坐标系

有多种方法可以为系统分配坐标。选择哪一种取决于系统内发生的事情。

固定直角坐标系

在这个坐标系中，向量表示为从非旋转原点开始的x方向和y方向上向量的加和。通常 ${\vec {i}}\,\!$ 是x方向上的单位向量，而 ${\vec {j}}\,\!$ 是y方向上的单位向量。

位置向量， ${\vec {s}}\,\!$ （或 ${\vec {r}}\,\!$ ），速度向量， ${\vec {v}}\,\!$ ，以及加速度向量， ${\vec {a}}\,\!$ ，使用以下方式表示的直角坐标系：

${\vec {s}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}$

${\vec {v}}={\dot {s}}={\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}}$

${\vec {a}}={\ddot {s}}={\ddot {x}}{\vec {i}}+{\ddot {y}}{\vec {j}}$

注意： ${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$ ， ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

旋转坐标

与相对于固定且不旋转的原点测量的直角坐标不同，这些坐标的原点可以旋转和平移 - 通常跟随正在研究的物体上的粒子。

此坐标系基于三个正交单位向量：向量 ${\vec {i}}$ 和向量 ${\vec {j}}$ ，它们构成我们正在考虑的物体所在的平面的基，以及 ${\vec {k}}$ ，关于它旋转发生。

单位向量的导数

可以使用这些坐标系来表示给定点的位移、速度和加速度向量，但我们必须比使用固定参考系时更小心一点。由于参考系正在旋转，因此在对这些向量中的任何一个求导时，我们必须考虑单位向量的导数。如果坐标系以 ${\vec {\omega }}\,\!$ 的速率在逆时针方向旋转（即使用右手定则为 $\omega {\vec {k}}$ ），那么单位向量的导数如下

${\dot {\vec {i}}}=\omega {\vec {k}}\times {\vec {i}}=\omega {\vec {j}}$

${\dot {\vec {j}}}=\omega {\vec {k}}\times {\vec {j}}=-\omega {\vec {i}}$

位置、速度和加速度

有了这些恒等式，我们现在可以弄清楚如何使用此坐标系来表示粒子的位置、速度和加速度向量。

位置

位置很简单

${\vec {s}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}$

它只是从原点到每个单位向量方向的距离。

速度

速度是位置的时间导数

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d(x{\vec {i}})}{dt}}+{\frac {d(y{\vec {j}})}{dt}}$

根据链式法则，这是

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {i}}+x{\dot {\vec {i}}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+y{\dot {\vec {j}}}$

从上面的恒等式中，我们知道

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {i}}+x\omega {\vec {j}}+{\dot {y}}{\vec {j}}-y\omega {\vec {i}}=({\dot {x}}-y\omega ){\vec {i}}+({\dot {y}}+x\omega ){\vec {j}}$

或者等效地

${\vec {v}}=({\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}})+(y{\dot {\vec {j}}}+x{\dot {\vec {i}}})={\vec {v}}_{rel}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

其中 ${\vec {v}}_{rel}$ 是粒子相对于坐标系的相对速度。

加速度

加速度是速度对时间的导数。

我们知道

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}_{rel}}{dt}}+{\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}$

考虑 ${\frac {d{\vec {v}}_{rel}}{dt}}$ 部分。 ${\vec {v}}_{rel}$ 有两个部分，我们想找到其导数：相对速度变化 ( ${\vec {a}}_{rel}$ )，以及坐标系的变化 ( $\omega \times {\vec {v}}_{rel}$ ).

${\frac {d{\vec {v}}_{rel}}{dt}}={\vec {a}}_{rel}+\omega \times {\vec {v}}_{rel}$

接下来，考虑 ${\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}$ 。使用链式法则

${\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {r}}}$

${\dot {\vec {r}}}$ 我们从上面知道

${\frac {d({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{dt}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$

因此，总的来说

${\vec {a}}={\vec {a}}_{rel}+\omega \times {\vec {v}}_{rel}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$

收集术语

${\vec {a}}={\vec {a}}_{rel}+2(\omega \times {\vec {v}}_{rel})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$