高中数学扩展/皮亚诺公理

皮亚诺公理，也称为皮亚诺公理、戴德金-皮亚诺公理或皮亚诺公设，是一系列试图通过简单、直观的公理来形式化自然数（$\mathbb {N}$）的公理。

简介

在皮亚诺的时代，数学符号整体——尤其是数学逻辑——是一个新领域，而对二阶逻辑的常见概念并不存在。 皮亚诺自己对逻辑的符号并不流行，但他确实推广了类似于表示集合元素（$A\in B$）的常见方式，使用$\epsilon$。 虽然我们不会使用皮亚诺的旧符号，但我们将使用您应该从本书的集合论章节 中熟悉的通用符号来表达这些公理。

皮亚诺公理描述了自然集合的性质，通常表示为 N 或黑板粗体，$\mathbb {N}$。 第一个公理指出 0 是一个自然数。

1. $0\in \mathbb {N}$。 ("零是一个自然数")

接下来的四个公理描述了自然集合最重要的性质，等价关系。

2. $\forall x\in \mathbb {N} :x=x$。 ("所有自然数都等于自身")

3. $\forall x,y,z\in \mathbb {N} :x=y,y=z\implies x=z$。 ("等式是传递的")

4. $\forall x,y\in \mathbb {N} :x=y\implies y=x$。 ("等式是对称的")

5. $\forall x\in \mathbb {N} :x=y\implies y\in \mathbb {N}$。 ("如果 x 是自然数，且 x 等于 y，则 y 是自然数")

在此之后，皮亚诺引入了后继函数的概念，通常用 $\mathbf {S}$、${\widehat {S}}$ 或 $\mathrm {succ}$ 表示。

6. $\forall x\in \mathbb {N} :\mathrm {succ} (x)\in \mathbb {N}$ 。（“任何自然数的后继都是一个自然数”）

7. $\forall x,y\in \mathbb {N} :\mathrm {succ} (x)=\mathrm {succ} (y)\iff x=y$ 。（“后继函数是一个单射”）

8. $\mathrm {succ} (x)=0\implies \bot$ 。（“不存在这样的 x，使得 x 的后继是 0”）

直观的理解是，我们可以通过不断应用后继函数来构建整个自然数集，但公理中并没有真正呈现这一点。因此，我们有动机添加 归纳公理，这个公理通常被误认为是皮亚诺公理的一部分，但它并没有出现在皮亚诺最初的构造中。

我们也可以简单地说，自然数集可以通过不断应用后继函数来构建。

9. 自然数集 $\mathbb {N}$ 可以通过不断应用后继函数来构建。