高中三角函数/三角函数之间的关系

在之前的课程中，我们分别定义了六个三角函数，并对它们进行了研究。在本课程中，我们将探讨这些函数之间的关系。特别是，我们将推导出几个包含三角函数的恒等式。恒等式是一个对所有变量值都成立的等式，只要所涉及的表达式或函数是定义的。例如，x + x = 2x是一个恒等式。在本课程中，我们将推导出几个包含三角函数的恒等式。由于这些恒等式，同一个函数可以具有非常多种不同的代数表示。这些恒等式将使我们能够将三角函数的定义域和值域联系起来，并且这些恒等式将在后续章节解决问题时发挥作用。

学习目标

说出三角函数之间的倒数关系，并利用这些恒等式求三角函数的值。
说出三角函数之间的商关系，并利用商恒等式求三角函数的值。
说出每个三角函数的定义域和值域。
说出已知角度所在的象限，三角函数的符号。
说出毕达哥拉斯恒等式，并利用这些恒等式求三角函数的值。

倒数恒等式

我们将建立的第一组恒等式是倒数恒等式。分数 ${\tfrac {a}{b}}$ 的倒数是分数 ${\tfrac {b}{a}}$ 。也就是说，我们通过交换分子和分母或翻转分数来求分数的倒数。六个三角函数可以成对分组为倒数。

首先，考虑旋转角度的正弦函数定义：sin θ = ${\tfrac {y}{r}}$ 。现在考虑余割函数：csc θ = ${\tfrac {r}{y}}$ 。在单位圆中，这些值是 sin θ = ${\tfrac {y}{1}}$ = y 和 csc θ = ${\tfrac {1}{y}}$ 。根据定义，这两个函数是倒数。因此，角度的正弦值始终是余割值的倒数，反之亦然。例如，如果 sin θ = ${\tfrac {1}{2}}$ ，那么 csc θ = ${\tfrac {2}{1}}$ = 2。

类似地，余弦函数和正割函数是倒数，正切函数和余切函数是倒数

\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}\ \ {\text{or}}\ \cos \theta ={\frac {1}{\sec \theta }}

\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}\ \ {\text{or}}\ \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}

我们可以利用这些倒数关系求三角函数的值。从毕达哥拉斯定理 1 = sin² x + cos² x 得出的基本恒等式可以有许多新的形式。

示例 1

利用倒数恒等式求出每个表达式的值。

a. cos θ = .3, sec θ = ?

b. cot θ = ${\tfrac {4}{3}}$ , cot θ = ?

解法:

a. sec θ = ${\tfrac {10}{3}}$

这些函数互为倒数，所以如果 cos θ = .3，那么 sec θ = ${\tfrac {1}{.3}}$ 。如果我们将值表示为分数，则更容易找到倒数：cos θ = .3 = ${\tfrac {3}{10}}$ → sec θ = ${\tfrac {10}{3}}$ 。

b. tan θ = ${\tfrac {3}{4}}$

这些函数互为倒数， ${\tfrac {4}{3}}$ 的倒数是 ${\tfrac {3}{4}}$ 。

我们还可以使用倒数关系来确定函数的定义域和值域。

函数的定义域、值域和符号

虽然三角函数可能看起来与您之前接触过的其他函数大不相同，但实际上它们与任何其他函数一样。我们可以从“输入”和“输出”的角度来考虑一个三角函数。输入始终是一个角度。输出是三角形边长的比值。如果您以这种方式考虑三角函数，您可以定义每个函数的定义域和值域。

首先让我们考虑正弦函数和余弦函数。这两个函数的输入始终是一个角度，正如您在上一章中了解到的那样，这些角度可以取任何实数值。因此，正弦函数和余弦函数具有相同的定义域，即所有实数的集合，R。如果我们考虑正弦角度是角度终边与单位圆交点处的y坐标这一事实，我们可以确定函数的值域。余弦是该点的x坐标。现在回想起在单位圆中，我们根据斜边长度为 1 的三角形定义了三角函数。

在这个直角三角形中，x 和 y 是三角形两条边的长度，其长度必须小于斜边的长度 1。因此，正弦函数和余弦函数的值域不包括大于 1 的值。但是，值域确实包含负值。任何终边位于第三象限或第四象限的角度的y坐标为负，任何终边位于第二象限或第三象限的角度的x坐标为负。

无论哪种情况，最小值为 −1。例如，cos(180°) = −1 且 sin(270°) = −1。因此，正弦函数和余弦函数的值域均为 −1 到 1。

下表总结了这些函数的定义域和值域

表 1.12
	定义域	值域
正弦	θϵ°	−1 ≤ sin θ ≤ 1
余弦	θϵ°	−1 ≤ cos θ ≤ 1

了解余弦函数和正弦函数的定义域和值域可以帮助我们确定正割函数和余割函数的定义域和值域。首先考虑正弦函数和余割函数，如上所述，它们互为倒数。只要正弦值不为 0，余割函数就定义。因此，余割函数的定义域排除了所有正弦值为 0 的角度，即 0°、180°、360° 等。

在第 2 章中，您将分析这些函数的图形，这将帮助您了解为什么倒数关系会导致余割函数的特定值域。这里我们将说明这个值域，并在复习问题中，您将探索正弦函数和余割函数的值，以便开始验证这个值域，以及正割函数的定义域和值域。

表 1.13
	定义域	值域
余割	θϵ°，θ ≠ 0, 180, 360…	csc θ ≤ −1 或 csc θ ≥ 1
正割	θϵ°，θ ≠ 90, 270, 450…	sec θ ≤ −1 或 sec θ ≥ 1

现在让我们考虑正切函数和余切函数。正切函数定义为 $\tan \theta ={\tfrac {y}{x}}$ 。因此，该函数的定义域排除了所有有序对的x坐标为 0 的角度：90°、270° 等。余切函数定义为 $\cot \theta ={\tfrac {x}{y}}$ ，因此该函数的定义域将排除了所有有序对的y坐标为 0 的角度：0°、180°、360° 等。正如您将在第 3 章学习这些函数的图形时了解到的那样，值域没有限制。

表 1.14
函数	定义域	值域
正切	θϵ°，θ ≠ 90, 270, 450…	$\infty \,\!$
余切	θϵ°，θ ≠ 0, 180, 360…	$\infty \,\!$

了解这些函数的取值范围可以让你在确定角度的三角函数值时，知道应该期待的值。但是，对于许多问题，你需要确定角度函数的符号：是正还是负？

在确定上面正弦和余弦函数的取值范围时，我们开始根据角度所在的象限对这些函数的符号进行分类。下图总结了所有 4 个象限内角度的符号。

例 2

说明每个表达式的符号。

a. cos(100°)

b. csc(220°)

c. tan(370°)

解法:

a. 100° 角位于第二象限。因此，x 坐标为负，所以 cos(100°) 为负。

b. 220° 角位于第三象限。因此，y 坐标为负。因此正弦和余割都是负的。

c. 370° 角位于第一象限。因此，正切值为正。

到目前为止，我们已经考虑了函数对之间的关系：六个三角函数可以成对作为倒数分组。现在我们将考虑三个三角函数之间的关系。

商恒等式

三角函数的定义导致了我们上面提到的倒数恒等式。它们也导致了另一组恒等式，商恒等式。

首先考虑正弦、余弦和正切函数。对于旋转角度（不一定是单位圆内），这些函数定义如下：

\sin \theta ={\frac {y}{r}}

\cos \theta ={\frac {x}{r}}

\tan \theta ={\frac {y}{x}}

根据这些定义，我们可以证明 tan θ = ${\tfrac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ ，只要 cos θ ≠ 0

{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\frac {y}{r}}{\frac {x}{r}}}={\frac {y}{r}}\cdot {\frac {r}{x}}={\frac {y}{x}}=\tan \theta

因此，方程 tan θ = ${\tfrac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ 是一个恒等式，我们可以使用它来找到正切函数的值，前提是已知正弦和余弦的值。

例 3

如果 cos θ = ${\tfrac {5}{13}}$ 且 sin θ = ${\tfrac {12}{13}}$ ，tan θ 的值为多少？

解法:

$\tan \theta ={\tfrac {12}{5}}$

\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\frac {12}{13}}{\frac {5}{13}}}={\frac {12}{13}}\cdot {\frac {13}{5}}={\frac {12}{5}}

例 4

证明 cot θ = ${\tfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

解法:

${\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\frac {x}{r}}{\frac {y}{r}}}={\frac {x}{r}}\cdot {\frac {r}{y}}={\frac {x}{y}}=\cot \theta$

这个恒等式也可以用来求余切函数的值，前提是已知正弦和余弦的值。这两个商恒等式在第三章中也很有用，你会在其中证明其他恒等式。

毕达哥拉斯恒等式

在本节中，我们将考察的最后一组恒等式被称为毕达哥拉斯恒等式，因为它们依赖于毕达哥拉斯定理。在之前的课程中，我们使用毕达哥拉斯定理来求直角三角形的边长。再次考虑我们在第四课中定义三角函数的方式。让我们看一下单位圆。

直角三角形的两条直角边分别是x和y。斜边为1。因此，对于单位圆上的所有x和y，以下等式都成立。

x^{2}+y^{2}=1\,\!

现在记住，在单位圆上，cos θ = x，sin θ = y。因此，以下等式是一个恒等式。

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\,\!

注意：在 cos 和 sin 后面写指数 2 是写指数的标准方法。只要记住 cos² θ 表示 (cos θ)²，sin² θ 表示 (sin θ)²。

我们可以使用这个恒等式来求正弦函数的值，前提是已知余弦函数的值，反之亦然。我们也可以用它来求其他恒等式。

例 5

如果 cos θ = ${\tfrac {1}{4}}$ ，sin θ 的值是多少？假设 θ 是第一象限角。

解法:

$\sin \theta ={\frac {\sqrt {15}}{4}}$

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1\,\!$
$\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\sin ^{2}\theta =$	$1\,\!$
${\frac {1}{16}}+\sin ^{2}\theta =$	$1\,\!$
$\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1-{\frac {1}{16}}$
$\sin ^{2}\theta =\,\!$	${\frac {16}{16}}-{\frac {1}{16}}$
$\sin ^{2}\theta =\,\!$	${\frac {15}{16}}$
$\sin \theta =\,\!$	$\pm {\sqrt {\frac {15}{16}}}$
$\sin \theta =\,\!$	$\pm {\frac {\sqrt {15}}{4}}$

请记住，已知θ是第一象限角。因此，正弦值是正数，所以 sin θ = ${\tfrac {\sqrt {15}}{4}}$ .

例 6

使用恒等式 cos² θ + sin² θ = 1 来证明 cot² θ + 1 = csc² θ.

解法:

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1\,\!$	将等式的两边除以 sin² θ.
${\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$
${\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}=1$
${\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+1=$	${\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$
${\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\cdot {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+1=$	${\frac {1}{\sin \theta }}\cdot {\frac {1}{\sin \theta }}$	将平方函数写成因子的形式。
$\cot \theta \cdot \cot \theta +1=\,\!$	$\csc \theta \cdot \csc \theta \,\!$	使用商数恒等式和倒数恒等式。
$\cot ^{2}\theta +1=\,\!$	$\csc ^{2}\theta \,\!$	将函数写成平方函数。

课时总结

在本课中，我们研究了三角函数之间和彼此之间的关系。倒数恒等式告诉我们成对的互为倒数的三角函数之间的关系。商恒等式告诉我们三个函数之间的关系：正切函数是正弦函数和余弦函数的商，余切函数是该商的倒数。勾股恒等式依赖于勾股定理，也告诉我们三个函数之间的关系。每个恒等式都可以用来求解三角函数的值，以及用来证明其他恒等式，这将是第 3 章的重点。我们还可以使用恒等式来确定函数的定义域和值域，这将有助于第 2 章，我们将在其中绘制六个三角函数的图形。

需要考虑的点

你怎么知道一个方程是否是一个恒等式？[提示：你可以考虑使用计算器并绘制相关函数的图形，或者你可以尝试用数学方法证明它。]
如何验证函数的定义域或值域？

复习题

使用倒数恒等式给出每个表达式的值。
(a) sec θ = 4, cos θ = ?

(b) sin θ = ${\tfrac {1}{3}}$ , csc θ = ?
在本课中，余割函数的值域被给出为：csc θ ≤ −1 或 csc θ ≥ 1。
(a) 使用计算器填写下面的表格。将值四舍五入到小数点后四位。

(b) 使用表格中的值，用你自己的语言解释当角度的度数接近 0 度时，余割函数的值会发生什么。

(c) 解释这说明了关于余割函数值域的什么。

(d) 讨论如何进一步探索正弦和余割的值，以更好地理解余割函数的值域。

表 1.15
角度 sin csc
10°
5°
1°
0.5°
0.1°
0°
−0.1°
−0.5°
−1°
−5°
−10°
在本课中，正割函数的定义域被给出为：θϵ°，θ ≠ 90, 270, 450… 解释为什么某些值被排除在定义域之外。
说明每个角所在的象限，并说明每个表达式的符号。
(a) sin(80°)

(b) cos(200°)

(c) cot(325°)

(d) tan(110°)
如果 cos θ = ${\tfrac {6}{10}}$ 并且 sin θ = ${\tfrac {8}{10}}$ ，tan θ 的值为多少？
使用商恒等式解释为什么正切和余切函数在第三象限中具有正值。
如果 sin θ = 0.4，cos θ 的值为多少？假设 θ 是第一象限角。
如果 cot θ = 2，csc θ 的值为多少？假设 θ 是第一象限角。
证明 1 + tan² θ = sec² θ。
解释为什么对于像问题 #7 这样的问题，需要说明角所在的象限。

复习答案

(a) ${\tfrac {1}{4}}$

(b) ${\tfrac {3}{1}}$ = 3

(a)

表 1.15
角度	sin	csc
10°	0.1737	5.759
5°	0.0872	11.4737
1°	0.0175	57.2987
0.5°	0.0087	114.5930
0.1°	0.0018	572.9581
0°	0	未定义
−0.1°	−0.0018	−572.9581
−0.5°	−0.0087	−114.5930
−1°	−0.0175	−57.2987
−5°	−0.0872	−11.4737
−10°	−0.1737	−5.759

(b) 当角度越来越小时，余割值越来越大。

(c) 余割函数的值域没有最大值，就像正弦函数一样。值越来越大。

(d) 答案会有所不同。例如，如果我们观察接近 90 度的值，我们会看到余割值越来越小，接近 1。

值 90, 270, 450 等被排除在外，因为它们使函数未定义。
(a) 第一象限；正

(b) 第三象限；负

(c) 第四象限；负

(d) 第二象限；负
${\tfrac {8}{6}}$ = ${\tfrac {4}{3}}$
正弦和余弦的比率在第三象限中将为正，因为正弦和余弦在第三象限中均为负。
cos θ ≈ 0.92
csc θ = √5

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =\,\!$	$1\,\!$
${\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$
$1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}=$	${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$
$1+\tan ^{2}\theta =\,\!$	$\sec ^{2}\theta \,\!$