微积分/链式法则

链式法则是一种用于计算两个或多个函数的函数组合的导数的方法。

如果一个函数 $f$ 依赖于一个变量 $u$ ，而该变量又依赖于另一个变量 $x$ ，也就是说 $f=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那么 $f$ 相对于 $x$ 的变化率可以计算为 $y$ 相对于 $u$ 的变化率乘以 $u$ 相对于 $x$ 的变化率。

链式法则 如果一个函数 $f$ 由两个可微函数 $y(x)$ 和 $u(x)$ 组成，使得 $f(x)=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那么 $f(x)$ 是可微的，并且， ${\frac {df}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

这种方法被称为“链式法则”，因为它可以依次应用于嵌套在彼此之内的任意多个函数。 例如，如果 $f$ 是 $g$ 的函数，而 $g$ 又 是 $h$ 的函数，而 $h$ 又 是 $x$ 的函数，即

$f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}$

$f$ 关于 $x$ 的导数由下式给出

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$ 等等。

一个有用的记忆技巧是将微分看作单独的实体，可以代数地取消，例如

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{\cancel {dg}}}\cdot {\frac {\cancel {dg}}{\cancel {dh}}}\cdot {\frac {\cancel {dh}}{dx}}$

但是，请记住，这种技巧是通过巧妙的符号选择而不是实际的代数抵消而产生的。

链式法则在物理学、化学和工程学中有着广泛的应用，以及用于研究许多学科中的相关速率。链式法则还可以推广到多个变量的情况，其中嵌套函数依赖于多个变量。

例子

示例一

假设一名登山者以$0.5{\frac {km}{h}}$ 的速度攀登。 海拔越高，气温越低；假设气温下降的速率为 $6^{\circ }C$ 每公里。 为了计算登山者每小时感受到的气温下降量，将 ${\frac {6^{\circ }C}{km}}$ 乘以 $0.5{\frac {km}{h}}$，得到 ${\frac {3^{\circ }C}{h}}$。 这个计算是典型的链式法则应用。

示例 II

考虑函数 $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$。 由链式法则可知

$f(x)=(x^{2}+1)^{3}$	待求导函数
$u(x)=x^{2}+1$	将 $u(x)$ 定义为内部函数
$f(x)=u(x)^{3}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表达此处适用的链式法则
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{3}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2}+1)$	将 $f(u)$ 和 $u(x)$ 代入。
${\frac {df}{dx}}=3u^{2}\cdot 2x$	使用幂法则计算导数
${\frac {df}{dx}}=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x$	将 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回。
${\frac {df}{dx}}=6x(x^{2}+1)^{2}$	化简。

示例 III

为了对三角函数进行求导

$f(x)=\sin(x^{2})$

可以写成

$f(x)=\sin(x^{2})$	待求导函数
$u(x)=x^{2}$	将 $u(x)$ 定义为内部函数
$f(x)=\sin(u)$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表达此处适用的链式法则
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}\sin(u)\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	将 $f(u)$ 和 $u(x)$ 代入。
${\frac {df}{dx}}=\cos(u)\cdot 2x$	计算导数
${\frac {df}{dx}}=\cos(x^{2})\cdot 2x$	将 $u$ 用 $x$ 表示代回。

示例 IV：绝对值

链式法则可用于微分$|x|$，即绝对值函数

$f(x)=|x|$	待求导函数
$f(x)={\sqrt {x^{2}}}$	等效函数
$u(x)=x^{2}$	将 $u(x)$ 定义为内部函数
$f(x)=u(x)^{\frac {1}{2}}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表达此处适用的链式法则
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	将 $f(u)$ 和 $u(x)$ 代入。
${\frac {df}{dx}}={\frac {u^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	使用幂法则计算导数
${\frac {df}{dx}}={\frac {(x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	将 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回。
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}$	简化
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{|x|}}$	将${\sqrt {x^{2}}}$表示为绝对值。

示例 V：三个嵌套函数

该方法被称为“链式法则”，因为它可以依次应用于任意多个相互嵌套的函数。例如，如果$f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}=e^{\sin(x^{2})}$，则链式法则的连续应用可以得出如下导数（我们利用了${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$这一事实，将在下一节中证明）

$f(x)=e^{\sin(x^{2})}=e^{g}$	原始（最外层）函数
$h(x)=x^{2}$	定义 $h(x)$ 为最内层函数
$g(x)=\sin(h)=\sin(x^{2})$	$g(h)=sin(h)$ 作为中间函数
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$	表达此处适用的链式法则
${\frac {df}{dg}}=e^{g}=e^{\sin(x^{2})}$	求 f(g) 的导数
${\frac {dg}{dh}}=\cos(h)=\cos(x^{2})$	求 $g(h)$ 的导数
${\frac {dh}{dx}}=2x$	求 $h(x)$ 的导数
${\frac {d}{dx}}e^{\sin(x^{2})}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x$	代入链式法则。

链式法则在物理学中的应用

由于一个物理量通常依赖于另一个物理量，而另一个物理量又依赖于其他物理量，因此链式法则在物理学中具有广泛的应用。本节将介绍链式法则在运动学和简谐运动中的应用实例。链式法则在电磁感应中也很有用。

物理学示例 I：两辆车的相对运动学

一辆车朝北行驶，当前位于 $(0,3)$ ；另一辆车朝西行驶，当前位于 $(4,0)$ 。可以使用链式法则来确定它们是越来越近还是越来越远。

例如，可以考虑这样的运动学问题：一辆车以 80 英里/小时的速度向西行驶到一个十字路口，而另一辆车以 60 英里/小时的速度向北行驶离开十字路口。可以询问这两辆车是越来越近还是越来越远，以及当北行车辆距离十字路口 3 英里，西行车辆距离十字路口 4 英里时，它们的距离变化率是多少。

主要思路：使用链式法则计算两辆车之间距离的变化率。

计划

1. 选择坐标系
2. 识别变量
3. 绘制图形
4. 主要思路：使用链式法则计算两辆车之间距离的变化率
5. 用 $x$ 和 $y$ 表示 $c$，利用勾股定理
6. 使用链式法则用 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 表示 ${\frac {dc}{dt}}$
7. 代入 $x,y,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$
8. 化简。

选择坐标系：令 $y$ 轴指向北方，$x$ 轴指向东方。

识别变量：定义 $y(t)$ 为朝北行驶的车辆到原点的距离，定义 $x(t)$ 为朝西行驶的车辆到原点的距离。

用 $x$ 和 $y$ 表示 $c$，利用勾股定理

$c=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$

使用链式法则用 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 表示 ${\frac {dc}{dt}}$ 

${\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$	对整个函数应用导数运算符
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}{\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})$	函数内部是平方和
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]$	分配微分运算符
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[2x\cdot {\frac {dx}{dt}}+2y\cdot {\frac {dy}{dt}}\right]$	对$x(t)$和$y(t)$应用链式法则
$={\frac {x\cdot {\frac {dx}{dt}}+y\cdot {\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	化简。

代入$x=4\ mi\ ,\ y=3\ mi\ ,\ {\frac {dx}{dt}}=-80\ {\frac {mi}{h}}\ ,\ {\frac {dy}{dt}}=60\ {\frac {mi}{h}}$ 并简化

${\frac {dc}{dt}}$	$={\frac {4\ mi\cdot \left(-80\ {\frac {mi}{h}}\right)+3\ mi\cdot \left(60\ {\frac {mi}{h}}\right)}{\sqrt {(4\ mi)^{2}+(3\ mi)^{2}}}}$
	$={\frac {-320\ {\frac {mi^{2}}{h}}+180\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{\sqrt {25\ mi}}}$
	$={\frac {-140\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{5\ mi}}$
	$=-28\ {\frac {mi}{h}}$

因此，两辆车以 $=28\ {\frac {mi}{h}}$ 的速度相互靠近。

物理示例 II：谐振子

一个无阻尼的弹簧-质量系统是一个简单的谐振子。

如果一个简单谐振子从平衡位置的位移由 $x$ 给出，并且它在时间 $t=0$ 从其最大位移 $A$ 释放，则以后时刻的位置由下式给出

$x(t)=A\cos(\omega t)$

其中 $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ 是角频率，$T$ 是振动周期。速度 $v$ 作为位置的一阶导数，可以通过链式法则计算

$v(t)={\frac {dx}{dt}}$	一维速度定义
$={\frac {d}{dt}}A\cos(\omega t)$	替换 $x(t)$
$=A{\frac {d}{dt}}\cos(\omega t)$	将常数 $A$ 提出导数之外
$=A{\bigl (}-\sin(\omega t){\bigr )}\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	对外部函数（余弦）求导
$=-A\sin(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	将负号放在前面
$=-A\sin(\omega t)\omega$	计算剩余的导数
$v(t)=-\omega A\sin(\omega t)$	化简。

加速度则是位置的二阶导数，或者简单地说 ${\frac {dv}{dt}}$ 。

$a(t)={\frac {dv}{dt}}$	一维加速度的定义
$={\frac {d}{dt}}{\bigl (}-\omega A\sin(\omega t){\bigr )}$	代入 $v(t)$
$=-\omega A\cdot {\frac {d}{dt}}\sin(\omega t)$	将常数项移到导数之外
$=-\omega A\cos(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	对外部函数（正弦）求导
$=-\omega A\cos(\omega t)\omega$	计算剩余的导数
$a(t)=-\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	化简。

根据牛顿第二定律，${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ，其中 ${\vec {F}}$ 是合力，$m$ 是物体的质量。

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$	牛顿第二定律
$=m{\bigl (}-\omega ^{2}A\cos(\omega t){\bigr )}$	将 $a(t)$ 代入。
$=-m\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	简化
${\vec {F}}=-m\omega ^{2}x(t)$	将原始的 $x(t)$ 代入。

因此可以看出，这些结果与对简谐振子的观察结果一致，即简谐振子的力等于位移的负常数倍。

链式法则在化学中的应用

链式法则在化学中有许多应用，因为化学中的许多方程式描述了一个物理量如何依赖于另一个物理量，而另一个物理量又依赖于另一个物理量。例如，理想气体定律描述了压力、体积、温度和摩尔数之间的关系，而所有这些量也可能随时间变化。

化学示例 I：理想气体定律

理想气体的等温线。曲线代表理想气体在不同温度下的压力和体积之间的关系：离原点越远的线（即更接近图的右上角的线）代表更高的温度。

假设一个包含 $n$ 摩尔理想气体的样品被保存在一个等温（恒温，$T$）容器中，初始体积为 $V_{0}$ 。理想气体被活塞压缩，使其体积以恒定的速率变化，使得 $V(t)=V_{0}-kt$ ，其中 $t$ 是时间。链式法则可用于求压力的瞬时变化率。 理想气体定律可以用来求解压力，$P$ ，得到

$P(t)={\frac {nRT}{V(t)}}$

其中 $P(t)$ 和 $V(t)$ 已经写成了时间的显式函数，其他符号是常数。对两边求导得到

${\frac {dP(t)}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right)$

其中常数项 $n,R,T$ 已经移到了导数运算符的左侧。应用链式法则得到

${\frac {dP}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dV}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right){\frac {dV}{dt}}=nRT\left(-{\frac {1}{V^{2}}}\right){\frac {dV}{dt}}$

其中，使用幂法则对 ${\frac {1}{V}}$ 进行求导。由于 $V(t)=V_{0}-kt$，${\frac {dV}{dt}}=-k$。将 $V$ 和 ${\frac {dV}{dt}}$ 代入可得 ${\frac {dP}{dt}}$。

${\frac {dP}{dt}}=-{\frac {nRTk}{(V_{0}-kt)^{2}}}$

化学示例二：气体动力学理论

理想单原子气体的温度是其原子平均动能的量度。在 1950 个大气压下，氦原子的尺寸与其间距的比例如图所示。原子具有特定的平均速度，这里从室温降低了 2 万亿倍。

链式法则在化学中的另一个应用是求理想气体中平均分子速度 $v$ 随绝对温度 $T$ 以恒定速率增加时的变化率，使得 $T=T_{0}+at$，其中 $T_{0}$ 是初始温度，$t$ 是时间。^[3] 气体动理论将分子速度的 均方根 与温度相关联，因此如果 $v(t)$ 和 $T(t)$ 是时间的函数，

$v(t)={\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}$

其中 $R$ 是理想气体常数，而 $M$ 是分子量。

对等式两边关于时间求导，得到

${\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}\left({\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}\right)$

利用链式法则，将等式右边表示为关于温度 $T$ 和时间 $t$ 的导数，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dT}}\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

对温度 $T$ 求导，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3RT}}}\cdot {\frac {d}{dT}}\left({\frac {3RT}{M}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

对 $T$ 求剩下的导数，取负指数的倒数，并代入 $T=T_{0}+at$ ，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left(T_{0}+at\right)$

对 $t$ 求导，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}a$

化简后得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {3R}{M(T_{0}+at)}}}$

链式法则证明

假设$y$ 是$u$ 的函数，而$u$ 是$x$ 的函数（假设$y$ 在$u$ 处可微，$x$ 处可微，并且$u$ 在$x$ 处可微。为了证明链式法则，我们使用导数的定义。

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

现在我们将${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 乘以${\frac {\Delta u}{\Delta u}}$ 并进行一些代数运算。

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

请注意，当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，$\Delta u$ 也趋近于 $0$ 。因此，当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，函数的极限与当 $\Delta u$ 趋近于 $0$ 时函数的极限相同。 因此

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}={\frac {dy}{du}}$

所以我们有

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

练习

1. 求 $f'(x)$ 的值，如果 $f(x)=(x^{2}+5)^{2}$ ，首先通过展开和直接微分，然后通过对 $f{\bigl (}u(x){\bigr )}=u^{2}$ 应用链式法则，其中 $u=x^{2}+5$ 。比较答案。

2. 利用链式法则，通过令 $y={\sqrt {u}}$ 和 $u=1+x^{2}$ ，求 $y={\sqrt {1+x^{2}}}$ 的导数。

解答

外部链接

• http://calculusapplets.com/chainrule.html