高中三角学/三角形中的角

三角学这个词源于两个希腊词，分别表示“三角形”和“度量”。正如你将在本章中学习的那样，三角学涉及角度的测量，无论是三角形中的角度，还是旋转中的角度（例如，像时钟的指针一样）。鉴于角度在三角学研究中的重要性，在本课中，我们将回顾三角形及其角度的一些重要方面。我们将从对不同类型的三角形进行分类开始。

学习目标

根据边和角对三角形进行分类。
使用三角形内角和定理确定三角形中角的度数。
确定三角形是否相似。
使用相似三角形解决问题。

三角形及其内角

从形式上讲，三角形定义为一个3边形。这意味着三角形有3条边，所有边都是（直的）线段。我们可以根据边或根据角对三角形进行分类。下表总结了不同类型的三角形。

表 1.6：三角形的类型
名称	描述	注意
等边/等角	一个三角形，它有3条相等的边和3个全等的角。	这种类型的三角形是锐角三角形
等腰	一个三角形，它有两条相等的边和两个相等的角。	等边三角形也是等腰三角形。
不等边	一个三角形，它没有成对的相等边。
直角	一个三角形，它有一个90°角。	一个三角形不可能有多于一个90°角（见下文）。
锐角	一个三角形，它所有的三个角的度数都小于90°。
钝角	一个三角形，它有一个角大于90°。	一个三角形不可能有多于一个钝角（见下文）。

在下面的例子中，我们将对特定三角形进行分类。

例 1

确定哪个类别最能描述三角形

a. 边长分别为 3、7 和 8 的三角形。

b. 边长分别为 5、5 和 5 的三角形。

c. 边长分别为 3、4 和 5 的三角形。

解:

a. 这是一个不等边三角形。

b. 这是一个等边或等角三角形。它也是锐角三角形。

c. 这是一个不等边三角形，但它也是一个直角三角形。

虽然有不同类型的三角形，但所有三角形都有一点共同之处：三角形内角的和始终为 180°。如果你还记得一条直线构成一个“平角”，度数为 180°，那么你会明白为什么这是真的。现在考虑下面的图，它显示了三角形 *ABC*，以及通过顶点 *B* 画的一条平行于边 *AC* 的线。图下方是三角形内角和的证明。

如果我们将边 *AB* 和 *CB* 视为平行线之间的横截线，那么我们可以看到角 A 和角 1 是内错角。
同样，角 *C* 和角 2 是内错角。
因此，角 *A* 和角 1 全等，角 *C* 和角 2 全等。
现在注意角 1、2 和 *B* 构成一条直线。因此，三个角的和为 180°。
我们可以使用替换完成证明

m\angle 1+m\angle B+m\angle 2=180

m\angle A+m\angle B+m\angle C=180

我们可以利用这个结果来确定三角形中角的度数。特别地，如果我们知道两个角的度数，我们总是可以找到第三个角。

例 3

找出缺失角的度数。

a. 一个三角形有两个角，分别为 30° 和 50°。

b. 一个直角三角形有一个角为 30°。

c. 一个等腰三角形有一个角为 50°。

解:

a. 100°

180 - 30 - 50 = 100

b. 60°

该三角形是一个直角三角形，这意味着一个角为 90°。

所以我们有：180 − 90 − 30 = 60

c. 50° 和 80°，或 65° 和 65°

有两种可能性。首先，如果第二个角为 50°，则第三个角为 80°，因为 180 − 50 − 50 = 80。

在第二种情况下，50°角不是全等角之一。在这种情况下，另外两个角的和为 180 − 50 = 130。因此，这两个角分别为 65°。

请注意，关于三角形角度的信息并不能告诉我们边的长度。例如，两个三角形可能具有相同的三个角，但这两个三角形并不全等。也就是说，对应边和对应角的度数并不相同。但是，这两个三角形将是相似的。接下来，我们将定义相似性并讨论三角形相似的条件。

相似三角形

考虑这样一种情况：两个三角形有三个对全等的角。

这些三角形是相似的。这意味着对应角全等，对应边成比例。在上图所示的三角形中，我们有以下内容

三对全等角
$\angle A\cong \angle D,\angle B\cong \angle E{\text{and }}\angle C\cong \angle F$
一个三角形内部边的比率等于第二个三角形内部边的比率
${\tfrac {\overline {AB}}{\overline {BC}}}={\tfrac {\overline {DE}}{\overline {EF}}},{\tfrac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\tfrac {\overline {DE}}{\overline {DF}}},{\text{and }}{\tfrac {\overline {AC}}{\overline {BC}}}={\tfrac {\overline {DF}}{\overline {EF}}}$
对应边的比例相等
${\tfrac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\tfrac {\overline {BC}}{\overline {EF}}},{\tfrac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {DF}}},{\text{and }}{\tfrac {\overline {BC}}{\overline {EF}}}={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {DF}}}$

示例4

在上面的三角形中， ${\overline {AB}}=8,{\overline {BC}}=7,{\overline {AC}}=5,{\text{and }}{\overline {DE}}=4$ 。 DF 和 EF 的长度是多少？

解:

因为 ${\tfrac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\tfrac {\overline {BC}}{\overline {EF}}}$ ，所以 ${\tfrac {8}{4}}={\tfrac {7}{EF}}\Rightarrow 2={\tfrac {7}{EF}}\Rightarrow 2EF=7\Rightarrow EF={\tfrac {7}{2}}=3.5$ 。

类似地，因为 ${\tfrac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {DF}}}$ ，所以 ${\tfrac {8}{4}}={\tfrac {5}{EF}}\Rightarrow 2={\tfrac {5}{EF}}\Rightarrow 2EF=5\Rightarrow EF={\tfrac {5}{2}}=2.5$ 。

回顾一下，这些三角形被认为是相似的，因为它们有三个相等的角。这只是确定两个三角形相似的三种方法之一。下表总结了确定两个三角形相似的标准。

表 1.7：相似三角形的标准
标准	描述	示例
AAA	如果两个三角形的三对角对应相等，那么这两个三角形相似。
SSS	如果两个三角形的三对对应边成比例，那么这两个三角形相似。
SAS	如果两个三角形的两对对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

SSS 的一个特例是“HL”，即“斜边-直角边”。这是两个直角三角形相似的情况。这种情况将在下面的示例 5 中进行研究。

示例 5

确定这两个三角形是否相似。

解:

这两个三角形相似。

回想一下，对于每个直角三角形，我们可以使用勾股定理来找到缺失边的长度。在三角形 ABC 中，我们有

(AC)² + 8² =	10²
(AC)² + 64 =	100
(AC)² =	36
AC =	6

类似地，在三角形 DEF 中，我们有

(DF)² + 4² =	5²
(DF)² + 16 =	25
(DF)² =	9
DF =	3

因此，这两个三角形的边成比例，比例为 2:1。

因为我们总是可以这样使用勾股定理，所以如果一个三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似。这就是 HL 准则。

相似三角形的应用

相似三角形可以用来解决长度或距离成比例的问题。下面的例子将向你展示如何解决这类问题。

示例 6

使用相似三角形解决以下问题：

一棵树的影子长 24 英尺。一个身高 5 英尺的人站在树前面，他的影子长 8 英尺。这棵树大约有多高？

解:

这幅图显示了两个相似的直角三角形：人及其影子是其中一个三角形的两条直角边，树及其影子是另一个三角形的两条直角边。这两个三角形相似，因为它们的角：它们都有一个直角，并且它们共享一个角。因此，第三个角也相等，这两个三角形相似。

这两个三角形的长度之比是 3:1。如果我们用 h 来表示树的高度，我们有

{\frac {h}{24}}={\frac {5}{8}}\Rightarrow h=24\left({\frac {5}{8}}\right)=15ft.

课程总结

在本课中，我们回顾了三角形的关键方面，包括不同类型三角形的名称、三角形内角和、相似三角形的判定条件。在最后一个例子中，我们使用相似三角形来解决一个关于未知高度的问题。总的来说，三角形对于解决这类问题很有用，但请注意，我们并没有使用三角形的角度来解决这个问题。这种技术将是你将在本章后面解决的问题的重点。

值得思考的点

为什么一个三角形不可能有两个以上的直角？
为什么一个三角形不可能有两个以上的钝角？
一个角的度数可以有多大？

复习题

三角形 ABC 是一个等腰三角形。如果边 AB 长 5 英寸，边 BC 长 7 英寸，那么边 AC 长多少？
直角三角形可以是钝角三角形吗？解释一下。
一个三角形有一个角是 48°，另一个角是 28°。这个三角形的第三个角是多少度？
断言：任何直角三角形中的两个非直角都是互余的。
(a) 解释为什么这个断言是正确的。

(b) 使用这个断言来找到下面三角形的第三个角的度数。
在三角形 DOG 中，角 O 的度数是角 D 的度数的两倍，角 G 的度数是角 D 的度数的三倍。这三个角的度数是多少？
下面的三角形 ABC 和 DEF 相似。 ${\overline {DF}}$ 的长度是多少？
在上面的三角形 ABC 和 DEF 中，如果角 A 的度数是 30°，那么角 E 的度数是多少？
确定这两个三角形是否相似
(a)

(b)
一栋建筑物的影子长 100 英尺，而建筑物旁边的一根 20 英尺高的旗杆的影子长 24 英尺。这栋建筑物有多高？
用你自己的语言解释一下三角形相似意味着什么。

答案

5 英寸或 7 英寸。
直角三角形不能是钝角三角形。如果一个三角形是直角三角形，那么它有一个角是 90 度。如果一个三角形是钝角三角形，那么它有一个角大于 90 度。因此，这两个角的和将大于 180 度，这是不可能的。
104°
(a) 三角形内角和为 180 度。如果你减去 90 度的角，你将得到 180 - 90 = 90 度，这是剩余两个角的和。

(b) 90 - 23 = 67°
$m\angle D=36^{\circ }$
$m\angle O=72^{\circ }$
$m\angle G=108^{\circ }$
7.5
130°
(a) 否

(b) 是，根据 SSS 或 HL
83 ${\tfrac {1}{3}}$ 英尺
答案可能不同。答案应该包括 (1) 三对相等的角和 (2) 成比例的边，或者其他关于“放大”或“缩小”的概念。

词汇

锐角: 锐角的度数小于 90 度。
全等: 如果两个角的度数相同，那么这两个角全等。如果两条线段的长度相同，那么这两条线段全等。
锐角三角形: 所有角都是锐角的三角形。
等腰三角形: 有两条边相等，因此有两个角相等的三角形。
等边三角形: 三条边都相等，因此三个角都相等的三角形。
不等边三角形: 没有一对边相等的三角形。
直角边: 直角三角形中较短的两条边之一。
斜边: 直角三角形中最长的边，与直角相对。
钝角: 度数大于 90 度的角。
平行线: 永远不会相交的直线。
直角: 度数为 90 度的角。
横截线: 与平行线相交的直线。

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