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连续时间 D 稳定控制器

在一些控制问题中，人们仍然希望设计一个控制器，其极点位于复平面的特定区域，同时确保控制器是稳定的。一种可以实现此目标的方法称为 D 稳定性。

系统

假设我们得到了连续时间系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其稳定性未知，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 以及 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$。然后，可以通过控制器 $u(t)=Kx(t)$ 来实现同时稳定上述系统并确保极点位于其预期位置的控制器。

数据

为了正确定义复平面上可接受的极点区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A$, $B$, $C$, $D$
• 上升时间 ($t_{r}$)
• 稳定时间 ($t_{s}$)
• 超调百分比 ($M_{p}$)

有了这些信息，我们就可以开始制定优化问题了。

优化问题

利用以上给定的数据，我们可以定义优化问题。为了做到这一点，我们首先要使用以下不等式约束定义复平面上极点可以位于的容许区域。

上升时间：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间：$\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比：$\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设$z$是复极点的位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这使得我们可以修改不等式约束，如下所示

上升时间：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间：${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比：$z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

这不仅使我们能够映射复极点位置和不等式约束之间的关系，而且现在也使我们能够轻松地为该问题构建LMI。

LMI： 连续时间控制器D稳定性

牢记上述不等式，我们观察到以下内容

假设现在存在一个对称矩阵$P>0$和矩阵$Z$，我们现在可以确定以下LMI的控制器

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

结论

给定所得到的控制器 $K=ZP^{-1}$，我们现在可以确定 $A+BK$ 的极点位置 $z\in \mathbb {C}$ 满足不等式约束 $|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$。

实施

• 示例代码 - 一个 GitHub 链接，其中包含演示如何使用 MATLAB-YALMIP 实施此 LMI 的代码（名为“ControllerDStability.m”）。

相关 LMI

• 连续时间 D 稳定观测器 - 用于连续时间观测器的等效 D 稳定 LMI。
• D 稳定 - 用于 $\mathbb {D} _{(q,r)}$ - 稳定化的 LMI。

外部链接

• 最佳与鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的关于控制中的 LMI 的课程。
• LMI 性质及其在系统、稳定性与控制理论中的应用 - 瑞安·卡弗利与詹姆斯·福布斯关于 LMI 的列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - 史蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。