高中三角学/定义三角函数

假设你正在建造一个坡道，以便轮椅使用者能够进入一栋建筑。如果坡道必须高 8 英尺，并且坡道的角度必须约为 5 度，那么坡道必须有多长？

解决这类问题需要三角学。回顾第一课，你了解到三角学这个词来自两个意思为“三角形”和“测量”的词。在本课中，我们将定义六个三角函数。对于这些函数中的每一个，域的元素都是角度。我们将通过两种方式定义这些函数：首先，使用直角三角形，其次，使用旋转角度。一旦我们定义了这些函数，我们就可以解决像上面提到的那样的问题。

学习目标

• 找到直角三角形中角度的六个三角函数的值。
• 找到旋转角度的六个三角函数的值。
• 使用单位圆中的角度。

正弦、余弦和正切函数

我们将处理的第一个三个三角函数是正弦、余弦和正切函数。如上所述，这些函数的域的元素是角度。我们可以用直角三角形来定义这些函数：函数的范围的元素是三角形边长的特定比率。

我们定义正弦函数如下：对于直角三角形中的一个锐角 *x*，sin *x* 是该角对边与三角形斜边的比率。例如，在上面显示的三角形中，我们有

$\sin(A)={\frac {a}{c}}$

$\sin(B)={\frac {b}{c}}$

由于所有具有相同锐角的直角三角形都是相似的，因此无论使用哪个三角形，该函数都会产生相同的比率。因此，它是一个定义良好的函数。

类似地，一个角的余弦定义为该角的邻边（靠近）与三角形斜边的比率。在上面的三角形中，我们有

$\cos(A)={\frac {b}{c}}$

$\cos(B)={\frac {a}{c}}$

最后，一个角的正切定义为该角的对边与邻边的比率。在上面的三角形中，我们有

$\tan(A)={\frac {a}{b}}$

$\tan(B)={\frac {b}{a}}$

关于我们编写这些函数的方式，有一些重要事项需要注意。首先，请记住，缩写 sin( *x* )、cos( *x* ) 和 tan( *x* ) 与 *f* ( *x* ) 类似。它们简化了对特定类型函数的表示。其次，请注意你如何发音函数的名称。当我们写 sin *x* 时，它仍然发音为“正弦”，长音“i”。当我们写 cos *x* 时，我们仍然说“余弦”。当我们写 tan *x* 时，我们仍然说“正切”。（有时人们会非正式地说“cos”和“tan”，但是，毫不奇怪，“sin”总是发音为“正弦”！）

我们可以使用这些定义来找到直角三角形中角度的正弦、余弦和正切值。

示例 1 找到角 A 的正弦、余弦和正切。 解决方案: $\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {4}{5}}$ $\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {3}{5}}$ $\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {4}{3}}$

这些函数能够帮助我们解决问题的原因之一是，只要角度相同，这些比率始终相同。例如，考虑一个与三角形 *ABC* 相似的三角形。

如果 *CP* 的长度为 3，那么三角形 *NAP* 的边 *AP* 为 6。因为 *NAP* 与 *ABC* 相似，所以边 *NP* 的长度为 8。这意味着斜边 *AN* 的长度为 10。（我们可以用相似三角形的比例或用勾股定理来证明这一点。）

如果我们使用三角形 *NAP* 来找到角 *A* 的正弦、余弦和正切，我们将得到

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {8}{10}}={\frac {4}{5}}$

$\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {6}{10}}={\frac {3}{5}}$

$\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {8}{6}}={\frac {4}{3}}$

示例 2 使用三角形ABC和三角形NAP求sin(B). 解决方案: 使用三角形ABC：sin B = ${\tfrac {3}{5}}$ 使用三角形NAP：sin B = ${\tfrac {6}{10}}$ = ${\tfrac {3}{5}}$

正割、余割和余切函数

我们还可以根据直角三角形定义另外三个函数。

表 1.9

函数名称	定义	示例
正割	${\tfrac {\text{hypotenuse}}{\text{adjacent side}}}$	在三角形ABC中，sec A = ${\tfrac {c}{b}}$
余割	${\tfrac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite side}}}$	在三角形ABC中，csc A = ${\tfrac {c}{a}}$
余切	${\tfrac {\text{adjacent side}}{\text{opposite side}}}$	在三角形ABC中，cot A = ${\tfrac {b}{a}}$

示例 3 求角度B的正割、余割和余切。 解决方案: 首先，我们必须找到斜边的长度。我们可以使用勾股定理来做到这一点。 52 + 122 = H2 25 + 144 = H2 169 = H2 H = 13 现在我们可以求角度B的正割、余割和余切 $\sec(B)={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{adjacent side}}}={\frac {13}{12}}$ $\csc(B)={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite side}}}={\frac {13}{5}}$ $\cot(B)={\frac {\text{adjacent side}}{\text{opposite side}}}={\frac {12}{5}}$

标准位置角的三角函数

上面，我们定义了直角三角形中角度的六个三角函数。我们也可以用旋转角度来定义相同的函数。考虑一个标准位置的角度，其末端边与半径为r的圆相交。我们可以将半径视为直角三角形的斜边

点 (x, y) 是角度的末端边与圆的交点，它告诉我们三角形两条边的长度。现在，我们可以用x、y和r来定义三角函数

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}$	$\sec \theta ={\frac {r}{x}}$
$\sin \theta ={\frac {y}{r}}$	$\csc \theta ={\frac {r}{y}}$
$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$	$\cot \theta ={\frac {x}{y}}$

现在我们可以将这些函数扩展到非锐角。

例 4 点 (−3, 4) 是标准位置角度末端边上的一个点。确定该角度的六个三角函数的值。 解决方案: 注意，该角度大于 90 度，且角度的末端边位于第二象限。这将影响三角函数的符号。 $\cos \theta ={\frac {-3}{5}}$ $\sec \theta ={\frac {5}{-3}}$ $\sin \theta ={\frac {4}{5}}$ $\csc \theta ={\frac {5}{4}}$ $\tan \theta ={\frac {4}{-3}}$ $\cot \theta ={\frac {-3}{4}}$

注意，r的值取决于给定点的坐标。你总是可以用勾股定理找到r的值。然而，我们经常查看半径为 1 的圆内的角度。正如你接下来将看到的那样，这样做可以简化函数的定义。

单位圆

考虑一个标准位置的角度，使得角度末端边上的点 (x, y) 是半径为 1 的圆上的一个点。

这个圆被称为**单位圆**。r = 1，我们可以在单位圆中定义三角函数

$\cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {x}{1}}=x$	$\sec \theta ={\frac {r}{x}}={\frac {1}{x}}$
$\sin \theta ={\frac {y}{r}}={\frac {y}{1}}=y$	$\csc \theta ={\frac {r}{y}}={\frac {1}{y}}$
$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$	$\cot \theta ={\frac {x}{y}}$

请注意，在单位圆中，角的正弦和余弦分别是该角终边上点的 *x* 坐标和 *y* 坐标。现在，我们可以找到任何旋转角度的三角函数值，即使是四象限角，它们也不是三角形中的角度。

我们可以使用上面的图形来确定四象限角的三角函数值。例如，sin(90°) = *y* = 1。

示例 5 使用上面的单位圆查找每个值 a. cos 90° b. cot 180° c. sec 0° 解决方案: a. cos 90° = 0 该角度的坐标对是 (0, 1)。余弦值是 *x* 坐标，即 0。 b. cot 180° 未定义 该角度的坐标对是 (-1, 0)。比率 ${\tfrac {x}{y}}$ 是 ${\tfrac {-1}{0}}$，这是未定义的。 c. sec 0° = 1 该角度的坐标对是 (1, 0)。比率是 ${\tfrac {1}{x}}$ 是 ${\tfrac {1}{1}}$ = 1。

在单位圆中，有几个重要的角度，您将在三角学学习中广泛使用它们：30°、45° 和 60°。要找到这些角度的三角函数值，我们需要知道坐标对。让我们从 30° 开始。

角度的终边与单位圆相交于点 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}$。（您将在复习练习中证明这一点。）因此，我们可以找到 30° 的任何三角函数值。例如，余弦值是 *x* 坐标，所以 cos (30°) = ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$。由于坐标是分数，因此我们需要进行更多操作才能找到正切值

$\tan(30^{\circ })={\frac {y}{x}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$

在复习练习中，您将找到该角度的其余四个三角函数的值。下表总结了单位圆上 30°、45° 和 60° 的坐标对。

表 1.10

角度	*x* 坐标	*y* 坐标
30°	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$
45°	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$
60°	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$

我们可以使用这些值来找到这些角度的六个三角函数的任何值。

示例 6 查找每个函数的值。 a. cos (45°) b. sin (60°) c. tan (45°) 解决方案: a. cos (45°) = ${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$ 余弦值是点的 *x* 坐标。 b. sin (60°) = ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$ 正弦值是点的 *y* 坐标。 c. tan (45°) = 1 正切值是 *y* 坐标与 *x* 坐标的比率。由于该角度的 *x* 和 *y* 坐标相同，因此正切比率为 1。

课文总结

在本章中，我们定义了六个三角函数。首先，我们定义了直角三角形中角度的函数，然后我们定义了旋转角度的函数。我们考虑了当角度的终边与半径为 *r* 的圆相交时形成的角度，然后我们重点关注单位圆，它的半径为 1。单位圆将在本章的剩余部分中被广泛使用。

思考点

• 勾股定理在三角学中如何有用？
• 三角函数的一些值为什么可以为负？为什么有些值是未定义的？
• 即使问题中三角形的斜边不为 1，为什么单位圆和定义在其上的三角函数仍然有用？

复习题

1. 找到角度 *A* 的六个三角函数的值。
   
2. 考虑下面的三角形 *VET*。
   

   (a) 找到斜边的长度。

   (b) 找出角度T的六个三角函数值。

3. 点(3, −4)是标准位置角度θ的终边上的一个点。

   (a) 确定圆的半径。

   (b) 确定该角度的六个三角函数值。

   i. 半径为5。

   ii. 值为

4. 点(−5, −12)是标准位置角度θ的终边上的一个点。

   (a) 确定圆的半径。

   (b) 确定该角度的六个三角函数值。

   i. 半径为13。

   ii. 值为

5. 角度270°的终边与单位圆交于点(0, −1)。使用这个有序对找出270°的六个三角函数。
6. 在课上你学习到角度30°的终边与单位圆交于点$\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$。在这里，你将证明这是真的。
   

   (a) 解释为什么三角形ABD是等角三角形。角度DAB的度数是多少？

   (b) BD的长度是多少？你怎么知道的？

   (c) BC和CD的长度是多少？你怎么知道的？

   (d) 现在解释为什么有序对是$\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$

   (e) 这为什么告诉你60°的有序对是$\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

7. 在课上你学习到角度45°的终边是$\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)$。使用下图和勾股定理来证明这是真的。
   
8. 给出60°的六个三角函数值。
9. 标准位置的角度在哪个象限中会有正切值为正？解释你的思路。
10. 在单位圆上画出角度150°。这个角度与30°有什么关系？你认为有序对是什么？

复习答案

1. 三角函数
3. 
   

   $\cos A={\frac {12}{15}}={\frac {4}{5}}$	$\sec A={\frac {15}{12}}={\frac {5}{4}}$
   $\sin A={\frac {9}{15}}={\frac {3}{5}}$	$\csc A={\frac {15}{9}}={\frac {5}{3}}$
   $\tan A={\frac {9}{12}}={\frac {3}{4}}$	$\cot A={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}$

4. 斜边的长度为17。
   

   $\cos T={\frac {8}{17}}$	$\sec T={\frac {17}{8}}$
   $\sin T={\frac {15}{17}}$	$\csc T={\frac {17}{15}}$
   $\tan T={\frac {15}{8}}$	$\cot T={\frac {8}{15}}$

5. 
   

   $\cos \theta ={\frac {3}{5}}$	$\sec \theta ={\frac {5}{3}}$
   $\sin \theta ={\frac {-4}{5}}$	$\csc \theta ={\frac {5}{-4}}$
   $\tan \theta ={\frac {-4}{3}}$	$\cot \theta ={\frac {3}{-4}}$

6. 
   

   $\cos \theta ={\frac {-5}{13}}$	$\sec \theta ={\frac {13}{-5}}$
   $\sin \theta ={\frac {-12}{13}}$	$\csc \theta ={\frac {13}{-12}}$
   $\tan \theta ={\frac {-12}{-5}}={\frac {12}{5}}$	$\cot \theta ={\frac {-5}{-12}}={\frac {5}{12}}$

7. 
   

   $\cos 270^{\circ }=0$	$\sec 270^{\circ }={\text{undefined}}$
   $\sin 270^{\circ }=-1$	$\csc 270^{\circ }={\frac {1}{-1}}=-1$
   $\tan 270^{\circ }={\text{undefined}}$	$\cot 270^{\circ }=0$

8.  

   (a) 由于三个角的度数均为 60 度，因此该三角形是等角三角形。角 DAB 的度数为 60 度，因为它是由两个 30 度角的和组成的。

   (b) BD 的长度为 1，因为它是一个等角三角形，因此也是等边三角形的边。

   (c) BC 和 CD 的长度分别为 ${\tfrac {1}{2}}$，因为它们分别是 BD 的一半。这是因为三角形 ABC 和 ADC 是全等的。

   (d) 我们可以用勾股定理来证明 AC 的长度是 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$。如果我们将角 BAC 作为标准位置的一个角，那么 AC 和 BC 将对应于角的终边与单位圆相交处的 x 和 y 坐标。因此，有序对为 $\left({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$.

   (e) 如果我们将 60°角画在标准位置，我们也会得到一个 30 – 60 – 90 三角形，但边长会互换。因此 60° 的有序对为 $\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)$.
   

9. $n^{2}+n^{2}=1^{2}\,\!$

   $2n^{2}=1\,\!$

   $n^{2}={\tfrac {1}{2}}$

   $n=\pm {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$

   $n=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$

   $n=\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}=\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$

   因为该角在第一象限，所以 x 和 y 坐标都是正数。

10. 
    

    $\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}$	$\sec 60^{\circ }={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$
    $\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\csc 60^{\circ }={\frac {1}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
    $\tan 60^{\circ }={\frac {\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {1}{2}}}={\sqrt {3}}$	$\cot 60^{\circ }={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\ {\text{or}}\ {\frac {\sqrt {3}}{3}}$

11. 当正切是两个正数的比率时，角度位于第一象限。当正切是两个负数的比率时，角度位于第三象限，并且该比率为正数。
12. 角的终边是 30° 终边的反射。从这一点，学生应该看到有序对是 $\left(-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$.
    

词汇

邻边

与角相邻的边是靠近角的边。在直角三角形中，它是靠近角的直角边。

斜边

斜边是直角三角形中最长的边，与直角相对。

直角边

直角三角形的直角边是两条较短的边。

勾股定理

勾股定理陈述了直角三角形各边之间的关系：直角边 1² + 直角边 2² = 斜边²

半径

圆的半径是从圆心到圆边的距离。半径定义了圆。

单位圆

单位圆是半径为 1 且圆心为 (0, 0) 的圆。单位圆的方程为 x² + y² = 1

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