高中数学扩展/集合论与无穷过程/解答

高中数学扩展

补充章节 — 素数与模算术 — 逻辑

数学证明 — 集合论与无穷过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步的模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

集合论与无穷过程

目前，主要精力集中在编写每个章节的主要内容。因此，本练习解答部分可能已过时，并显得杂乱无章。

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这些解答并非由本书的作者编写。它们只是我在做练习时认为正确的答案。我希望这些答案对某些人有用，也希望人们能纠正我的工作，如果我犯了什么错误。

无穷有多大？练习

偶数的个数与自然数的个数相同，因为它们都是可数无穷大。您可以清楚地看到一对一的对应关系。（E 代表偶数，不是像 N 这样的正式集合）

E N

2 1

4 2

6 3

8 4

2. 平方数的个数也等于自然数的个数。它们都是可数无穷大，可以建立一对一的对应关系。（S 代表平方数，不是像 N 这样的正式集合）

S N

1 1

4 2

9 3

16 4

3. 小于 100 的偶数的基数不等于小于 100 的自然数的基数。您可以简单地列出它们并计算数字。然后您将看到，小于 100 的偶数的基数是 49，而小于 100 的自然数的基数是 99。因此，小于 100 的自然数集大于小于 100 的偶数集。无穷集与有限集之间最大的区别在于，有限集不能与任何子集建立一对一的对应关系，而无穷集至少可以与一个子集建立一对一的对应关系。
4. 每个部分的和都在下面给出

无穷大 + 1 = 无穷大

您可以通过取一个基数为 1 的集合来证明这一点，例如只包含数字 0 的集合。您只需将此集合添加到可数无穷大的集合前面，即可将无穷大的集合与无穷大+1 的集合建立一对一的对应关系。

N N+1

1 0

2 1

3 2

4 3

无穷大 + A = 无穷大（其中 A 是一个有限集）

你只需将有限集放在无限集的前面，就像上面那样，只是有限集不再需要有 1 的基数了。

无穷大 + C = 无穷大（其中 C 是一个可数无限集）

你依次从每个集合（无穷大或 C）中取一个元素，这样就会使新的列表也成为可数无限集。

有理数集合比 N 大吗？练习

1. 要将矩阵从 Q' 更改为 Q，您需要采取的第一步是删除相同数字的多个条目。您可以通过在 gcd(topnr,bottomnr)≠1 时在表格中留出空格来做到这一点，因为当 gcd 不为 1 时，分数可以通过将分子和分母除以 gcd 来简化。这将为您留下以下表格。

{\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}

现在我们只需要在矩阵中添加零，我们就完成了。所以我们在零的位置加一列，只在其中写最上面的元素（0/1）（在这里取 gcd 不起作用，因为 gcd(0,a)=a）。这将留下以下表格，我们需要计算所有对角线上的分数才能看到 Q 是可数无限集。

{\begin{matrix}{\frac {0}{1}}&{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}

2. 要证明 $\infty \times \infty =\infty$ ，您必须创建一个表格，将一个无穷大放在水平行中，另一个无穷大放在垂直行中。现在您可以像计算 Q' 一样，以对角线方式开始计算表格中的位置数量。这是有效的，因为大小为 AxB 的表格包含 A*B 个位置。

还有更大的无穷大吗？练习

您必须使用一种方法将平面中的坐标映射到直线上的一个点，反之亦然，就像文本中描述的那样。这种方法向您展示了，对于直线上每个数字，在平面上都有一个位置，并且对于平面上每个位置，在直线上都有一个位置。因此，直线上的点数和平面上的点数是一样的。