多数工作中，为原子设置边界非常方便。化学家通常选择某个距离，在这个距离之外，找到电子的可能性变得非常低，并任意地为原子绘制边界。通常，边界的位置使得 90% 或 95% 找到电子的可能性在边界内（图 6.9）。

在大多数情况下，我们将查看原子图，这些图显示了电子云的外部边界。但是，您应该记住，边界是为了方便我们而设置的，原子本身没有实际边界；也就是说，找到电子的概率永远不会变为零。这个概率图非常简单，因为它针对的是原子中的第一个电子。随着原子变得更加复杂（更多能级和更多电子），概率图也会变得更加复杂。

课程摘要

有两种类型的波——从一个地方移动到另一个地方的行波和静止的驻波。当两个以相同速度沿相反方向传播的行波叠加时，就会形成驻波。原子中的电子形成驻波，因为它们被原子核中质子的正电荷与其负电荷之间的吸引力所束缚。这些吸引力决定了电子驻波的形状和大小。
称为波函数的数学表达式用于描述原子中电子的驻波。任何原子中电子的能量取决于电子驻波的大小和形状。波函数可用于确定电子被困在原子内时的能量。
原子中的电子只允许具有某些能级（即——那些与“完美拟合”到原子中的驻波相对应的能级）。所有其他电子能量都是禁止的。电子的概率模式（电子密度）显示了在给定点找到电子的可能性。

复习题

在以下每个语句中选择正确的词。
(a) 原子内给定位置的电子密度越（高/低），您越有可能在那里找到电子。

(b) 如果空间中某个点没有电子密度，则在那里找到电子的可能性（没有/很高）。

(c) 在某个点找到电子的可能性越高，该点的电子密度就越（高/低）。
氢离子 H⁺ 没有电子。氢原子的总电子密度是多少？
判断以下每个语句是正确还是错误。
(a) 在任何特定原子中，只允许某些电子驻波。

(b) 在任何特定原子中，只允许某些电子能量。
用于描述电子驻波的数学表达式的名称是_________。
选择正确的语句。
(a) 爱因斯坦首先开发了用波函数描述电子驻波的方法

(b) 普朗克首先开发了用波函数描述电子驻波的方法

(c) 德布罗意首先开发了用波函数描述电子驻波的方法

(d) 薛定谔首先开发了用波函数描述电子驻波的方法
圈出以下所有正确的语句。
(a) 电子的波函数描述预测电子像行星绕太阳运行一样绕原子核运行。

(b) 电子的波函数描述预测电子能量是量子化的

(c) 玻尔原子模型表明电子能量是量子化的。
填空。
(a) 由于原子中电子的能量只允许某些值，因此我们说电子能量是_________。

(b) 允许的电子能量对应于_________，它们完美地拟合到原子中。
禁止的电子能量对应于_________，它们_________到原子中。

词汇表

电子密度: 电子的波函数的平方，它与在空间中特定点找到电子的概率有关。
电子波函数: 一个数学表达式，用于描述电子驻波在空间中每个点的幅度或“高度”。
驻波: 不传播或移动的波。当两个以相同速度沿相反方向传播的行波相遇并叠加时，就会形成驻波。
行波: 传播或移动的波。

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