控制中的 LMI/应用/空间交会问题和 LMI 方法

这是一个空间交会问题和 LMI 方法

在他们的书《控制系统中的 LMI：分析、设计和应用》的第 12.4 节中，段和于讨论了空间交会问题以及如何将其表述为 LMI 问题。对空间交会的建模和模拟非常重要，因为它用于任何往返地球轨道空间站的货运或载人航天器，也用于卫星维修老化的在轨卫星，以及潜在的开采小行星的任务。

系统

虽然段和于在他们书中的例子 7.14 中首次提到了空间交会。在这个例子中，他们表明航天器交会的相对轨道动力学模型可以用著名的克罗西-威尔特希尔方程来描述。

{\begin{aligned}m{\ddot {r_{x}}}-2m\omega _{0}{\dot {r_{y}}}-3m\omega _{0}^{2}r_{x}&=T_{x}+d_{x}\\m{\ddot {r_{y}}}+2m\omega _{0}{\dot {r_{x}}}&=T_{y}+d_{y}\\m{\ddot {r_{z}}}+m\omega _{0}^{2}r_{z}&=T_{z}+d_{z}\\\end{aligned}}

在哪里

C-W 方程给出了追赶者在以目标为中心的坐标系中的运动的一阶近似，并且经常用于规划空间交会问题（国际空间站、礼炮号和天宫号空间站只是一些例子。）

通过对状态和变量的适当定义，空间交会的运动动力学方程可以转换为标准状态空间形式，以便进行 LMI 优化，如下所示

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\y&=Cx\\\end{aligned}}

其中上述状态空间表示中的向量定义如下

{\begin{aligned}x={\begin{bmatrix}r_{x}&r_{y}&r_{z}&{\dot {r_{x}}}&{\dot {r_{y}}}&{\dot {r_{z}}}\\\end{bmatrix}}^{T}\\\\y={\begin{bmatrix}r_{z}&r_{y}&r_{z}\end{bmatrix}}^{T}\\\\u={\begin{bmatrix}T_{x}&T_{y}&T_{z}\end{bmatrix}}^{T}\\\\d={\begin{bmatrix}d_{x}&d_{y}&d_{z}\end{bmatrix}}^{T}\\\end{aligned}}

以及上述状态空间表示中的矩阵定义如下：

{\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\3\omega _{0}^{2}&0&0&0&2\omega _{0}^{2}&0\\0&0&0&-2\omega _{0}&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}&0&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0_{3x3}\\I_{3}\\\end{bmatrix}}\\\\C={\begin{bmatrix}I_{3}&0_{3x3}\\\end{bmatrix}}\\\\\end{aligned}}

所需数据包括空间交会目标飞行器和追赶飞行器的质量特性。还需要目标飞行器和追赶飞行器的轨道角速度以及两者之间相对运动学的测量值。

优化问题试图使用H-inf或H2范数来衰减扰动到输出传递函数。

空间交会问题可以使用H-inf或H-2优化公式来解决。两种公式都可以实现闭环稳定性，确保交会发生，因为目标飞行器和追赶飞行器之间的相对距离最终会接近于零。H-inf和H2优化问题的LMI如下所示，由于空间交会问题的矩阵以上已以标准形式给出，因此很容易求解。

Duan和Yu采用 $H_{\infty }$ 方法。通过求解以下LMI优化问题，可以找到从扰动到输出的最小衰减水平。

{\begin{aligned}\\&min\gamma _{\infty }\\\\&{\text{s.t. }}X>0\\\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{1}X+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{H\infty }I&D_{2}^{T}\\C_{1}X+D_{1}W&D_{2}&-\gamma _{H\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

这与 Duan 和 Yu 的书中定理 8.1 相同，是 $H_{\infty }$ 问题的解。

用于空间交会的 LMI 是一种有用且有趣的方法，可以用来对航天器工程中的实际问题进行建模和仿真。空间交会通常需要非常好的视觉导航，或者需要一名经验丰富的操作员来弥合两个对接适配器最终对接的差距。

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记录和验证 LMI 的参考文献列表。