直观三角学/弧度和弧长

弧度和弧长

寻找弧长公式

首先，让我们检查弧长公式。想象一个弧，然后延伸它的两端。最终，你将得到一个圆（参见图 1）。我们知道圆的周长是 $2\pi r$，我们可以将其想象为一个完整圆的周长。因此，每个弧长都必须等于或小于 $2\pi r$ 的一部分。

接下来，想象一个圆，其中有一个角打开到圆的一部分（参见图 2）。随着角度的变化，弧长显然也会发生变化。事实上，如果角度是 $360^{\circ }$，很容易看出弧长必须是 $2\pi r$。利用这一点，我们可以看到，要找到任何弧的长度，我们只需将圆的周长（一个“完整的”弧），$2\pi r$ 乘以角度测量值除以 $360^{\circ }$，得到公式 $\ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\frac {\theta }{360^{\circ }}}\right)$。

图 1：圆可以看作一个“完整的”弧。

图 2：给定一个角 $\theta$，它在一个半径为 $r$ 的圆上跨越一个弧，你可以确定弧的长度。

弧度的定义

为了推导出弧度和角度之间的转换率，我们必须知道弧度到底是什么。弧度的定义是

角度的单位，等于圆心角，其弧长等于半径。

推导弧度和角度之间的转换率

可以使用我们刚刚推导出的弧长公式推导出关系 $2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }$。取弧长公式，即 $\ell _{arc}=2\pi r\left({\frac {\theta }{360^{\circ }}}\right)$。假设一个单位圆，因此半径为 1。已知弧度的定义是：一个角的度量，它所截取的弧的长度等于圆的半径，所以我们知道 $1=2\pi \left({\frac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)$。我们可以进一步简化为 $1={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}$。现在我们可以将两边乘以 $360^{\circ }$ 以得到 $360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}$。

弧度和角度之间的转换示例

假设我们给出了度数 $30^{\circ }$，并要求将其转换为弧度。我们知道 $2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }$，因此我们可以设置一个比例：${\frac {x{\text{ rad}}}{30^{\circ }}}={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}$。然后我们可以交叉相乘，得到 $360^{\circ }\times x=2\pi {\text{ rad}}\times 30^{\circ }$。将两边除以 $360^{\circ }$，首先要注意度数符号抵消，所以我们剩下 $x={\frac {60\pi {\text{ rad}}}{360}}$，它简化为 $x={\frac {\pi }{6}}{\text{ rad}}$。问题已解决（注意习惯上将其保留为分数形式，因为这样更精确）。

问题

所有解答见附录1。

1. 求与$10^{\circ }$ 角相关的圆弧的长度，已知该圆弧所在的圆的半径为 $2$。
2. 将${\frac {\pi }{2}}{\text{ rad}}$ 转换为角度。
3. 将$45^{\circ }$ 转换为弧度。
4. 求与半径为$4$ 的圆上长度为 $5$ 的圆弧所对应的角的度数。